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南航矩阵论2013研究生试卷及答案


南京航空航天大学 2012 级硕士研究生
共 6 页 第 1 页

2012 ~ 2013 学年第 1 学期 《矩阵论》 课程考试 A 卷 考试日期:2013 年 1 月 15 日 课程编号:A080001 命题教师: 学院 专业 学号 姓名 阅卷教师: 成绩

?? a 11 一、(20 分) 设 V ? ?? ? ?? a 21

? a 12 ? ? ? R 2?2 | a 11 ? a 22 ? 是 R 2?2 的一个线性子空间,对 ? a 22 ? ?

?0 1? 任意 X ? V ,定义: T ( X ) ? PX ? XP ,其中 P ? ? ?1 0? ?. ? ? (1) 求 V 的一组基和维数; ? a 11 a 12 ? ? b11 b12 ? ? ? (2) 对任意 A ? ? ,B?? ?a ? ?b ? ? V ,定义: ? 21 a 22 ? ? 21 b 22 ?
( A, B) ? a11b11 ? 2a12 b12 ? a21b21 , 证明 ( A, B) 是 V 的一个内积; (3) 求 V 在题(2)所定义的内积下的一组标准正交基; (4) 证明 T 是 V 的线性变换,并求 T 在题(1)所取基下的矩阵.

?1 0? ?0 1? ? 0 0? 解答:(1) V 的一组基为 E1 ? ? ? , E2 ? ? ? , E3 ? ? ? , 维数为 3. ?0 1? ? 0 0? ?1 0? ……………………………………(5 分) (2) 直接验证内积定义的四个条件成立. …………………………… (4 分) ?1 0? ?0 0? 1 ?0 1? ?? ? ?? (3) 标准正交基 E1? ? ? ? , E2 ? ? , E3 ? . …………(5 分) 2 ? 0 0? ?0 1? ?1 0? (4) 由于 T ( X ) ? V ,所以 T 是 V 的一个变换.又直接验证,知 T ( X ? Y ) ? T ( X ) ? T (Y ), T (kX ) ? kT ( X ) , 因此 T 是 V 的一个线性变换. ………………………………(3 分) ?1 0? ?0 1? ? 0 0? 线性变换 T 在基 E1 ? ? ? , E2 ? ? ? , E3 ? ? ? 下的矩阵为 ?0 1? ? 0 0? ? 1 0?
?0 1 1? ? T ?? ?2 0 0? . ? ?2 0 0? ?

……………………………………………(3 分)

? ?1 1 0? ? 3 1 0? ?3 a 0? ? ? ? ? ? ? 二、(20 分)设三阶矩阵 A ? ? ? 4 3 0 ? , B ? ? 0 3 1 ? , C ? ? 0 3 a ? . ? 0 0 3? ?0 0 3? ? 1 0 2? ? ? ? ? ? ? (1) 求 A 的行列式因子、不变因子、初等因子及 Jordan 标准形; (2) 利用 ? 矩阵的知识,判断矩阵 B 和 C 是否相似,并说明理由.

解答: (1) A 的行列式因子为 D1 (? ) ? D2 (? ) ? 1, D1 (? ) ? (? ? 2)(? ? 1) 2 ;…(3 分) 不变因子为 d1 (? ) ? d 2 (? ) ? 1, d1 (? ) ? (? ? 2)(? ? 1) 2 ; …………………(3 分) 2 初等因子为 ? ? 2, (? ? 1) ;……………………(2 分) ? 2 0 0? ? ? Jordan 标准形为 J ? ? 0 1 1 ? . ……………………(2 分) ?0 0 1? ? ? (2) a ? 0, 不相似,理由是 2 阶行列式因子不同;
a ? 0, 相似,理由是各阶行列式因子相同.

…………………(5 分) …………………(5 分)

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? x 4 ? 1, ? x1 ? x 2 ? 三、(20 分)已知线性方程组 ? x1 ? x 2 ? x3 ? 2 x 4 ? 1, 不相容. ? x3 ? x 4 ? 1 ? (1) 求系数矩阵 A 的满秩分解; (2) 求广义逆矩阵 A ? ; (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解.

?1 1 0 1? ? ? 解答:(1) 矩阵 A ? ? 1 1 1 2 ? , A 的满秩分解为 ?0 0 1 1? ? ? ?1 0 ? ? ?1 1 0 1? A?? ?1 1 ? ?0 0 1 1? . ? ? ? ?0 1 ? ?

…………………(5 分)

?5 ? 1 ?5 ? (2) A ? 15 ? -5 ? ?0

1 -4 ? ? 1 -4 ? . 2 7? ? 3 3?

……………………(10 分)

? 2? ? ? 1 ? 2? (3) 方程组的极小最小二乘解为 x ? . …………(5 分) 15 ? 4 ? ? ? ?6?

共 6 页 第 5 页

?1 1 0 ? ? ? 1 k 四、(20 分)已知幂级数 ? k x 的收敛半径为 3,矩阵 A ? ?1 1 0 ? . k ?0 3 ?1 ? 2 0 ? ? ?
?

(1) 求 A 1 , A ? , A 2 , A F ; (2) 证明矩阵幂级数 ? (3) 求矩阵幂级数 ?
?

1 k A 收敛; k k ?0 3

?

1 k A 的和. k k ?0 3

解答:(1)

A 1 ? 4, A ? ? 3, A 2 ? 6, A F ? 3 .

………(10 分)

(2) 因为 A 2 是相容范数,且 A 2 ? 6 ? 3 ,则 ? ( A) ? 3 在收敛半径内,因此级 数收敛.
?

……………(5 分)

?2 1 0? 1 k ? A k ?1 1 2 0? (3) ? k A ? ? ( ) ? 3(3I ? A) ? ? ? ?. 3 3 k ?0 k ?0 ? ? 0 ?1 1 ? ?

……………(5 分)

共 6 页 第 6 页

五、(20 分)设 A, B 是两个 n 阶矩阵,其中 A ? (aij ) ,证明: (1) 若对任意 i ? 1,2,?, n ,有 ? | aij | ? 1, 则 I ? A 可逆;
j ?1 n

(2) 若 A, B 都是 Hermite 正定矩阵,则 AB 的特征值均为正数; (3) 若 A, B 都是 Hermite 半正定矩阵,则 tr ( AB) ? 0 ,并且当等号成立时,必有
AB ? 0 .

解答: (1) 由 ? | aij | ? 1 可得, A ? ? 1 ,由于 A ? 是相容范数,则 ? ( A) ? 1 , I ? A 的
j ?1 n

特征值都不为零,因此 I ? A 可逆. ………………………(6 分) 2 H (2) A ? 0 ? A ? S ? SS ,这里 S 是可逆的 Hermite 矩阵,从而 AB ? SS H B .由 于 SS H B 与 S H BS 有相同的特征值,且 S H BS ? 0 ,所以 AB 的特征值均为正数. ………………(8 分) 2 H H (3) A ? 0 ? A ? S ? S S , AB ? S SB ,这里 S 是 Hermite 矩阵.由于 S H SB 与
SBS H 有 相 同 的 特 征 值 , 且 SBS H ? 0 , 所 以 AB 的 特 征 值 均 为 非 负 数 , 从 而

tr ( AB) ? tr (SBS H ) ? 0 .
也是 Hermite 矩阵,则

…………………(4 分)

当 tr ( AB) ? 0 时,有 tr (SBS H ) ? 0 ,从而 SBS H ? 0 .设 B ? Q2 ? QQH , 这里 Q

SBS H ? SQQH S H ? (SQ)(SQ)H .
于是 SQ ? 0 ,由此得到 AB ? 0 . …………(2 分)

.


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