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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第十一节轨迹方程的求法 理


第十一节 轨迹方程的求法 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 知识梳理 一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念 在直角坐标系中, 如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二 元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线. 二、求曲线的(轨迹)方程 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方 程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类 问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、 性质等基础知识的掌握外, 还充分考查了各种数学思 想方法及一定的推理能力和运算能力. 它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及 圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹 的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程.因此在 求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算, 一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用. (1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤. ①建系设点:建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点坐标 M(x,y); ②列几何等式:写出适合条件的点的集合 P={M|P(M)},关键是根据条件列出适合条件 的等式; ③化为代数等式:用坐标代换几何等式,列出方程; ④化简:把方程 f(x,y)=0 化成最简形式; ⑤证明:证明化简后的方程就是所求曲线的方程. 除个别情况外,化简过程都是同解变形,所以步骤⑤可以省略不写.如有特殊情况,可 适当加以说明,步骤②也可省略. (2)求曲线轨迹方程应注意的问题. ①要注意一些隐含条件,若轨迹是曲线的一部分,应对方程注明 x 的取值范围,或同时 注明 x,y 的取值范围,保证轨迹的纯粹性; ②若轨迹有不同情况,应分别讨论,以保证它的完整性; ③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的, 求曲线的轨迹不仅要求出方程, 而且要指明曲线 的位置、类型. 基础自测 1.(2013?衡水中学模拟)下列说法正确的是( ) A.在△ABC 中,已知 A(1,1),B(4,1),C(2,3),则 AB 边上的高的方程是 x=2 2 B.方程 y=x (x≥0)的曲线是抛物线 第 1 页 共 5 页 1 C.已知平面上两定点 A、B,动点 P 满足|PA|-|PB|= |AB|,则 P 点的轨迹是双曲线 2 D.第一、三象限角平分线的方程是 y=x 解析:A 选项中高线为线段,B 选项中为抛物线的一部分,C 选项中是双曲线的一支.故 选 D. 答案:D → → 2 2.已知点 A(-2,0),B(3,0),动点 P(x,y)满足PA?PB=x ,则点 P 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 ) → → → → 解析:设动点 P 的坐标为(x,y),则PA=(-2-x,-y),PB=(3-x、-y),由PA?PB 2 =x ,得 y =x+6,因此选 C. 答案:C 2 3.已知椭圆 + =1 的左、右两个焦点分别是 F1,F2,P 是这个椭圆上的一个动点,延 4 3 长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|F2P|,则 Q 的轨迹方程是________________. 解析:提示:用定义法求轨迹方程. 2 2 答案:(x+1) +y

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