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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题3 三角函数 第1讲 三角函数的图象与性质、三角恒等变换 理


第1讲

三角函数的图象与性质、三角恒等变换

三角函数的概念、诱导公式及恒等变换 1.(2015 贵阳高三适应性监测)已知α ∈(0,2π ),且α 的终边上一点的坐标为 (sin ,cos ) , 则α 等于( B ) (A) (B) (C) (D)

解析:由已知可得,α 的终边上一点的坐标为( ,- ),

/>
且α ∈(0,2π ),故α ∈( ,2π ),

根据三角函数的定义可得 tan α =-

,所以α = .故选 B.

2.(2015 太原市模拟)已知 sin α +cos α =

,α ∈(- , ),则 tan α 等于( D )

(A)-1

(B)-

(C)

(D)1

解析:因为 sin α +cos α =

,α ∈(- , ),

所以

sin(α + )=

,

所以 sin(α + )=1,

所以α + = ,

所以α = ,

1

所以 tan α =tan =1,选 D.

3.(2015 呼伦贝尔一模)已知 sin α +cos α = ,则 sin ( -α )等于( B )

2

(A)

(B)

(C) (D)

解析:因为 sin α +cos α = ,

则 1+2sin α cos α = ,2sin α cosα =- ,

sin ( -α )=( cos α - sin α )

2

2

= (1-2sin α cos α )

= (1+ )= ,故选 B.

4.(2015 衢州一模)若 cos(α + )=- ,则 sin(α - )=

.

解析:sin(α - )=sin[(α + )- ]=-sin[ -(α + )]=-cos(α + )= .

答案:

函数 y=Asin(ω x+ ? )+B 的解析式 5.(2015 许昌一模)函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )(其中 A>0,| ? |< )的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin 2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( A )

2

(A)向右平移 个长度单位

(B)向右平移 个长度单位

(C)向左平移 个长度单位

(D)向左平移 个长度单位

解析:由已知中函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )(其中 A>0,| ? |< )的图象,过( ,0)点,( ,-1)点,

易得,A=1,T=4( - )=π ,即ω =2,

即 f(x)=sin(2x+ ? ),将( ,-1)点代入得

+ ? = +2kπ ,k∈Z 又| ? | < ,

所以 ? = ,

所以 f(x)=sin(2x+ ),

故将函数 f(x)的图象向右平移 个长度单位得到函数 g(x)=sin 2x 的图象,故选 A.

6.(2015 沈阳校级模拟)将函数 y=sin (2x+ ) 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位, 所得图象的函数解析式是( A ) 2 2 (A)y=2cos x (B)y=2sin x (C)y=1+sin(2x+ ) (D)y=cos 2x

解析:将 y=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位得到

3

y=sin[2(x+ )+ ],即 y=cos 2x,再向上平移 1 个单位得到函数 y= cos 2x+1=2cos x,故选 A. 7.(2015 郑州第一次质量预测)如图,函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )(其中 A>0,ω >0,| ? |≤ )与 坐标轴的三个交点 P,Q,R 满足 P(1,0),∠PQR = ,M(2,-2)为线段 QR 的中点,则 A 的值为( C )
2

(A)2

(B)

(C)

(D)4

解析:因为 M(2,-2)为 QR 的中点, 所以可知 R(0,-4),Q(0,4) 所以函数的周期 T=6,所以ω = = ,

所以 f(x)=Asin( x+ ? ),把 P(1,0)代入 f(x)可得,

sin( + ? )=0,又| ? |≤ ,所以 ? =- ,

所以 f(x)=Asin( x- ),

把 R(0,-4)代入 f(x)可得 Asin(- )=-4,

所以 A=

,故选 C.

8.(2015 株洲一模)如图为函数 f(x)=

sin(ω x+ ? )(ω >0)的部分图象,B,C 分别为图象的最

高点和最低点,若

?

=|

| ,则ω 等于( C )
4

2

(A)

(B) (C) (D)

解析:由题意知|

|=2|

|,由

?

=|

|知

2

-|

|?|

|cos∠ABC=|

|,

2

得 cos∠ABC=- ,则∠ABC=120°,

过 B 作 BD 垂直于 x 轴于 D,则|

|=3,

所以 =3,则 T=12,ω = = ,故选 C.

三角函数的图象和性质 9.(2015 开封二模)若函数 f(x)=(1+ tan x)cos x,0≤x< ,则 f(x)的最大值是( B )

(A)1

(B)2

(C)

+1 (D)

+2 sin x=2sin(x+ ),

解析:f(x)=(1+

tan x)cos x=cos x+

因为 0≤x< ,所以 ≤x+ < , 所以 f(x)∈[1,2],故选 B. 10.若函数 f(x)=sin ω x(ω >0)在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减,则ω 等于 ( C ) (A)3 (B)2 (C) (D)

解析:因为 y=sin ω x(ω >0)过原点,
5

所以当 0≤ω x≤ ,即 0≤x≤

时,y=sin ω x 是增函数;

当 ≤ω x≤ ,即 ≤x≤ 时,y=sin ω x 是减函数.

由 y=sin ω x(ω >0)在[0, ]上单调递增,在[ , ]上单调递减知, = ,所以ω = .

11.(2015 衢州二模 ) 设函数 f(x)=2cos( x+ ), 则该函数的最小正周期为 为 ,单调递增区间为 .

, 值域

解析:函数的最小正周期为 T=

=4π ,值域为 [-2,2],由 2kπ -π ≤ x+ ≤2kπ (k∈Z),可得

其单调递增区间为 4kπ - ≤x≤4kπ (k∈Z). 答案:4π [-2,2] [4kπ - ,4kπ - ](k∈Z).

12.(2015 洛阳一模)将函数 y=sin( x)sin( x+ )的图象向右平移 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则正数ω 的最小值为 .
2

解析:因为 y=sin( ω x)sin( ω x+ )= sin ω x+

sin ω x=

= sin(ω x- )+ ,所以将函数的图象向右平移 个单位,

所得解析式为 y= sin[ω (x- )- ]+

= sin(ω x-ω - )+ , 因为所得图象关于 y 轴对称, 所以-ω - =kπ + ,k∈Z, 可解得ω =-6k-4,k∈Z,
6

所以 k=-1 时,正数ω 的最小值为 2, 答案:2

一、选择题 1.设 P(x,2)为角α 终边上的一点,且 sin α = ,则 tan α 等于( A (A)1 (B)-1 (C)±1 (D)±2 (O 为坐标原点), )

解析:因为角α 终边上一点 P(x,2),所以|OP|= 由 sin α = =

,

得 x=2,所以 tan α = =1,故选 A. 2.(2015 江南二模)若 3sin θ =cos θ ,则 cos 2θ +sin 2θ 的值等于( (A)(B) (C)(D) B )

解析:因为 3sin θ =cos θ ,所以 tan θ = ,

所以 cos 2θ +sin 2θ = 故选 B.

=

=

= ,

3.在下面给出的函数中,既是区间(0, )上的增函数又是以π 为周期的偶函数的是( (A)y=x (x∈R) (B)y=|sin x|(x∈R) sin 2x (C)y=cos 2x(x∈R) (D)y=e (x∈R) 2 解析:y=x (x∈R)不是周期函数,故排除 A. 因为 y=|sin x|(x∈R)周期为π ,且根据正弦图象知在区间(0, )上是增函数. 故选 B.
2

B )

4.(2015 桐城市一模)函数 y=sin(2x- )在区间[- ,π ]的简图是( B )

7

解 析 : 当 x=- 时 ,y=sin[2?(- )- ]=-sin( π + )=sin =

>0, 排 除 A,D; 当 x=

时,y=sin(2? - )=sin 0=0,排除 C.故选 B.

5.(2015 惠州模拟)函数 f(x)= ω , ? 的值分别是( A )

sin(ω x+ ? )(x∈R,ω >0,| ? |< )的部分图象如图所示,则

(A)2,- (B)2,-

(C)4,- (D)4,

解析:由题图知 T= -(- )= π ,

所以 T=π ,即 =π ,解得ω =2.

由图象过( ,

)可知,

2? + ? = +2kπ ,k∈Z,

8

即 ? =- +2kπ ,k∈Z,

因为| ? |< ,得 ? =- ,

所以ω , ? 的值分别是 2,- . 故选 A. 6.(2015 威宁校级模拟)为了得到函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象,只需把函数 y=sin2x-cos2x 的图象( A ) (A)向左平移 个长度单位

(B)向右平移 个长度单位

(C)向左平移 个长度单位

(D)向右平移 个长度单位 解析:分别把两个函数解析式简化为 y=sin 2x+cos 2x= sin(2x+ ).

函数 y=sin 2x-cos 2x=

sin(2x- ),

又 y=

sin[2(x+ )- ]=

sin(2x+ ),

可知只需把函数 y=sin 2x-cos 2x 的图象向左平移 个长度单位,得到函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象.故选 A. 7.(2015 唐山一模)已知 2sin 2α =1+cos2α ,则 tan 2α 等于( A (A) 或 0 (B)- 或 0

)

(C)

(D)-

9

解析:把 2sin 2α =1+cos 2α 两边平方得 2 2 4sin 2α =(1+cos 2α ) , 2 2 整理得 4-4cos 2α =1+2cos 2α +cos 2α , 2 即 5cos 2α +2cos 2α -3=0, 得(5cos 2α -3)(cos 2α +1)=0, 解得 cos 2α = 或 cos 2α =-1,

当 cos 2α = 时,sin 2α =

= ;tan 2α = ,

当 cos 2α =-1 时,sin 2α =

=0,tan 2α =0,

则 tan 2α = 或 0.故选 A.

8.已知函数 f(x)=sin(ω x+ ? )(ω >0,| ? |< )的最小正周期是π ,若其图象向右平移 个单位 后得到的函数为奇函数,则函数 y=f(x)的图象( D ) (A)关于点( ,0)对称 (B)关于直线 x= 对称

(C)关于点( ,0)对称 (D)关于直线 x= 对称

解析:由题意可得 =π ,解得ω =2,

故 函 数 f(x)=sin(2x+ ? ), 其 图 象 向 右 平 移 个 单 位 后 得 到 的 图 象 对 应 的 函 数 为

y=sin[2(x- )+ ? ]=sin(2x- + ? )是奇函数,

又| ? |< ,故 ? =- ,

故函数 f(x)=sin(2x- ),

当 x= 时,函数 f(x)=sin =1,

10

故函数 f(x)=sin(2x- )关于直线 x= 对称, 故选 D. 9.(2015 丽水一模)设函数 f(x)=sin(ω x+ ? )+cos(ω x+ ? )(ω >0, | ? |< )的最小正周期为π ,且 f(-x)=f(x),则( A )

(A)f(x)在(0, )上单调递减

(B)f(x)在( , )上单调递减

(C)f(x)在(0, )上单调递增

(D)f(x)在( , )上单调递增 解析:由于 f(x)=sin(ω x+ ? )+cos(ω x+ ? ) = sin(ω x+ ? + ),

由于该函数的最小正周期为π = ,得出ω =2,

又 f(-x)=f(x),得 ? + = +kπ (k∈Z),

以及| ? |< ,得出 ? = .

因此,f(x)=

sin(2x+ )=

cos 2x,

若 x∈(0, ),则 2x∈(0,π ),

从而 f(x)在(0, )上单调递减,

若 x∈( , ),则 2x∈( , ),

11

该区间不为单调区间,故 B,C,D 都错,A 正确. 故选 A. 10.(2015 广西南宁二模)已知函数 f(x)=sin(2x+α )在 x= 时有极大值,且 f(x-β )为奇函数, 则α ,β 的一组可能值依次为( D ) (A) ,(B) ,

(C) ,-

(D) ,

解析:依题意知,f( )=1, 即 sin(2? +α )=1,

所以 +α = +2kπ (k∈Z),

所以α = +2kπ (k∈Z),k=0 时,α = ; 又 f(x-β )=sin(2x+α -2β ), 因为 f(x-β )为奇函数,所以α -2β =nπ (n∈Z), 即β = - = - (k∈Z),

当 n=0 时,β = ,故选 D. 二、填空题 11.若α ∈(0,π ),且 3cos 2α =sin( -α ),则 sin 2α 的值为 .

解析:因为 3cos 2α =sin( -α ),

所以 3(cos α -sin α )= (cos α -sin α ),

2

2

所以(cos α -sin α )[3(cos α +sin α )- ]=0,

所以 cos α -sin α =0 或 3(cos α +sin α )- =0,
12

当 cos α -sin α =0 时,tan α =1, 又α ∈(0,π ),所以α = ,

所以 sin 2α =sin =1.

当 3(cos α +sin α )- =0 时,

sin α +cos α = ,两边平方得 sin 2α =- .

答案:1 或-

12.(2015 张家港市校级模拟)函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0,| ? |< )的部分图象如图所

示,则将 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,得到的图象解析式为

.

解析:由题图知,A=1, T= π ,所以 T=π ,ω = =2,

又 ?2+ ? = +2kπ (k∈Z),

所以 ? =2kπ + (k∈Z),又| ? |< ,所以 ? = ;

所以 f(x)=sin(2x+ ),

所以将 y=f(x)的图象向右平移 个单位后得 y=sin[2(x- )+ ]=sin(2x- ).

答案:y=sin(2x- )

13

13.(2014 北京卷)设函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )(A,ω , ? 是常数,A>0,ω >0).若 f(x)在区间[ , ]

上具有单调性,且 f( )=f( )=-f( ),则 f(x)的最小正周期为

.

解析:因为 f(x)在[ , ]上具有单调性,

所以 ≥ - ,

所以 T≥ .

因为 f( )=f( ),

所以 f(x)的一条对称轴为 x=

= .

又因为 f( )=-f( ),

所以 f(x)的一个对称中心的横坐标为

= .

所以 T= - = ,所以 T=π . 答案:π 三、解答题 14.(2015 淄博模拟)已知函数 f(x)=2sin ω xcos ω x+2 (ω >0)的最小正周期是π . sin ω x
2

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求

y=g(x)的解析式及其在[0, ]上的值域.

解 :(1) 由题 意 , 得函数 f(x)=2sin ω xcos ω x+2

sin ω x-

2

=sin 2 ω x-

cos 2 ω
14

x=2sin(2ω x- ), 因为 f(x)的最小正周期是π , 所以 =π ,所以ω =1.

所以 f(x)=2sin(2x- ).

由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z,

解得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z.

所以函数 f(x)的单调递增区间:[kπ - ,kπ + ],k∈Z.

(2) 将 函 数 f(x) 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 得 到 函 数

y=g(x)=2sin(2x+ )+1.

因为 x∈[0, ],

所以 2x+ ∈[ , ],

当 2x+ = 时,

即 x= 时,函数取得最大值 3.

当 2x+ = 时,

即 x= 时,函数取得最小值:1-

.

15

所以 y=g(x)在[0, ]上的值域为[1-

,3].

16


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