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广东省各地2012高考数学月考联考模拟最新分类汇编12 立体几何1 理


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2012 广东省各地月考联考模拟最新分类汇编(理) : 立体几何(1)
【2012 届广东韶关市高三第一次调研考试理】 12.如图 BD 是边长为 3 的 ABCD 为正方形的对 角线,将 ?BCD 绕直线 AB 旋转一周后形成的几何体的体积等于 A D

B



C

【答案】 18? 【2012 广东高三第二学期两校联考理】3. 下图是一个几何体的三视图,已知侧视图是一个等 边三角形, 根据图中尺寸(单位: cm ),可知这个几何体的表面积是( )
3 3
正视图 2 2 侧视图 2

2

俯视图

A

18 ? 3 cm2

B D

21 3 2

cm 2

C 18 ? 2 3 cm2 【答案】C

6 ? 2 3 cm2

【2012 广东高三第二学期两校联考理】6.已知直线 m, l ,平面 ? , ? ,且 m ? ? , l ? ? ,给出下 列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m⊥ l ;②若 ? ⊥ ? ,则 m∥ l ;③若 m⊥ l ,则 ? ∥ ? ;④若 m ∥ l ,则 ? ⊥ ? . A.1 B.2 其中正确命题的个数是( D.4 )

C.3

【答案】B 【2012 广州一模理】9.如图 1 是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为



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【答案】

4 3 3

【广东东莞市 2012 届高三理科数学模拟 二】设 a 、 b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不 同的平面,是下列命题中正确的是( A.若 a // b , a // ? ,则 b // ? C.若 ? ? ? , a ? ? ,则 a // ? ) B.若 ? ? ? , a // ? ,则 a ? ? D.若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ?

【答案】D 【广东省执信中学 2012 届高三 3 月测试理】12、如果一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图为正六边形,则该三视图中侧视图的面积 为 .

【答案】

3 2

【广东省执信中学 2012 届高三 3 月测试理】5、设 b 、 c 表示两条直线, ? 、 ? 表示两个平 面,下列命题中真命题是( )
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A.若 b ? ? , c // ? ,则 b / / c C.若 c / /? ,? ? ? ,则 c ? ? 【答案】D

B.若 b ? ? , b / / c ,则 c / /? D.若 c / /? , c ? ? ,则 ? ? ?

【广东省执信中学 2012 届高三上学期期末理】3、三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长

1 为 2 的等边三角形,其正视图(如图所示)的面积为 8,则侧视图的面积为( A. 8 【答案】C B. 4 C. 4 3 D. 3 )

1

正视图

【 广 东 省 执 信 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 期 末 理 】 10 、 已 知 平 面 ? , ? , ? , 直 线 l , m 满 足: ? ? ? , ? ? ? ? m, ? ? ? ? l , l ? m ,那么① m ? ? ;② l ? ? ;③ ? ? ? ;④ ? ? ? . 可由上述条件可推出的结论有 (请将你认为正确的结论的序号都填上). 【答案】②④ 【2012 届广东省中山市四校 12 月联考理】11.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示,其 中正(主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几 3 何体的体积是 cm 。

2? 【答案】 3
【2012 届广东省中山市高三期末理】2.设 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面, 给出下列四个命题 ①若 m ? ? , n // ? , 则m // n

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② m ? ? , n ? ? , m ? n, 则? ? ? ③若 ? ? ? ? n, m / / n, 则m / /? , 且m / / ? ④若 m ? ? , m ? ? , 则? // ? 其中正确的命题是 A.① B.② C.③④ D.②④ 【答案】D 【广东省执信中学 2012 届高三 3 月测试理】18. (本小题满分 14 分) 如图一,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, ?A ? 60? , ?C ? 90? , CD ? 2 .

3
把 ?ABD 沿 BD 折起(如图二) ,使二面角 A ? BD ? C 的余弦值等于 3 .对于图二,完成 以下各小题: (1)求 A , C 两点间的距离; (2)证明: AC ? 平面 BCD ; (3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

【答案】解: (Ⅰ)取 BD 的中点 E ,连接 AE, CE , 由 AB ? AD, CB ? CD ,得:

AE ? BD, CE ? BD

??AEC 就是二面角 A ? BD ? C 的平面角,

? cos?AEC ?

3 3
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…………………………2 分

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在 ?ACE 中, AE ?

6, CE ? 2

AC2 ? AE2 ? CE 2 ? 2 AE ? CE ? cos?AEC

? 6 ? 2 ? 2? 6 ? 2 ?

3 ?4 3
…………………………4 分

? AC ? 2
(Ⅱ)由 AC ? AD ? BD ? 2 2 , AC ? BC ? CD ? 2

? AC2 ? BC2 ? AB2 , AC2 ? CD2 ? AD2 , ? ?ACB ? ?ACD ? 90?
? AC ? BC, AC ? CD ,
又 BC ? CD ? C …………………………6 分

? AC ? 平面 BCD .
(Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知 BD ? 平面 ACE BD ? 平面 ABD ∴平面 ACE ? 平面 ABD 平面 ACE ? 平面 ABD ? AE , 作 CF ? AE 交 AE 于 F ,则 CF ? 平面 ABD , ?CAF 就是 AC 与平面 ABD 所成的角,

…………………………8 分

…………………………10 分

…………………………12 分 …………………………14

? sin ?CAF ? sin ?CAE ?


CE 3 . ? AE 3

方法二:设点 C 到平面 ABD 的距离为 h , ∵

VC? ABD ? VA?BCD
10 分

…………………………

1 1 1 1 ? ? ? 2 2 ? 2 2 sin 60?? h ? ? ? 2 ? 2 ? 2 3 2 3 2

?h ?

2 3 3

……………………

……12 分 于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦为

sin ? ?

h 3 . ? AC 3

……………………

……14 分

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方法三:以 CB, CD, CA 所在直线分别为 x 轴, y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 C ? xyz ,则

A(0,0,2), B(2,0,0), C (0,0,0) D(0,2,0) . ………10 分
设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

n ? AB ? 0 , n ? AD ? 0 , ? 2 x ? 2 z ? 0,2 y ? 2 z ? 0
取 x ? y ? z ? 1,则 n ? (1,1,1) , 于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦即 ----------12 分

sin ? ?

| n ? CA | | 0 ? 0 ? 2 | 3 . ? ? 3 3?2 | n || CA |

…………………………14 分

【2012 届广东韶关市高三第一次调研考试理】18.(本小题满分 14 分)三棱柱 ABC? A1 B1C1 的直观图及三视图(主视图和俯视图是正方形,左侧图是等腰 直角三角形)如图, D 为 AC 的中点. (1)求证: AB1 // 平面 BDC1 ; (2)求证: A1C ? 平面 BDC1 ; (3)求二面角 A ? BC1 ? D 的正切值.

【答案】解:由三视图可知,几何体为直三棱柱 ABC — A1 B1C1 ,侧面 B1C1CB 为边长为 2 的正方形, 底面 ABC 是等腰直角三角形,AB ? BC, AB ? BC ? 2 ………2分 (1) 连 BC 交 B1C 于 O,连接 OD,在 ?CAB1 中,O,D 分别是 B1C , AC 的中点,? OD // AB1 而 AB1 ? 平面 BDC1 , OD ? 平面 BDC1 ,? AB1 // 平面 BDC1 ………………..4 分
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A1

A

B1

D B

C1

O

C

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(2)直三棱柱 ABC — A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , BD ? 平面 ABC ,

? AA1 ? BD ,? AB ? BC ? 2 ,D 为 AC 的中点,? BD ? AC ,
? BD ? 平面 AA1C1C ,? BD ? A1C ①………………..6分
又 A1 B1 ? B1C1 , A1 B1 ? B1 B ,? A1 B1 ? 平面B1C1CB,? A1 B1 ? BC1 在正方形

B1C1CB中BC1 ? B1C, 又B1C, A1 B1 ? 平面A1 B1C B1C ? A1 B1 ? B1 ,? BC1 ? 平面A1 B1C,? BC1 ? A1C ②………………..8分
由①②,又 BD ? BC1 ? B, BD, BC1 ? 平面BDC1 ,

? A1C ? 平面BDC1 ……………………………………………………………9
(3) 解法一; 提示:所求二面角与二面角 C- BC1 -D 互余……………………………………..12 取 BC 中点 H,有 DH⊥平面 BCC1 ,过 H 作 BC1 垂线,垂足为 E,

A1

A

DH ? BC1 ? DH ? 平面BCC1 ? ? BC1 ? 平面EDH ? ? ? EH ? BC1 ? ? ? BC1 ? 平面BCC1 ? DE ? 平面EDH ? ? DH ? EH ? H ? ? DE ? BC1

B1
E

D B H C

C1

所以二面角 C- BC1 -D 的平面角是∠DEH…………….. ……………………12 分

? DH ? 1 EH ?

2 DH 因为二面角 A- BC1 -D 与二面角 C- BC1 -D ? tan ?DEH ? ? 2, 2 EH 2 ;……………..14 2

互余,所以二面角 A- BC1 -D 的正切值为

A1
S1

O1
S D

A

解法二(补形)如图补成正方体,易得∠O1OS 为二面角的平面角,

O1O ? 2, O1S ? 2, ? tan ?O1OS ?

2 ……………..14 2

B1

解法三(空间向量法)以 B1 为原点建系,易得 CB1 ? (?2,2,0), BD ? (1,0,1) C1 设平面 BC1 D 的法向量 n1 ? ( x, y, z), 由 n1 ? CB1 , n1 ? BD

????

??? ?

O

C

B

??

??

???? ??

??? ?

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得?

?? ??2 x ? 2 y ? 0 令 x ? 1 得 n1 ? (1,1, ?1), …………..12 ? x? z ?0 ?? ???? ?

又平面 BC1 A 的法向量 n2 ? B1C ? (2,2,0), 设二面角 A- BC1 -D 的平面角为 ? 所以 cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

?? ?? ?

6 2 …………..14 ,? tan ? ? 3 2

【广东东莞市 2012 届高三理科数学模拟 二】18. (本小题满分 14 分) 如图, 多面体 EF ? ABCD 中,ABCD 是梯形,AB // CD ,ACFE 是矩形, 平面 ACFE ? 平面 ABCD , AD ? DC ? CB ? AE ? a , ?ACB ?

?
2


E D

F

(1)若 M 是棱 EF 上一点, AM // 平面 BDF ,求 EM ; (2)求二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值.

【答案】 (1) 解 连接 BD , AC ? BD ? O , 记 在梯形 ABCD 中, 因 为 AD ? DC ? CB ? a , AB // CD , 所 以
A

C

?A C D ?C A ? ?D A , ? B C

B

? ? ?ABC ? ?BCD ? ?DAB ? ?ACD ? ?ACB ? 3?DAC ?
从而 ?CBO ?

?
2

, ?DAC ?

?
6



?
6

,又因为 ?ACB ?

?
2

, CB ? a ,所以 CO ?

3 a ,连接 FO , 3

E 由 AM // 平 面 B D F得 AM // FO , 因 为 A C F 是 矩 形 , 所 以
EM ? CO ? 3 a 。…………………7 分 3

(2)以 C 为原点, CA 、 CB 、 CF 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,则

C (0 , 0 , 0) , A( 3a , 0 , 0) , B(0 , a , 0) , D(

3 a a , ? , 0) , F (0 , 0 , a) , 2 2

E( 3a , 0 , a) ,
设平面 DEF 的一个法向量为 n1 ? (r . s . t ) ,

? 3a ? r ? 0 ?n1 ? EF ? 0 ? ? 则有 ? ,即 ? , 解得 n1 ? (0 . 2 . ? 1) , 3 a ? a?r ? ? s ? a?t ? 0 ?n1 ? DF ? 0 ? ? 2 ? 2
同理可得平面 BEF 的一个法向量为 n2 ? (0 . 1. 1) ………………………13 分,

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观察知二面角 B ? EF ? D 的平面角为锐角, 所以其余弦值为 cos? ?

| n1 ? n2 | | n1 || n2 |

?

10 。…………………………14 分 10

【2012 广东高三第二学期两校联考理】18. (本小题满分 14 分)如图直角梯形 OABC 中,
?COA ? ?OAB ?

?
2

, OC ? 2, OA ? AB ? 1, SO ? 平面 OABC ,SO=1,以 OC、OA、OS 分别为 x

轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系 O-xyz. ??? ??? ? ? (Ⅰ)求 SC与OB的夹角? 的余弦值; (Ⅱ)设 n ? (1, p, q),满足n ? 平面SBC, 求 : ① n 的坐标; ②设 OA 与平面 SBC 所成的角为 ? ,求 sin ? 。

?

【答案】解: (Ⅰ)如图所示:C(2,0,0) ,S(0,0,1) ,O(0,0,0) ,B(1,1,0) ,

??? ? ??? ? ? SC ? (2,0, ?1), OB ? (1,1,0), ………3 分

??? ??? ? ? ? cos ? SC, OB ??

2 10 ………6 分 ? 5 5? 2

(Ⅱ)① SB ? (1,1, ?1), CB ? (?1,1,0) ? n ? 平面SBC
? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ?n ? SB, n ? CB,?n ? SB ? 1 ? p ? q ? 0, n ? CB ? ?1? p ? 0, 解得 : p ? 1, q ? 2,?n ? (1,1, 2) …10 分

???

??? ?

?

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??? ? OA ? (

0

? , , ,n ?0(1,1, 2) 1 )







SBC











??? ? ? 1 6 ?sin ? ?| cos ? OA, n ?|? ? 6 6

…………14 分

【2012 届广东省中山市四校 12 月联考理】18. (本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形,且 PA=AD=1,AB=2, ?PAB ? 120? , ?PBC ? 90? . (1)求证:平面 PAD ? 平面 PAB ; (2)求三棱锥 D-PAC 的体积; (3)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.
D C

A

B

P

【答案】(1)证明:∵ABCD 为矩形 ∴ AD ? AB 且 AD // BC ……… 1 分 ∵ BC ? PB ∴ DA ? PB 且 AB ? PB ? B ……… 2 分 ∴ DA ? 平面 PAB ,又∵ DA ? 平面 PAD ∴平面 PAD ? 平面 PAB ……… 4 分 (2) ∵ VD?PAC ? VP?DAC ? VP? ABC ? VC ?PAB ……… 5 分 由(1)知 DA ? 平面 PAB ,且 AD // BC ∴ BC ? 平面 PAB ……… 7 分

∴ VC ? PAB ? 1 S?PAB ? BC ? 1 ? 1 PA ? AB ? sin ?PAB ? BC ? 1 ?1? 2 ? 3 ?1 ? 3 ……… 9 分 3 3 2 6 2 6 (3)解法 1:以点 A 为坐标原点,AB 所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如 右图示,则依题意可得 D(0, 0,1) , C (0, 2,1) , P( 3 , ? 1 , 0) 2 2 ??? ? 可得 CP ? ( 3 , ? 5 , ?1) , ……… 11 分 2 2 ?? 平面 ABCD 的单位法向量为 m ? (1,0,0) , 设直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 ? ,
?? ??? ? m 则 cos( ? ? ? ) ? ??? ? CP ? ? ???? 2 | m | ? | CP | 3 P x 6 ……… 13 分 2 ? 8 3 25 1? ? ?1 4 4

z D C

A

B y

∴ sin ? ? 6 ,即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 6 .……… 14 分 8 8 解法 2:由(1)知 DA ? 平面 PAB ,∵ AD ? 面 ABCD D ∴平面 ABCD⊥平面 PAB, 在平面 PAB 内, 过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E,
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C

E A

B

P

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则 PE⊥平面 ABCD,连结 EC, 则∠PCE 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角…… 11 分 在 Rt△PEA 中,∵∠PAE=60°,PA=1, ∴ PE ? 3 ,又 PB2 ? PA2 ? AB2 ? 2PA ? AB cos120? ? 7 2 ∴ PC ? PB2 ? BC 2 ? 2 2
3 PE 2 ? 6 .即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 6 .………14 分 在 Rt△PEC 中 sin ? ? ? 8 PC 2 2 8

【2012 广州一模理】18. (本小题满分 14 分) 如图 5 所示,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC? 6 ,平面 PAC ? 平面 ABC ,

PD ? AC 于点 D , AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 3 .
(1)证明△ PBC 为直角三角形; (2)求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P

A

D B

C

图5 【答案】 (1)证明 1:因为平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 ABC ? AC , PD ? 平面 PAC , PD ? AC , 所以 PD ? 平面

ABC .…………………………………………………………………………………1 分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中, AB ? BC ,所以 BE ? AC .
因 为

A ?

B? 6
2

B ,

C AC ? 4







BE ? BC 2 ? CE 2 ?

? 6?

? 22 ? 2 .………………3 分
P

因为 PD ? AC ,所以△ PCD 为直角三角形. 因为 PD ? 3 , CD ? 3 , 所以 PC ?

PD 2 ? CD 2 ?

? 3? ? 2?

2

? 32 ? 2 3 .………4 分
A E D B

连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 BE ? 2 , DE ? 1 , 所以 BD ?

C

BE 2 ? DE 2 ?

2

? 12 ? 3 .…………5 分

因为 PD ? 平面 ABC , BD ? 平面 ABC ,所以 PD ? BD .
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在 Rt △ PBD 中,因为 PD ? 3 , BD ? 3 , 所以 PB ?

PD 2 ? BD 2 ?

? 3? ? ? 3?
2

2

? 6 .………………………………6 分

在 ?PBC 中,因为 BC ? 6 , PB ? 所以 BC 2 ? PB2 ? PC 2 .

6 , PC ? 2 3 ,

所以 ?PBC 为直角三角形.……………………………………………………7 分 证明 2: 因为平面 PAC ? 平面 ABC , 平面 PAC I 平面 ABC ? AC , PD ? 平面 PAC ,

PD ? AC ,
所以 PD ? 平面 ABC .……………………………………………………1 分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中,因为 AB ? BC ,所以 BE ? AC . 因 为

A ?

B? 6
2

B ,

C AC ? 4







BE ? BC 2 ? CE 2 ?

? 6?

? 22 ? 2 .………………3 分

o 连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 ?BED ? 90 , BE ? 2 , DE ? 1 ,

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .………………………………4分

在△ BCD 中,因为 CD ? 3 , BC ? 6 , BD ? 3 ,
2 2 2 所以 BC ? BD ? CD ,所以 BC ? BD .………………………………………5分

因为 PD ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 BC ? PD .…………………………………………………………6分 因为 BD ? PD ? D ,所以 BC ? 平面 PBD . 因为 PB ? 平面 PBD ,所以 BC ? PB . 所以 ?PBC 为直角三角形.……………………………………………………7分 (2)解法1:过点 A 作平面 PBC 的垂线,垂足为 H ,连 PH , 则 ?APH 为直线 AP 与平面 PBC 所成的角.…………………………………8 分 由(1)知,△ ABC 的面积 S ?ABC ? 因 为

1 ? AC ? BE ? 2 2 .…………………9 分 2
, 所 以

PD ? 3
1 ?S ? 2 B 3 ? ?

VP ?

1 ? ? 3

? A

?

3

C

2 6 P D 3 A 2 .…………………………10 分

B

C

由(1)知 ?PBC 为直角三角形, BC ? 6 , PB ? 所以△ PBC 的面积 S ?PBC ?

6,

1 1 ? BC ? PB ? ? 6 ? 6 ? 3 .…………………11 分 2 2
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因为三棱锥 A ? PBC 与三棱锥 P ? ABC 的体积相等,即 VA? PBC ? VP? ABC , 即 ? 3 ? AH ?

1 3

2 6 2 6 ,所以 AH ? .……………………………………12 分 3 3

在 Rt △ PAD 中,因为 PD ? 3 , AD ? 1 , 所以 AP ?

PD 2 ? AD 2 ?

? 3?

2

? 12 ? 2 .………………………………13 分

AH ? 因为 sin ?APH ? AP

2 6 3 ? 6. 2 3

所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 .…………………………………………………14 分 3
解法 2:过点 D 作 DM ∥AP ,设 DM ? PC ? M , 则 DM 与平面 PBC 所成的角等于 AP 与平面 PBC 所成的 角.……………………………………8 分 由(1)知 BC ? PD , BC ? PB ,且 PD ? PB ? P , 所以 BC ? 平面 PBD . 因为 BC ? 平面 PBC , 所以平面 PBC ? 平面 PBD . 过点 D 作 DN ? PB 于点 N ,连接 MN , 则 DN ? 平面 PBC . 所以 ?DMN 为直线 DM 与平面 PBC 所成的角.……10 分 在 Rt △ PAD 中,因为 PD ? 3 , AD ? 1 , 所以 AP ?

P

M

A

D

N
B

C

PD 2 ? AD 2 ?

? 3?

2

? 12 ? 2 . ……………………………………11 分因为

DM ∥AP , 所以
12 分

DM CD DM 3 3 ? ? , , 即 所以 DM ? . ……………………………… AP CA 2 4 2

由(1)知 BD ? 3 , PB ? 所以 DN ?

6 ,且 PD ? 3 ,

PD ? BD 3? 3 6 .……………………………………13 分 ? ? PB 2 6

6 DN 6 因为 sin ?DMN ? , ? 2 ? 3 DE 3 2 所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为
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6 .…………………………………………………14 分 3
解法 3:延长 CB 至点 G ,使得 BG ? BC ,连接 AG 、 PG ,……………………………………8 分 在△ PCG 中, PB ? BG ? BC ? 6 , 所以 ?CPG ? 90o ,即 CP ? PG . 在△ PAC 中,因为 PC ? 2 3 , PA ? 2 , AC ? 4 , 所以 PA2 ? PC 2 ? AC 2 , 所以 CP ? PA . 因为 PA I PG ? P ,

P

K A

E D B

C

G

所以 CP ? 平面 PAG .…………………………………………………………………………………9 分 过点 A 作 AK ? PG 于点 K , 因为 AK ? 平面 PAG , 所以 CP ? AK . 因为 PG I CP ? P , 所以 AK ? 平面 PCG . 所以 ? APK 为直线 AP 与平面 PBC 所成的 角.……………………………………………………11 分 由(1)知, BC ? PB , 所以 PG ? PC ? 2 3 . 在△ CAG 中,点 E 、 B 分别为边 CA 、 CG 的中点, 所以 AG ? 2BE ? 2 2 .………………………………………………………12 分 在△ PAG 中, PA ? 2 , AG ? 2 2 , PG ? 2 3 ,
2 2 2 所以 PA ? AG ? PG ,即

PA ? AG .……………………………………………………………13 分
因为 sin ?APK ?

AG 2 2 6 . ? ? PG 2 3 3

所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 .…………………………………………………14 分 3
解法 4:以点 E 为坐标原点,以 EB , EC 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图的空间

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直角坐标系 E ? xyz ,……………………………………………………………………8 分 则 A? 0, ?2,0? , B 于是 AP ? 0,1,

??? ?

?

? 2, 0, 0? , C ?0,2,0? , P ? 0, ?1, 3 ? . ??? ? ??? ? 3 ? , PB ? ? 2,1, ? 3 ? , PC ? ? 0,3, ? 3 ? .
A

P

z

设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

??? ? ?n ? PB ? 0, ? 则 ? ??? ? ?n ? PC ? 0. ?
即?

E D

C

y

x

B

? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? ?3 y ? 3z ? 0. ?

取 y ? 1 ,则 z ? 3 , x ?

2.

所以平面 PBC 的一个法向量为 n ?

?

2,1, 3 .………………………………12分

?

设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ? ,

??? ? AP ? n ??? ? 4 6 则 sin ? ? cos ? AP ,n ? ? ??? . ? ? ? 3 AP ? n 2 ? 6
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 .………………………………14 分 3

【2012 年广东罗定市罗定中学高三下学期第二次模拟理】19. (本小题满分 12 分) 一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 M、N 分别表示是 AF、BF 的中点) (1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求二面角 A—CF—B 的余弦值; (3)求多面体 A—CDEF 的体积。

【答案】由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE—BCF,且 AB=BC=BF=4,
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DE ? CF ? 4 2 , ?CBF ?

?
2

(1)连结取 BE,易见 BE 通过点 M。连结 CE。EM=BM,CN=BN ? MN∥CE,CE ? 面 CDEF ? MN∥面 CDE………………(4 分) (2) BQ⊥CF 于 Q, 作 连结 AQ。 BFC⊥面 ABFE, ABFE∩面 BEC=BF, ? 面 ABFE, ⊥BF ? AB 面 面 AB AB ⊥面 BCF,CF ? 面 BCF ? AB⊥CF,BQ⊥CF,AB∩BQ=B ? CF⊥面 ABQ,AQ ? 面 ABQ ? AQ⊥CF, 故 ?AQB 为所求二面角的平面角。………………(7 分)

在 Rt△ABQ 中 tan ?AQB =

AB 4 3 ………………(8 分) ? ? 2 ? cos?AQB ? BQ 2 2 3
3 。………………(9 分) 3

所以所求二面角的余弦值为 (3)棱锥 A—CDEF 的体积:

1 64 V ? 2 ? V A?CEF ? 2 ? VC ? ABF ? 2 ? S ABF ? BC ? 。………………(12 分) 3 3

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