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2.4.1抛物线及其标准方程(第一课时)


一、引入
椭圆、双曲线的第二定义:

与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹, 当0<e <1时,是椭圆;当e>1时,是双曲线. 当e=1时,它又是什么曲线 ?
l l M M l

F ·

F

·
e>1

·
M



· F

0< e < 1

e=1

二、基础知识讲解
1.抛物线定义:
l H
M

平面内与一个定点F和一条定直线l

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点。

· F ·

定直线l 叫做抛物线的准线。

| MF | 即: 若 ? 1, 则点M的轨迹是抛物线。 | MH |
思考:一个抛物线有几条准线?

探求抛物线的标准方程

1.建系
如图,以直线l的垂线KF 为x轴,以线段KF的中点O为 原点建立直角坐标系 H

ly
M

2.设点

K O

· · F

设点M的坐标为(x,y),|KF|=p(p>0)

p p 则焦点F的坐标为( , 0),准线l的方程为x ? 2 2

3.列式化简
故依抛物线的定义可得 | MF |?| MH |
p 2 p 2 即 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
H

ly
M

K O

· · F

x

化简可得,y2=2px(p>0) ①
方程①就叫做抛物线的标准方程,

二、基础知识讲解
2.抛物线标准方程:
ly H K O
M

y2=2px(p>0)
上述方程表示焦点在x轴的正半轴,

对称轴为x轴的一条抛物线,
其中,p为焦点到准线的距离,

· · F

x

p p 焦点坐标为( , 0),准线方程为x ? - 2 2

若一次项的系数是正的,则焦点在一次项对应的轴的正半轴 若一次项的系数是负的 ,则焦点在一次项对应的轴的负半轴 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y p y 2 ? 2 px p ( , 0) x?? x o 2 ? p ? 0? 2 y y 2 ? ?2 px p p (? , 0) x? o x ? p ? 0? 2 2 y

﹒ ﹒ ﹒
o

x

x 2 ? 2 py ? p ? 0?
2

p (0, ) 2

p y?? 2
p y? 2


o

y

x

x ? ?2 py

? p ? 0?

p (0, ? ) 2

三、例题分析
例1.求下列抛物线的焦点坐标及准线方程: (1)y2 = 6x;(2)x2=-2y;

解:(1) ?2 p ? 6

?p ?3

3 3 ? 焦点坐标为( , 0), 准线方程为x ? ? 2 2

(2) ?2 p ? 2

? p ?1

注意:p>0

1 1 ? 焦点坐标为(0, ? ), 准线方程为y ? 2 2

练习.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: 1 2 2 (1)y = 20x ( 2) x = y 2 (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0

焦点坐标

准线方程

(1)

( 5, 0)
1 (0, ) 8 5 (? , 0) 8

x= -5
1 y?? 8 5 x? 8

(2) (3)
(4)

(0,-2)

y=2

例2.求抛物线y2=ax(a≠0)的焦点坐标及准线方程.

a 解:若a ? 0, 则2 p ? a,故p ? 2 a a ? 焦点坐标为( , 0), 准线方程为x ? ? 4 4 a 若a ? 0, 则2 p ? ?a,故p ? ? 2 a a ? 焦点坐标为( , 0), 准线方程为x ? ? 4 4 a a 综上所述,焦点坐标为( , 0), 准线方程为x ? ? 4 4

例3.求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点为(0,-2);

(2)准线为y=-1;
(3)焦点到准线的距离为4;

(1)x2=-8y (2)x2=4y (3)y2=±8x或x2=±8y

例3.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程. 解:若焦点在y轴的正半轴, 则可设抛物线的标准方程为 x2 =2py(p>0)


A

y

O 代入A点坐标的坐标可求得 9 p? 4 若焦点在x轴的负半轴, 则可设抛物线的标准方程为 y2 =-2px(p>0) 2 代入A点坐标的坐标可求得 p ? 3 9 4 2 2 故所求抛物线的标准方程为x ? y或y ? x 2 3

x

四、针对性训练
1.根据下列条件,写出抛物线的标准方程:

(1)焦点是F(3,0); y2 =12x

1 (2)准线方程 是x = ? ; y2 =x 4
(3)焦点到准线的距离是2. y2 =±4x或 x2 =±4y

1.在抛物线y 2 ? 2 px上,横坐标为4的点到焦点的 距离为5,则p的值为( C ) 1 A. 2 B .1 C .2 D.4

2.已知M是抛物线y2 = 2px(p>0)上一点,若点M 的横坐标为x0,则点M到焦点的距离是_________;

p x0 ? 2

此即为抛物线y2=2px(p>0)的焦半径公式

四、小结巩固
1.抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系 以及判断方法; 2.抛物线的定义、标准方程和它的焦点、准线、 方程; 3.注意数形结合思想的运用.

五、布置作业
作业:课本P73 习题2.4 A组 1. 练习:创新设计P42~43 课后优化训练

答案: 1. 2.

2

a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? ? sin?180 ? ( ? ? ? ? ? )? sin( ? ? ? ? ? )
3.用长度分别为 2、3、4、5、6(单位: cm )的 5 根 细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断) , 能够得到的三角形的最大面积为( ) A. 8 5cm
2
2

B. 6 10cm D. 20cm 2

2

C. 3 55cm


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