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江西省九江市第一中学2015-2016学年高一数学上学期第一次月考试题


九江一中第一次月考试卷高一数学
分值: 150 考试时间:2015/10/7 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中有且只 有一个答案是正确的.) 1.若集合 M ? ( x, y ) x ? y ? 0 , N ? ( x, y ) x ? y ? 0, x ? R, y ? R ,则有(
2 2


?

?

?

?

)

A. M ? N ? M

B. M ? N ? N

C. M ? N ? M

D. M ? N ? ? ( )

2.函数 y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? [0,3] 的值域为 A.[0,3] B.[-1,0] C. [0,2] )

D. [-1,3]

3.下列从集合 M 到集合 N 的对应 f 是映射的是(

A

B

C

D ( )

4. 下列各组函数是同一函数的有几组 ① f ( x) ?

?2 x 3 与 g ( x) ? x ?2 x ;② f ( x) ? x 与 g ( x) ? x 2 ;
0

③ f ( x) ? x 与 g ( x) ? A.1

1 2 2 ;④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1 与 g (t ) ? t ? 2t ? 1 。 x0
C.3 D.4

B.2

5. 已知集合 A = {x|x < a } , B = {x|1 < x < 2} ,且 A ? (CR B) ? R ,则实数 a 的取值范围 ( ) ?A. a ≥2 B. a <1 C. a ≤2 ? D. a >2

6.下列四个说法:(1)函数 f ( x ) 在区间 (0,??) 上是增函数,在区间(- ? ,0)上是增函数,所
2 以 f ( x) 在区间 (0,??) ? (- ? ,0)是增函数;(2)若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2 与 x 轴没有交点,

2 则 b ? 8a ? 0 且 a ? 0 ;(3) y ? x ? 2 x ? 3 的递增区间为 ?1, ?? ? ;(4) ? ? { ? }。其中正确的
2

个数是( A. 0

) B. 1 C. 2 D. 3

2 7. 已 知 函 数 h( x) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5 , 20] 上 是 单 调 函 数 , 则 k 的 取 值 范 围 是

(

) A. (??,40] B. [160,??) C. (??, 40] ? [160, ??) D. ?

-1-

?? x 2 ? ax ? 5, ( x ? 1) ? 8. 已 知 函 数 f ( x) ? ? a 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是 ? ( x>1) ?x

(

) A. ?3 ≤ a <0 B. ?3 ≤ a ≤ ?2 C. a ≤ ?2 D. a <0

9.已知函数 f ( x) ? ? 范围是 ( A. ?? ?,?1? )

?2, x ? m,
2 ? x ? 4 x ? 2, x ? m

的图像与直线 y ? x 恰有三个公共点, 则实数 m 的取值

B. [2,??)

C. [?1,2]

D. [?1,2)

10.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”, 2 那么函数解析式为 y=x ,值域为{1,4}的“同族函数”共有 ( ) 个 A.6 B.7 C.9 D. 无数多个

2 11. 设集合 A= x x2 ? 2x ? 3 ? 0 , 集合 B= x x ? 2ax ? 1 ? 0, a ? 0 .若 A ? B 中恰含有

?

?

?

?

一个整数, 则实数 a 的取值范围是 A. ? 0,

(

)

? ?

3? ? 4?

B. ? , ?

?3 4 ? ?4 3 ?

C. ? , ?? ?

?3 ?4

? ?

D. ?1, ?? ?

12.已知集合 A={ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 },且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 1,则集合 A 的所有子集中元 素和等于( A.4 ) B.8 C.16 D.32

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,) 13. y ?

x?4 的定义域为 x ?5

.

14. 若 f (2 x) ? 3x 2 ? 1 ,则函数 f ( 4) =

.

15. 已知 y ? f ( x) 在定义域 (?1,1) 上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ,则 a 的取值范围 是 .

?2 g ( x 2 ) ? g ( x ? 1), g (2 x ) ? g ( x ) f ( x) ? ? 2 ? g ( x ) ? g ( x ), g (2 x ) ? g ( x ) 16 设 g ( x ) ? x ? 1 , 已 知 ,若关于 x 的方程
2 2 ? x3 f ( x ) ? m 恰有三个互不相等的实根 x1 , x2 , x3 ,则 x12 ? x2 的取值范围是

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.) 17.(本小题共 10 分) 已知集合 A ? {x | x ? 8x ? 15 ? 0} , B ? {x | x ? ax ? b ? 0} ,
2

2

-2-

(1)若 A ? B ? {2,3,5}, A ? B ?{3} ,求 a,b 的值; (2)若 ? ? B ? A ,求实数 a , b 的值。
? ?

18. (本小题 12 分) 设集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 4? , B ? ? x | ?5 ? x ? (1)若 C ? ? ,求实数 a 的取值范围; (2)若 C ? ? 且 C ? ( A ? B) ,求实数 a 的取值范围.

? ?

3? ? , C ? ?x |1 ? 2a ? x ? 2a? . 2?

19.(本小题共 12 分) 已知二次函数 f ( x ) 的满足 f (0) ? 1 ,且对任意 x 都有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 1 , 又 g ( x) ? x ? 1 . (1)求 f ( x ) 的解析式 (2)若当 x ? [1,2] 时,不等式 f ( x) ? t[ g ( x) ? 1] 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3) 设函数 F ( x) ?

f ( x) ? 1 ? a 1 1 ?b, 若对任意 a ?[ , 2] , 不等式 F ( x) ? 10 在 x ?[ ,1] 上 4 2 g ( x) ? 1

恒成立,求实数 b 的取值范围

20. (本小题共 12 分)

-3-

已知函数 y ? f ( x) 的定义域为(0,+ ? ),对于任意的 x ? 0, y ? 0 都有

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) .且 x ? 1, f ( x) ? 0
(1)求 f (1) 的值; (2)判断函数 y ? f ( x) 的单调性并证明; (3)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 0 .

1 6

21.(本小题共 13 分) 定义:如果函数 y = f(x) 在定义域内给定区间 [a , b] 上存在 x0(a<x0<b) ,满足 f(x0) = f(b)-f(a) ,则称函数 y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0 是它的一个均值点.如 y b-a =x 是[-1,1] 上的平均值函数,0 就是它的均值点. 2 (1)判断函数 f(x)=-x +4x 在区间[0,9]上是否为平均值函数?若是,求出它的均值点; 若不是,请说明理由; 2 (2)若函数 f(x)=-x +mx+1 是区间[-1,1]上的平均值函数, 试确定实数 m 的取值范围.
4

22. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a , g ( x) ? ax,(a ? R) . (1)若方程 f ( x) ? g ( x) 有两解,求出实数 a 的取值范围; (2)若 a ? 0 ,记 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ,试求函数 y ? F ( x) 在区间 ?1,2? 上的最大值.

-4-

参考答案 一选择题 1—10 ADCCA 二、填空题 BCBDC BC

13. [4,5) ? (5, ??)

14.13

15. 0 ? a ?

2 3

? ? y ? ? 6 ? 3 ,1? ? 8 ? 16.

三、解答题 17.解:(1)a=5, b ? ?6 ?6 分 (2)由 ? ? B ? A ,且 A ? ?3,5? 得 B ? ?3? 或 B ? ?5?
? ?

当 B ? ?3? 时,解得 a=6, b ? ?9 ; 综上: ?

当 B ? ?5? 时,解得 a=10, b ? ?25 (其他方法请酌情给分) ∴a ?

?a ? 6 ?a ? 10 或? ?6 分 ?b ? ?9 ?b ? ?25
∴ 1 ? 2a ? 2a

18. 解:(Ⅰ)∵ C ? ?

1 4

(-?, ] . 即实数 a 的取值范围是

1 4

(Ⅱ)∵ C ? ? , A ? B ? {x ?1 ? x ? } ,且 C ? ( A ? B)

3 2

?1 ? 2a ? 2a ? 3 ? ∴ ? 2a ? 2 ? ? ?1 ? 2a ? ?1
解得:

1 3 ?a? 4 4
2

( , ]. 即实数 a 的取值范围是

1 3 4 4

19. 解: (1) f ( x ) =x -1 (2)∵ t ? x ? ∴t ? ?

1 恒成立 x

1 2
1 4

(3)∵ F ( x) 在 [ ,1] 上的最大值为 F ( ) 与 F (1) 中的较大者,

1 4

? 1 1 1 ? f ( ) ? 10 , a ?[ , 2] ,不等式 f ( x) ? 10 在 x ?[ ,1] 上恒成立,∴ ? 4 4 2 ? ? f (1) ? 10
39 ? ? 4a 7 7 ?b ? , b ? ,即 b ? (?? , ] 。 4 ? 4 4 ? ? b?9?a

-5-

20. (Ⅰ)解: 令 x ? y ? 1 ,得到: f (1) ? f (1) ? f (1) , (Ⅱ)证明略

∴ f (1) ? 0 ,

(Ⅲ)解:由已知及 f (1) ? 0 知不等式 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 0 可化为 f [ x ( x ? 5)] ? f (1) , 故不等式的解集为:[5,6]. 21.解:(1)由定义可知,关于 x 的方程-x +4x=
2 2

1 6

1 6

f(9)-f(0)
9-0

在(0,9)内有实数根时,

函数 f(x)=-x +4x 是[0,9]上的平均值函数. f(9)-f(0) 2 2 解-x +4x= ,即 x -4x-5=0. 9-0 解得 x1=5 或 x2=-1. 又 x1=5∈(0,9)[x2=-1?(0,9),故舍去], 2 ∴f (x)=-x +4x 是[0,9]上的平均值函数,5 是它的均值点. 2 (2)∵f(x)=-x +mx+1 是[-1,1]上的平均值函数, f(1)-f(-1) 2 ∴关于 x 的方程-x +mx+1= 在(-1,1)内有实数根. 1-(-1) f(1)-f(-1) 2 2 由-x +mx+1= ,得 x -mx+m-1=0. 1-(-1) 解得 x1=m-1 或 x2=1. 又 x2=1?(-1,1), ∴x1=m-1 必为均值点,即-1<m-1<1. ∴所求实数 m 的取值范围是 0<m<2. [ 22.(1) x ? a ? ax 有两解, 即 x ? a ? ax 和 a ? x ? ax 各有一解分别为 x ?

a a ,和 x ? , 1? a 1? a

a a ?0且 ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ; 1? a 1? a a a 若 a ? 0 ,则 ?0且 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 0 ; 1? a 1? a
若 a ? 0 ,则 若 a ? 0 时,不合题意,舍去. 综上可知实数 a 的取值范围是 (?1,0) ? (0,1) . (2)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ①当 0 ? a ≤ 1 时,则 F ( x) ? a( x2 ? ax) , 对称轴 x ?

a ? 1? ? ? 0, ? ,函数在 ?1,2? 上是增函数, 2 ? 2?

-6-

所以此时函数 y ? F ( x) 的最大值为 4a ? 2a 2 .
a( x 2 ? ax),1 ? x ≤ a ,对称轴 a ?1 ? ②当 1 ? a ≤ 2 时, F ( x) ? ?? x ? ? ,1 , ?
2 ? a( x ? ax), a ? x ≤ 2

? ? 2 ?2 ?

所以函数 y ? F ( x) 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a, 2? 上是增函数,

F (1) ? a 2 ? a , F (2) ? 4a ? 2a2 ,
1)若 F (1) ? F (2) ,即 1 ? a ?

5 ,此时函数 y ? F ( x) 的最大值为 4a ? 2a 2 ; 3

2)若 F (1) ≥ F (2) ,即 ≤ a ≤ 2 ,此时函数 y ? F ( x) 的最大值为 a 2 ? a . ③当 2 ? a ≤ 4 时, F ( x) ? ?a( x 2 ? ax) 对称轴 x ?

5 3

a ? ?1,2? , 2

a a3 此时 F ( x) max ? F ( ) ? , 2 4
④当 a ? 4 时,对称轴 x ?

a ? ? 2, ?? ? ,此时 F ( x)max ? F (2) ? 2a2 ? 4a 2

综上可知,函数 y ? F ( x) 在区间 ?1,2? 上的最大值

[ F ( x)]max

5 ? 2 4 a ? 2 a , 0 ? a ? , ? 3 ? ? a 2 ? a, 5 ≤ a ≤ 2, ? 3 ?? 3 ?a 2 ? a ≤ 4, ? , ?4 2 ? ? 2a ? 4a, a ? 4.

-7-


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