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2014-2015年泰州市第三高级中学高三数学阶段测试(5)


2014-2015 年泰州市第三高级中学 高三数学阶段测试(5)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸相应位置 上. ....... 1.已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6,7}, A ? {2,4,5}, B ? {1,3,5,7} ,则 A ? (CU B) ? 2.设函数 f ( x) ? x3 cos x

? 1 .若 f (a) ? 11,则 f (?a) ? 3. 函数 f ( x) ? . .

x 的单调递减区间是 ln x
1 ? 3
1



4.若 a=log20.9,b= 3

1 ( )2 ,c= 3 ,则 a、b、c 大小关系为________.
π 4

5. 在等差数列{an}中,a7= ,则 tan(a6+a7+a8)等于________. 6.已知曲线 S : y ? 3x ? x 3 及点 P(2,2) ,则过点 P 可向曲线 S 引切线,其切线共有 7.等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn , 2Sn?1 ,3Sn , 4Sn?2 成等差数列,则 q 的值 8.已知 cos ? 条.

2? ?? ? 2 ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? ? 3 ?6 ? 3 ?

? ?? ?


??? ? ????

9. 在△ABC 中,D 是 BC 的中点,AD=8,BC=20,则 AB ? AC 的值为 10.已知函数 y ? tan ?x 在 (?? , ? ) 内是减函数,则实数 ? 的范围是 . .

11.已知偶函数 f ( x) 在 (0,??) 单调递减,则满足 f ( 1 ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是 x

12. 已知 a1,a2, a3,a4 是各项均为正数的等比数列,且公比 q≠1,若将此数列删

去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等差数列,则 q=________.
2 13. 已知函数 f ( x)=x , x ?[?2, 2] , g ( x) ? a sin(2 x ?
2

?

) ? 3a, x ? [0, ] , 6 2
.

?

? ?x1 ?[?2, 2] , 总?x0 ? [0, ], 使得g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
2
14. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n , 称 Tn 为数列 a1 ,a2 , ??,an n

的“理想数”,已知数列 a1 , a2 ,??, a500 的“理想数”为 2004,那么数列 2, a1 ,

a2 ,??, a500 的“理想数”为
1

.

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答卷纸相应位置 上. ....... 15.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x?R . 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间; ( 2 ) 设 △ ABC 的 内 角 A , B, C 的对边分别为 a, b, c 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若

s i nB ? 2 s iA n,求 a , b 的值.

16.(本题满分 14 分)

对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点,已知函 数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求 f(x)的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围.

2

17.(本题满分 14 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在△ABC 三边围成的 区域(含边界)上. → → → → (1)若PA+PB+PC=0,求|OP|; → → → (2)设OP=mAB+nAC(m,n∈R),用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值.

18.(本题满分 16 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车 流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

3

19.(本题满分 16 分)
*, 设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 4Sn=a2 n+1-4n-1,n∈N 且

a2,a5,a14 构成等比数列. (1)证明:a2= 4a1+5; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有a a +a a +?+ <2. a a 1 2 2 3 n n+1

20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

1 m( x ? 1) 2 ? 2 x ? 3 ? ln x, m ? R 2

(1)当 m ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2)当 m ? 0 时,若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线 l 与曲线 y ? f ( x) 有且只有一 个公共点,求实数 m 的值.

4

2014-2015 年泰州市第三高级中学 高三数学阶段测试(5)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸相应位置 上. ....... 1.{2, 4} 2. -9 3. (0,1),(1,e) . 4. a<c<b 5. -1 6. 3 7. ?

3 2

8. ?

2 3

9.-36

10. ? ?

? 1 ? ,0 ? ? 2 ?

11.

? ?1,0? ? (0,1)

12.

5 ?1 13. ? ??, ?4? ??? ?6, ??? 14 2002 2

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答卷纸相应位置 上. ....... 15.(本题满分 14 分) ( 1 ) T ? ? , [k? ?

?
3

, k? ?

5? ], k ? Z ;( 2 ) a ? 1 , b ? 2 . 6

试题解析:(1) f ( x ) ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 2 2 6

则最小正周期是 T ? 由 2k? ?

2? ?? ; 2
? 2k? ?

3? , (k ? Z ) ,得 2 6 2 ? 5? ], k ? Z , f ( x ) 的单调递减区间 [k? ? , k? ? 3 6 ? 2x ?

?

?

(2) f (C ) ? sin(2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ?

?
6

) ?1 ? 0,

0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? 2? ,所以 ?

?
6

? 2C ?

?
6

?

11? , 6

所以 2C ?

?
6

?

?
2

,C ?

?
3

, ① ②

因为 sin B ? 2sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2a , 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?
3

2 2 2 ,即 c ? a ? b ? ab ? 3

由①②解得: a ? 1 , b ? 2 .
5

16.(本题满分 14 分)



(1)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x2-x-3,由题意可知 x=x2-x-3,得 x1

=-1,x2=3. 故当 a=1,b=-2 时,f(x)的不动点是-1,3. (2)∵f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)恒有两个不动点,∴x=ax2+(b+1)x+b -1, 即 ax2+bx+b-1=0 恒有两相异实根, ∴Δ=b2-4ab+4a>0(b∈R)恒成立. 于是 Δ′=(-4a)2-16a<0 解得 0<a<1, 故当 b∈R,f(x)恒有两个相异的不动点时的 a 的范围是(0,1).
17.(本题满分 14 分) → → → 解:(1)方法一:∵PA+PB+PC=0, → → → 又PA+PB+PC=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),
?6-3x=0, ?x=2, ? ? ∴? 解得? ?6-3y=0, ?y=2, ? ?

→ → 即OP=(2,2),故|OP|=2 2. → → → 方法二:∵PA+PB+PC=0, → → → → → → 则(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0, → 1 → → → ∴OP= (OA+OB+OC)=(2,2), 3 → ∴|OP|=2 2. → → → (2)∵OP=mAB+nAC, ∴(x,y)=(m+2n,2m+n),
?x=m+2n, ? ∴? ? ?y=2m+n,

两式相减得,m-n=y-x, 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大 值为 1.
6

18.(本题满分 16 分) 【解答】 (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b, 1 a=- , ? 3 ?200a+b=0, 再由已知得? 解得 200 ?20a+b=60, ? b= . 3

? ? ?

60, 0≤x<20, ? ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 ? ?3?200-x?,20≤x≤200. 60x, 0≤x<20, ? ? (2)依题意并由(1)可得 f(x)=?1 ? ?3x?200-x?,20≤x≤200. 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200; 1 1 x+?200-x??2 10000 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ?= 3 . 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 10000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3333. 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.

19.(本题满分 16 分)
2 (1)证明 当 n=1 时,4a1=a2 2-5,a2=4a1+5,

又 an>0,∴a2= 4a1+5. (2)解 当 n≥2 时,4Sn-1=a2 n-4(n-1)-1,
2 ∴4an=4Sn-4Sn-1=a2 n+1-an-4, 2 2 即 a2 n+1=an+4an+4=(an+2) ,

又 an>0,∴an+1=an+2, ∴当 n≥2 时,{an}是公差为 2 的等差数列. 又 a2,a5,a14 成等比数列. ∴a2 a14,即(a2+6)2=a2· (a2+24),解得 a2=3. 5=a2· 由(1)知 a1=1. 又 a2-a1=3-1=2, ∴数列{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列.
7

∴数列{an}的通项公式为 an=2n-1. (3)证明 由(2)知 1 1 = anan+1 ?2n-1??2n+1?

1 ? 1? 1 =2?2n-1-2n+1? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 所以a a +a a +?+ = + + +?+ anan+1 1×3 3×5 5×7 ?2n-1??2n+1? 1 2 2 3 1 ?? 1? ?1 1? 1?? ? 1 =2??1-3?+?3-5?+?+?2n-1-2n+1?? ? ? ? ?? ? ?? 1 ? 1 1? =2?1-2n+1?<2. ? ?
20.(本题满分 16 分) 解(1)由题意知,f(x)=-2x+3+lnx, 1 -2x+1 所以 f′(x)=-2+x= (x>0). x 1 由 f′(x)>0 得 x∈(0, ) . 2 1 所以函数 f(x)的单调增区间为(0,2). 1 (2)由 f′(x)=mx-m-2+x ,得 f′(1)=-1, 所以曲线 y=f(x)在点 P(1,1)处的切线 l 的方程为 y=-x+2.??? 8 分 由题意得,关于 x 的方程 f(x)=-x+2 有且只有一个解, 1 即关于 x 的方程2m(x-1)2-x+1+lnx=0 有且只有一个解. 1 令 g(x)=2m(x-1)2-x+1+lnx(x>0).
2 1 mx -(m+1)x+1 (x-1)(mx-1) 则 g′(x)=m(x-1)-1+x= = (x>0). ? 10 分 x x

???? 2 分

???? 6 分

1 1 ①当 0<m<1 时,由 g′(x)>0 得 0<x<1 或 x>m,由 g′(x)<0 得 1<x<m, 1 1 所以函数 g(x)在(0,1)为增函数,在(1,m)上为减函数,在(m,+∞)上为增函数. 又 g(1)=0,且当 x→∞时,g(x)→∞,此时曲线 y=g(x)与 x 轴有两个交点. 故 0<m<1 不合题意. ????? 12 分

8

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