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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:3-1-1 空间向量及其线性运算


成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1

第三章
空间向量与立体几何

第三章

空间向量与立体几何

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本章概述

第三章

空间向量与立体几何

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●课程目标 1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和 数乘向量运算的性质,会运用上述知识熟练地进行空间向量的 运算. 2.理解共线向量、直线的方向向量、共面向量,会用所 学知识解决立体几何中有关的简单问题. 3.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量 的数量积的概念、性质及运算律,会用它解决立体几何中的简 单问题.
第三章 空间向量与立体几何

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4.理解空间向量的正交分解及其坐标的表示,掌握空间 向量的坐标运算及数量积的坐标表示,会判断两个向量平行或 垂直;掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式, 并会用这些公式解决有关问题. 5.理解平面的法向量,能用向量语言表述线线、线面、 面面的垂直、平行关系.

第三章

空间向量与立体几何

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6.能用向量方法证明有关线、面位置关系,能够用向量 方法解决线线、线面、面面的夹角及其长度问题. 7.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,在运用 空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题中,体会向量方 法在研究几何图形的作用,进一步发展空间想象能力和几何直 观能力.

第三章

空间向量与立体几何

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●学法探究 一、作类比 1.空间向量概念、坐标表示及运算与平面向量类似,向 量加法的平行四边形法则、三角形法则仍然成立. 共线向量定理、数量积及其运算都是平面向量在空间的推 广,空间向量基本定理,是由二维到三维的推广. 2.可类比用平面向量解决平面几何问题探究如何用空间 向量解决立体几何问题.

第三章

空间向量与立体几何

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(1)a⊥b,a∥b,是用向量研究立体几何中线线、线面、面 面平行与垂直的基本工具,直线的方向向量、平面的法向量是 关键. a· b (2)cos〈a,b〉= 是计算空间各种角的基础,但应注意 |a||b| 两异面直线夹角同〈a,b〉的区别与联系.

第三章

空间向量与立体几何

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二、重联系 利用向量方法解决立体几何问题最主要的环节是将立体 几何的数量关系与位置关系,用向量来加以表述,建立它们之 间的联系.要对线线、线面、面面的垂直与平行如何用向量的 平行与垂直来表达,距离、夹角如何用向量的模、夹角来表达, 深入探究,弄清原理,并对运算结果作出几何解释.

第三章

空间向量与立体几何

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三、抓特殊 学习探究过程中,要注意抓住其中的特殊现象,作深入对 比分析,以求对概念原理深入透彻的理解与掌握. 例如下面这些都是以后学习探究中要遇到的一些特殊情 形 1.零向量 0 是特殊的向量,对任意空间向量 a,0∥a,0 没有确定的方向,其它向量都有惟一确定的方向.如证 A、B → 两点重合即证AB=0,a· b=0?a=0 或 b=0. /

第三章

空间向量与立体几何

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2.单位向量,即长度为 1 的向量,a=(x,y)是单位向量, 则|a|= x2+y2=1, a=(x, z)是单位向量, y, 则|a|= x2+y2+z2 =1. 3.(1)向量共线与点共线的区别与联系. (2)向量平行与直线平行的区别与联系. (3)向量共面与点线共面的区别与联系. 只有深入地理解了这些概念,弄清了它们之间的关系,才 能熟练地用这些知识来解决实际问题.

第三章

空间向量与立体几何

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4.注意数量积运算与实数运算的区别,例如 对于实数 a、b、c,有①若 ab=ac (a≠0),则 b=c. ②(ab)c=a(bc). 对于向量 a、b、c,①若 a· b=a· (a≠0) ?b=c,只能 c / 得出 a⊥(b-c). ②(a· c≠a· c). b)· (b·

第三章

空间向量与立体几何

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5.夹角问题 (1)两直线的“夹角”与这两直线的方向向量的“夹角” 的区别与联系. (2)线面角和这条直线的方向向量与平面的法向量夹角的 区别与联系. (3)二面角与这两个平面的法向量的夹角的区别与联系

第三章

空间向量与立体几何

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四、贵转化 学习探究活动中,要狠抓文字语言与符号语言(解题语言) 的转化,图形语言与符号语言、数量关系的转化. 备注:本章是在学习过平面向量的基础上进行学习的,教 材第一节安排空间向量的加减运算,第二节安排空间向量的数 乘和共线向量、共面向量,不如第一节集中学习向量的线性运 算,第二节集中研究共线向量、共面向量及其应用更好,这样 调节后更有利于在第一节集中突破用已知向量表示未知向量.

第三章

空间向量与立体几何

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第三章
3.1 空间向量及其运算

第三章

空间向量与立体几何

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第三章
第 1 课时 空间向量及其线性运算

第三章

空间向量与立体几何

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课前自主预习 课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业 方法规律总结

第三章

3.1

第1课时

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课程目标解读

第三章

3.1

第1课时

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1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空 间向量的概念. 2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算. 3.掌握空间向量的性质.

第三章

3.1

第1课时

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课前自主预习

第三章

3.1

第1课时

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1.空间向量的概念及表示 (1)与平面向量一样, 我们把空间中具有 大小 和 方向 的量 叫做空间向量,向量的 大小叫做向量的长度或模. (2)与平面向量一样,空间向量也用 有向线段表示.起点是 → → |a|或|AB| . A,终点是 B 的向量 a 也可以记作 AB .其模记作

第三章

3.1

第1课时

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(3) 长度为 0 的向量叫做零向量,记为 0;模为 1 向量叫做单位向量. (4)
方向相同且模相等



的向量称为相等向量.与向量 a

长度相等方向相反 的向量称为 a 的相反向量,记为 -a .

第三章

3.1

第1课时

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2.空间向量的线性运算 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运 算一样. (1)加法满足平行四边形法则,加法和减法满足三角形法 则,加法的交换律、结合律都成立. (2)实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 是一个向量,λ 与 a 方向相同,λ λa=

> 0 时,λa
0 时,

< 0 时,λa 与 a 方向相反,λ = 0 ,其方向是任意的,|λa|= |λ|· . |a|

第三章

3.1

第1课时

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设 λ、μ 是实数,则有 ①分配律:λ(a+b)= λa+λb ②结合律:λ(μa)= (λμ)a .

第三章

3.1

第1课时

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重点难点展示

第三章

3.1

第1课时

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重点:空间向量的概念及其运算. 难点:空间向量及其线性运算的几何表示.

第三章

3.1

第1课时

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学习要点点拨

第三章

3.1

第1课时

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1.空间向量的加法、减法的意义及运算律与平面向量类 似,这些运算不但适合中学里的代数运算律,而且有很多性质 与实数性质完全相同. 空间任意两个向量都可以(通过平移)转化为共面向量,两 个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立. → → → 设OA=a,AB=b,则OB=a+b.此法则称为向量的加法法 则.

第三章

3.1

第1课时

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空间向量加法适用平行四边形法则和三角形法则(多边形 法则),多边形法则的规则是“首尾相接,首指向尾”. 即有限多个空间向量 a1,a2,??an 相加,也可以象平面 → → 向量那样,从某点 O 出发,逐一引向量OA1 =a1 ,A1A2 = a2,??An-1An=an,于是以所得折线 OA1A2??的起点 O 为 → 起点,终点 An 为终点的向量OAn,就是 a1,a2,??,an 的和, 即

第三章

3.1

第1课时

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→ → → OAn=OA1+A1A2+??An-1An=a1+a2+??+an. 用折线作向量的和时,有可能折线的终点恰恰重合到起点 上,这时的和向量就为零向量. 2.向量减法满足三角形法则:“同始连终、指向被减”. → → 即以同一点 O 作始点, 作OA=a, =b, OB 连结终点 A, B, → → 则AB=b-a,BA=a-b.

第三章

3.1

第1课时

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也可以由向量的加法来定义:减去一个向量就等于加上这 个向量的相反向量.由此可以推出向量等式的移项方法,即将 其中任意一项变号后,从等式一端移到另一端.

第三章

3.1

第1课时

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课堂典例讲练

第三章

3.1

第1课时

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命题方向

思路方法技巧 空间向量的概念辨析

[例 1]

下列说法中正确的是(

)

A.若|a|=|b|,则 a、b 的长度相同,方向相同或相反 B.若向量 a 是向量 b 的相反向量,则|a|=|b| C.空间向量的减法满足结合律 → → → D.在四边形 ABCD 中,一定有AB+AD=AC
[答案] B

第三章

3.1

第1课时

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[分析]

给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理

解,解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行.

第三章

3.1

第1课时

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[解析]

|a|=|b|,说明 a 与 b 模相等,但方向不确定,由 a

的相反向量 b=-a,故|a|=|b|,从而 B 正确.只定义加法具有 → → 结合律,减法不具有结合律,一般的四边形不具有AB+AD= → AC,只有平行四边形才能成立.故 A、C、D 均不正确.

第三章

3.1

第1课时

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[点评]

(1)两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方

向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的 必要不充分条件. (2)熟练掌握空间向量的有关概念、 向量的加减法满足的运 算法则及运算律是解决好这类问题的关键.

第三章

3.1

第1课时

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判断下列命题的真假. (1)空间向量就是空间中的一条有向线段; (2)不相等的两个空间向量的模必不相等; (3)两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; → → (4)向量BA与向量AB的长度相等.

第三章

3.1

第1课时

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[解析]

(1)假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形

式,但不能把二者完全等同起来. (2)假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要 它们的方向不相同即可. (3)假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两 个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终 点. → → (4)真命题,BA与AB仅是方向相反,它们的长度是相等的.

第三章

3.1

第1课时

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命题方向

建模应用引路 空间向量的加减运算

[例 2]

如图,已知长方体 ABCD—A′B′C′D′,化

简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量. → → (1)AA′-CB; → → → (2)AA′+AB +B′C′.

第三章

3.1

第1课时

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[ 分 析 ]

→ → (1) 分析题意 → 将CB等价转化为DA

→ → → DA转化为-AD → 平行四边形法则 → 得出结论 → → (2) 应用平行四边形法则先求AA′+AB → → → 应用三角形法则求AB′+B′C′ → 得出结论

第三章

3.1

第1课时

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[解析]

→ → → → → → → → (1)AA′-CB =AA′ -DA =AA′ +AD =AA′ +A′D′ → =AD′.

第三章

3.1

第1课时

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→ → → (2)AA′+AB+B′C′ → → → =(AA′+AB)+B′C′ → → =AB′+B′C′=AC′. → → 向量AD′、AC′如图所示.

第三章

3.1

第1课时

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[点评]

化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三

角形法则进行化简,在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反 向量转化成加法,也可按减法法则进行运算,加减法之间可相 互转化.

第三章

3.1

第1课时

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→ → 如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 化简式子: -DB DA → → → → +B1C-B1B+A1B1-A1B,并在图中标出化简结果的向量.

第三章

3.1

第1课时

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[解析]

→ → → → → → → 如图,∵DA-DB=DA+BD=BA,B1C+A1B1-

→ → → → → → → → → → → A1B=B1C+BB1=BC,BA+BC=BD,BD-B1B=BD+BB1= → BD1, → → → → → → ∴原式=(DA-DB)+(B1C+A1B1-A1B)-B1B → → → → =BA+BC-B1B=BD1.

第三章

3.1

第1课时

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命题方向
[例 3]

空间向量的数乘运算

在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 为底面 A1B1C1D1 O

→ → → 的中心,设AA1=c,AB=a,AD=b,用 a、b、c 表示下列向量: → → → → BC1、AC1、BD1、CO.

第三章

3.1

第1课时

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[分析]

用 a、b、c 表示待求向量,应充分利用长方体的

特殊性和向量的“自由”移动性求解.

第三章

3.1

第1课时

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→ → → → → [解析] BC1=BC+BB1=AA1+AD=b+c, → → → → → → AC1=AC+CC1=AB+AD+CC1=a+b+c, → → → → → → BD1=AD1-AB=AD+AA1-AB=b+c-a, → → → → 1 → CO=CC1+C1O=AA1+2C1A1 → 1 → → =AA1+2(C1D1+C1B1) 1 1 → 1 → → =AA1+2(-AB-AD)=c-2a-2b.

第三章

3.1

第1课时

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在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC,A1B1 → → → → 的中点,设DA=a,DC=b,DD1=c,用 a、b、c 表示向量B1E, → CF.

第三章

3.1

第1课时

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→ → → → 1→ [解析] B1E=B1B+BE=B1B+2BC 1 → 1→ =-DD1- DA=-c- a; 2 2 → → → → → 1 → CF=CC1+C1F=CC1+C1B1+2B1A1 1 → → 1→ =DD1+DA-2DC=c+a-2b.

第三章

3.1

第1课时

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[点评]

用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功,

直接关系到本章学习的成败,应认真体会,并通过训练掌握向 量线性运算法则和运算律.

第三章

3.1

第1课时

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命题方向

探索延拓创新 综合应用

[例 4]

底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体. 已知

平行六面体 ABCD-A′B′C′D′.

→ → → → 求证:AC+AB′+AD′=2AC′.

第三章

3.1

第1课时

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[分析]

由条件知,该几何体的各面均为平行四边形,依

→ → → → → → 据平行四边形法则可以将AC,AB′,AD′用AB,AD,AA′表 示,再由空间向量可自由平移的特性转化后获证.

第三章

3.1

第1课时

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[解析]

∵平行六面体的六个面均为平行四边形,

→ → → → → → → → → ∴AC=AB+AD,AB′=AB+AA′,AD′=AD+AA′, → → → → → → → → ∴AC +AB′ +AD′ =(AB +AD )+(AB +AA′ )+(AD + → AA′) → → → =2(AB+AD+AA′). → → → → 又∵AA′=CC′,AD=BC, → → → ∴AB+AD+AA′

第三章

3.1

第1课时

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→ → → =AB+BC+CC′ → → → =AC+CC′=AC′, → → → → ∴AC+AB′+AD′=2AC′.

第三章

3.1

第1课时

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[点评]

利用向量解决立体几何中的问题的一般思路:

第三章

3.1

第1课时

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设有空间四边形 ABCD, 对角线 AC 和 BD 的中点分别为 L → → → → → 和 M,求证:AB+CB+AD+CD=4LM.

第三章

3.1

第1课时

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[解析]

取 CD 的中点 E,

连接 EL、EM, → → → 则LE+EM=LM, → → 1→ 1→ LE+EM= AD+ CB 2 2 1 → → = (AD+CB), 2 → → → 所以AD+CB=2LM. → → → 同理,AB+CD=2LM. → → → → → 所以AB+CB+AD+CD=4LM.
第三章 3.1 第1课时

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名师辨误作答 [例 5] 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 为 A1B1 的中点,N
→ → → 是棱 CC1 的一个三等分点,设AB=e1,AC=e2,AA1=e3,用 → e1,e2,e3 表示MN. [错解] 1 → 1 → → ∵M 为 A1B1 的中点,∴C1M=2(C1A1+C1B1)=2

1→ 1 → → 1 → → → (CA+CB)=2(CA+AC-AB)=-2AB=-2e1,又 N 为 C1C 的 1 → 1→ 1→ → → 一个三等分点,∴C1N=3C1C=3A1A=-3e3,∴MN=C1M- 1 1 → C1N=- e1+ e3. 2 3
第三章 3.1 第1课时

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[辨析]

解答中有两处错误:一处是 N 为棱 C1C 的一个三

等分点,并没有指出 N 靠近 C1 还是 C,错解只考虑了一种情 形;第二处是向量减法的三角形法则运用错误,在△ABC 中, → → → → → → BC=AC-AB,而不是BC=AB-AC.

第三章

3.1

第1课时

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[正解]

→ ∵M 为A1B1的中点,

1 → → → 1 → → ∴C1M=2(C1A1+C1B1)=2(CA+CB) 1 → → → → 1→ 1 =2(CA+AB-AC)=-AC+2AB=2e1-e2, ∵N 为 CC1 的一个三等分点, → 1→ → 2→ ∴C1N= C1C或C1N= C1C, 3 3

第三章

3.1

第1课时

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→ 1 → → → 1→ → 1 当C1N=3C1C 时,MN=C1N-C1M=3C1C-C1M=2e1-e2 1 -3e3; 2 → 2→ → 1 当C1N=3C1C时,同理MN=2e1-e2-3e3.

第三章

3.1

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方法规律总结

第三章

3.1

第1课时

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1.解概念辨析题时,要特别注意:①零向量;②共线向 量与方向相同或相反的向量;③向量共线(平行)与直线平行关 系;④向量相等与向量的模相等. 2.向量加减运算时,特别注意相反向量的应用,三角形 法则的应用. 3.将一个向量用其他向量线性表示是重点,要特别注意 加法“首尾相接”,减法必须同一起点,指向被减.

第三章

3.1

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课堂巩固训练

第三章

3.1

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一、选择题 → → → → → → → 1. 化简下列各式: (1)AB+BC+CA; (2)AB-AC+BD-CD; → → → → → → → (3)OA-OD+AD; (4)NQ+QP+MN-MP.结果为零向量的个数 是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

[答案]

D

第三章

3.1

第1课时

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[解析]

→ → → → → 对于(1),AB+BC+CA=AC+CA=0;

→ → → → → → → → → 对于(2), -AC+BD-CD=(AB+BD)-(AC+CD)=AD AB → -AD=0; → → → → → → → 对于(3),OA-OD+AD=DA+AD=0;对于(4),NQ+QP → → → → → → → → +MN-MP=(NQ+QP)+(MN-MP)=NP+PN=0.

第三章

3.1

第1课时

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→ → → 2.已知空间四边形 ABCD 中,AB=a,BC=b,AD=c, → 则CD=( )

A.a+b-c B.c-a-b C.c+a-b D.c+a+b
[答案] B

第三章

3.1

第1课时

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→ → → → [解析] CD=CB+BA+AD=-b-a+c,故选 B.

第三章

3.1

第1课时

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二、填空题 → → → → → 3.化简AB-AC+BC-BD-DA=________.
→ [答案] AB

第三章

3.1

第1课时

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→ → → → → [解析] AB-AC+BC-BD-DA → → → → =CB+BC-(BD+DA) → → =-BA=AB.

第三章

3.1

第1课时

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→ 4. 如图所示, 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, 与AB相 等的向量有________.

→ → → [答案] DC,D1C1,A1B1

第三章

3.1

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