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2010届高考复习资料:高中数学基础知识汇总


2013 届高三数学资料

高中新课标数学基础知识汇总
第一部分 集合
1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键: 元素是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值? ..... 还是曲线上的点?… ; 2.数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具,将抽 .... 象的代数问题具体化、形象化、直

观化,然后利用数形结合的思想方法解决; ? 是任何集合的子集,是任 何非空集合的真子集。 3. (1)含 n 个元素的集合的子集数为 2 n ,真子集数为 2n ? 1 ;非空真子集的数为 2n ? 2 ; (2) A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B; 注意:讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况; (3) a ? A , a ? A ; B ? A , B ? A ;
?

第二部分

函数与导数

1.映射:非空数集 A 到非空数集 B 的一个对应; 注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。 2.函数的三要素:解析式、定义域、值域; 函数解析式的求法:待定系数法、换元法、代入法求表达式; 函数定义域的求法:求函数解析式有意义时自变量的取值范围。 (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数函数的真数大于零; (4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1; (5) tan ?? x ? ? ? 中, ? x ? ?

? k? ?

?
2

,k ? Z ,

函数值域的求法(最值) :①分析法 ;②配方法 ;③利用函数单调性(导数法) ;④基本函数的值域 ; ⑤利用均值不等式

ab ?

a?b ⑥利用数形结合或几何意义 (斜率、 距离、 绝对值的意义等) ; , (a ? 0, b ? 0) ; 2

3.复合函数的有关问题 复合函数单调性的判定:①首先将原函数 y ? f [ g ( x)] 分解为基本函数:内函数 u ? g (x) 与外函数

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y ? f (u) ;②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根据“同性则增,异性则减”来判断原
函数在其定义域内的单调性。 注意:外函数 y ? f (u ) 的定义域是内函数 u ? g (x) 的值域。 4.分段函数:值域(最值) 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; .... ⑵ f (x) 是奇函数 ?

f ( ? x ) ? ? f ( x) ? f ( ? x) ? f ( x) ? 0 ?

f ( ? x) ? ?1 ( f ( x) ? 0) ; f ( x)

⑶ f (x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? ⑷奇函数 f (x) 在原点有定义,则 f (0) ? 0 ;

f (? x) ? 1 ( f ( x) ? 0) ; f ( x)

⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数在对称区间上有相同的单调性,偶函数在对称区间上有相反的单 调性; 6.函数的单调性 ⑴单调性的定义: f (x) 在区间 M 上是增(减)函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x2 时

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0(? 0) ? ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0(? 0) ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0(? 0) ; x1 ? x 2

⑵判定函数单调性的定义法:注意:一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式, 以利于判断符号;②导数法(见导数部分) ;③复合函数法;④图像法。 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性 (1)周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 f ( x ? T ) ? f ( x) (其中 T 为非零常数) ,则称函数 f (x) 为周期函数,T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的 周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期 ① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cos x : T ? 2? ;③ y ? tan x : T ? ? ;

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④ y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos( x ? ? ) : T ? ?

? 2? ;⑤ y ? tan ?x : T ? ; |? | |? |

⑶函数周期的判定:①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论) ⑷与周期有关的结论:① f ( x ? a) ? f ( x ? a) 或 f ( x ? 2a) ? f ( x)(a ? 0) ? f (x) 的周期为 2a ;②

y ? f (x) 的图象关于点 (a,0), (b,0) 中心对称 ? f (x) 周期 T ? 2 a ? b ;③ y ? f (x) 的图象关于直线 x ? a, x ? b 轴对称 ? f (x) 周期为 T ? 2 a ? b ;
④ y ? f (x) 的图象关于点 (a,0) 中心对称,直线 x ? b 轴对称 ? f (x) 周期 T ? 4 a ? b ; 8.基本初等函数 ⑴幂函数: y ? x
?

( ? ? R) ;⑵指数函数: y ? a (a ? 0, a ? 1) ;
x

⑶对数函数: y ? log a x(a ? 0, a ? 1) ;⑷正弦函数: y ? sin x ; ⑸余弦函数: y ? cos x ; (6)正切函数: y ? tan x ;⑺二次函数: f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ;
2

⑻其它常用函数:①正比例函数: y ? kx(k ? 0) ;②反比例函数: y ? ③函数 y ? x ?

k 1 (k ? 0) ;特别的 y ? , x x

a (a ? 0) ; x
2

9.二次函数:⑴解析式:①一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c ; ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) ? k , (h, k ) 为顶点;③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 。 (其中 a ? 0 )
2

⑵二次函数问题解决需考虑的因素:①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根 符号。 ⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。 ⑷三个“二次”之间的关系:①利用图像记住不等式的解集;②利用二次函数解决方程根的分布: 10.函数图象⑴图象作法 :①描点法(注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法 ⑵图象变换: ① 平移变换:ⅰ y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) , (a ? 0) ———左“+”右“-” ; ⅱ y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k , (k ? 0) ———上“+”下“-” ;

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② 伸缩变换: ⅰ y ? f ( x) ? y ? f (?x) , ( ? ? 0) ———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的

1 倍; ?

ⅱ y ? f ( x) ? y ? Af ( x) , ( A ? 0) ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 A 倍; ③ 对称变换:ⅰ y ? f (x) ??? y ? ? f (? x) ;ⅱ y ? f (x) ??? y ? ? f (x) ; ? ?
(0,0)
y?0

ⅲ y ? f (x) ??? y ? f (? x) ; ?
x?0

ⅳ y ? a , (a ? 0且a ? 1) ??? y ? log a x, (a ? 0且a ? 1) ; ?
x

y?x

④ 翻转变换:ⅰ y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ———右不动,右向左翻( f (x) 在 y 左侧图象去掉) ; ⅱ y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | ———上不动,下向上翻(| f (x) |在 x 下面无图象) ; 11.函数图象(曲线)对称性的证明 (1)证明函数 y ? f (x) 图像的对称性, 即证明图像上任意点关于对称中心 (对称轴) 的对称点仍在图像上; (2)证明函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 图象的对称性,即证明 y ? f (x) 图象上任意点关于对称中心(对称 轴)的对称点在 y ? g (x) 的图象上,反之亦然; 注:①曲线 C : F ( x , y) ? 0 关于点 (a , b) 的对称曲线 C : F (2a ? x ,2b ? y) ? 0 ;
'

②曲线 C : F ( x , y) ? 0 关于直线 x ? a 的对称曲线 C : F (2a ? x , y ) ? 0 ;
'

③曲线 C : F ( x , y) ? 0 关于直线 y ? x ? a 的对称曲线 C : F ( y ? a , x ? a) ? 0
'

曲线 C : F ( x , y) ? 0 关于 y ? ? x ? a 的对称曲线 C : F (? y ? a , ? x ? a) ? 0
'

12.函数零点的求法:⑴直接法(求 f ( x) ? 0 的根) ;⑵图象法;⑶二分法. 13.导数 ⑴导数定义: f ( x) 在点 x0 处的导数记作
'
n '

f ?( x0 ) ? lim
n ?1

?x?0
'

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x

⑵常见函数的导数公式: ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx
' x ' x x '

;③ (sin x) ? cos x ;
x

1 1 ' ;⑧ (ln x) ? ; x ln a x u u?v ? uv? ⑶导数的四则运算法则: (u ? v)? ? u? ? v?;(uv)? ? u?v ? uv?;( )? ? ; v v2
' ④ (cos x) ? ? sin x ;⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;⑦ (log a x) ?

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? x ⑷复合函数的导数: y? ? yu ? u ? ; x
⑸导数的应用:①利用导数求切线方程: y ? f ( x0 ) ? f ( x0 )( x ? x0 )
'

②利用导数判断函数单调性:ⅰ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 是增函数;ⅱ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数;ⅲ

f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为常数;
③利用导数求极值:ⅰ求导数 f ?(x) ;ⅱ求方程 f ?( x) ? 0 的根;ⅲ列表得极值; 注:判断极值应对极值的两端导数符号进行判断; ④利用导数最大值与最小值:ⅰ求得的极值;ⅱ求区间端点值(如果有) ;ⅲ得最值. 注:在应用题中,开区间内的唯一极值为所求的最值; 14.定积分 ⑴定积分的定义: ? f ( x)dx ? lim?
b a n ??

b?a f (?i ) n i ?1
n

⑵定积分的性质: ① ? a kf ( x)dx ? k ? a f ( x)dx ( k 常数) ;② ? a [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? a f 1 ( x)dx ? ? a f 2 ( x )dx ; ③ ? a f ( x)dx ? ? a f ( x)dx ? ? c f ( x)dx (其中 a ? c ? b) 。
b c b b b b b b

⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式) ? a f ( x)dx ? F ( x) |b ? F (b) ? F (a ) : a ⑷定积分的应用:①求曲边梯形的面积: S ? ? a | f ( x) ? g ( x) | dx ; ① 求变速直线运动的位移: S ? ? a v (t )dt ;③求变力做功: W ?
b b

b

?

b a

F (s)ds .

第三部分

立体几何

1.三视图与直观图:掌握利用三视图求解组合体的表面积与体积; 2.表(侧)面积与体积公式: ⑴圆柱:①表面积: S全 ? 2? r (l ? r ) ;②侧面积: S ? 2? rl ;③体积: V ? Sh ; ⑵圆锥:①表面积: S全 ? ? r (l ? r ) ;②侧面积: S ? ? rl ;③体积: V ?
2 2

1 Sh : 3

' ⑶圆台:①表面积: S全 ? ? (r ? r ' ? lr ? lr ') ;②侧面积: S ? ? (r ? r )l ;

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③体积: V ?

1 ; ( S ? SS ' ? S ' )h ) 3
2

⑷球体:①表面积: S ? 4? R ;②体积: V ? 3.位置关系的证明(主要方法) :

4 3 ?R 3



⑴直线与直线平行:①公理 4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行 ? 线面平行。 ⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 注:理科还可用向量法; 4.求角: (步骤-------Ⅰ。找出角或作角;Ⅱ。求角) ⑴异面直线所成角 ? 的求法:①几何法:平移直线,构造三角形; ? ? (0 , ②向量法,转化为两直线方向向量的夹角: cos ? ? cos ? a , b ?

?
2

]

? ?

? ?? ? 2? ? ? ? ? ②向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角: sin ? ? cos ? a , n ? ( n 为平面的法向量)
⑵直线与平面所成的角 ? :①几何法:求解直线与其射影所成的角; ? ? ? 0 , ⑶二面角的大小 ? : ①几何法:在二面角的棱上任取一点(特殊点) ,作出平面角,再求解; ②向量法,转化为两个半平面法向量的夹角: cos ? ? cos ? n1 , n2 ? (或 cos ? ? ? cos ? n1 , n2 ? ) 5.求点到平面的距离:①找或作垂线段,求距离;②等体积法;③向量法: d ?

?? ?? ?

?? ?? ?

| AB ? n | |n|



6.结论: (1)长方体的体对角线的平方等于过同一顶点的三条棱的平方和; d ? a ? b ? c
2 2 2

2

(2)正四面体的性质:设棱长为 a ,则正四面体的: ①高: h ?

6 a ;②表面积: 3a 2 3

体积:

2a 3 2 a; ;③对棱间距离: 12 2

④内切球半径:

6 6 1 a ;外接球半径: a ;⑤相邻两面所成角余弦值: 12 4 3
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第四部分

直线与圆
x a y ? 1? a , b ? 0 ? ; b

1. 直线方程⑴点斜式: y ? y? ? k ( x ? x? ) ; ⑵斜截式: y ? kx ? b ; ⑶截距式: ? ⑷两点式:

y ? y1 x ? x1 ? ? x2 ? x1 ? 0, y2 ? y1 ? 0 ? y2 ? y1 x2 ? x1



⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 , A , B 不全为0) ( 。直线的方向向量: B,? A) ,法向量( A, B) ( 2.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件; (2)作可行域,写目标函数; (3)确定目标函数的最优解。 3.两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

l1 : y ? k1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b2

k1 ? k2 , b1 ? b2

k1 ? k 2 ? ?1

l1 , l 2 有斜率

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
4.直线系

A1 B2 ? A2 B1 , 且 B1C2 ? B2 C1 (验证)

A1 A2 ? B1 B2 ? 0

不可写成分式

直线方程 平行直线系 垂直直线系 相交直线系

y ? kx ? b
y ? kx ? m ? m ? b ?

Ax ? By ? C ? 0
Ax ? By ? m ? 0 ? m ? C ?

1 y ? ? x ? m ? k ? 0? k

Bx ? Ay ? m ? 0

A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 不包括 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

5.几个公式 ⑴设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , ?ABC 的重心坐标: ( ⑵点 P ( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ?

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ); 3 3


Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

⑶两条平行线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离是 d ? 6.圆的方程:⑴标准方程:① ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2 2

C1 ? C2 A2 ? B 2
2 2



;② x ? y ? r



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⑵一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2
2 2

( D ? E ? 4F ? 0 ) ;
2 2 2 2

注: Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆 ? A ? C ? 0 且 B ? 0 且 D ? E ? 4 F ? 0 ; 7.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法. 8.圆系:过两圆的交点: x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E 2 y ? F2 ) ? 0, (? ? ?1) ;
2 2 2 2

不包括 x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 注:当 ? ? ?1 时,若两圆相交,则表示两圆相交的公共弦所在的直线; 若两圆相切,则表示以公共点为切点的公切线 9.点、直线与圆的位置关系: (主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系: d 表示点到圆心的距离) ( ① d ? R ? 点在圆上;② d ? R ? 点在圆内;③ d ? R ? 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系: d 表示圆心到直线的距离) ( ① d ? R ? 相切;② d ? R ? 相交;③ d ? R ? 相离。 ⑶圆与圆的位置关系: d 表示圆心距, R, r 表示两圆半径,且 R ? r ) ( ① d ? R ? r ? 相离;② d ? R ? r ? 外切;③ R ? r ? d ? R ? r ? 相交; ④ d ? R ? r ? 内切;⑤ 0 ? d ? R ? r ? 内含。 10.与圆有关的结论: ⑴过圆 x ? y ? r 上的点 P ( x0 , y0 ) 的切线方程为: x0 x ? y0 y ? r ;
2 2 2
2

⑵以 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 为直径的圆的方程: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 。

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第五部分

圆锥曲线

1.定义:⑴椭圆: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ; 焦点在 x 轴上:

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ;焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a2 b a b

⑵双曲线: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ;

x2 y 2 y 2 x2 焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) ;焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) ; a b a b
⑶抛物线:

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
2.结论

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x 2 ? 2 py ( p ? 0)

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

2 (1)弦长公式: AB ? 1 ? k ? x2 ? x1 ?

(1 ? k 2 ) ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2


AB ? 1 ?

1 1 ? y2 ? y1 ? (1 ? 2 ) ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 k k

(2)焦点弦长:①椭圆: | AB |? 2a ? e( x1 ? x2 ) ;②抛物线: AB ? x1 ? x2 ? p ; (3)过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: mx ? ny ? 1
2 2

( m, n 同时大于 0 时表示椭圆, mn ? 0 时表示双曲线) ; (4)椭圆中的结论:①内接矩形最大面积 : 2ab ;②当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 ?F1 PF2 最大; (5)双曲线中的结论:

x2 y 2 x2 y 2 ①双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ; a b a b
②共渐进线 y ? ?

x2 y 2 b x 的双曲线标准方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) ; a b a

③双曲线为等轴双曲线 ? e ? (6)抛物线中的结论:

2 ? 渐近线为 y ? ? x ? 渐近线互相垂直;

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抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦 AB 性质:
2

① x1 x2 ?

p2 2 ; y1 y2 ? ? p ; 4



1 1 2 ; ? ? | AF | | BF | p

③以 AB 为直径的圆与准线相切; ④以 AF (或 BF )为直径的圆与 y 轴相切; ⑤ S?AOB ?

p2 ( ? 为过焦点直线的倾斜角) . 2sin ?
2 0

(7)抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 内接直角三角形 OAB(?AOB ? 90 ) 的性质: ① x1 x2 ? 4 p , y1 y2 ? ?4 p ;
2 2

② l AB 恒过定点 (2 p,0) ; ③ A, B 中点轨迹方程: y ? p( x ? 2 p) ;
2

④ OM ? AB ,则 M 轨迹方程为: ( x ? p) ? y ? p ;⑤ ( S ?AOB ) min ? 4 p
2 2 2

2



3.直线与圆锥曲线问题解法: ⑴直接法(通法) :联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。 注意以下问题:①联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程? ②直线斜率不存在时考虑了吗?③判别式验证了吗? ⑵设而不求(代点相减法) :--------处理弦中点问题 步骤如下:①设点 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ;②作差得 k AB ? 4.求轨迹的常用方法: (1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式)(3)代入法(相关点法或转移法) ; ; (5)参数法; (6)交轨法。 (注:求解轨迹方程要检验是否存在不符合要求的点)

y1 ? y 2 ? ?? ;③解决问题。 x1 ? x 2

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第六部分

三角函数、三角恒等变换与解三角形
?

1.⑴角度制与弧度制的互化: ? 弧度 ? 180 , 1? ?

?

180 1 1 ⑵弧长公式: l ? ? R ;扇形面积公式: S ? ? R 2 ? Rl 。 2 2

弧度, 1 弧度 ? (

180

?

) ? ? 57 ?18 '

2.三角函数定义:角 ? 终边上任意一点 P 为 ( x, y ) ,设 | OP |? r 则:

sin ? ?

y x y , cos? ? , tan ? ? ( x ? 0) r r x

3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦; 4.诱导公式记忆规律: “奇变偶不变,符号看象限” ; 5.同角三角函数的基本关系: sin x ? cos x ? 1 ;
2 2

sin x ? tan x ; cos x

6.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; ② cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ③ tan(? ? ? ) ? ? ④辅助角公式: a sin x ? b cos x ? 其中 tan ? ?

tan? ? tan ? 。 1 ? tan? tan ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? ,

b , ? 所在的象限由 a, b 的符号确定 a 7.二倍角公式:① sin 2? ? 2 sin ? cos? ;
② cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? ;③ tan 2? ?
2 2 2 2

2 tan? 。 1 ? tan 2 ?

8.⑴ y ? A sin(?x ? ? ) : ? A ? 0, ? ? 0 ? ①当 x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 时, ymax ? A ;当 x ? 2k? ?

2k? ?
②单调递增区间: [

?
2

? ? 2k? ?
,

?
2

3? (k ? Z ) 时, ymin ? ? A ; 2

?? ??

2k? ?
单调递减区间:

? ?

[

?

2

? ? 2k? ?
,

? 3?
2

], (k ? Z ) ;

?
?

], (k ? Z )

k? ? ? ? 2? k? ? ? 2 ③周期 T ? ;④对称轴: x ? , 0)(k ? Z ) ; (k ? Z ) ;⑤对称中心: ( ? ? ?
⑵ y ? A cos( x ? ? ) : ? A ? 0, ? ? 0 ? ?

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①当 x ? 2k? (k ? Z ) 时, ymax ②单调递增区间: [ 单调递减区间:

? A ;当 x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 时, ymin ? ? A ;
,

2k? ? ? ? ? 2k? ? ?

? ? 2k? ? ? 2k? ? ? ? ? [ , ], (k ? Z ) ? ?

], (k ? Z ) ;

? k? ? ? ? 2? k? ? ? 2 ③周期 T ? ;④对称轴: x ? , (k ? Z ) ;⑤对称中心: ( , 0), (k ? Z ) ; ? ? ?
⑵ y ? A tan(? x ? ? )

①单调递增区间: x ? (

k? ?

?
2

? ? k? ?
,

?
2

??

?

?

), (k ? Z ) ;

②周期 T

?

?
?

k? ?? ;③对称中心: ( 2 , 0)(k ? Z )

?

9.正、余弦定理⑴正弦定理

a b c ? ? ? 2 R ( 2R 是 ?ABC 外接圆直径) sin A sin B sin C

注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; ③

a b c a?b?c 。 ? ? ? sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
2 2 2
2 2 2 2 2 2

⑵余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A , b ? a ? c ? 2ac cos B , c ? a ? b ? 2ab cos C ; 注: cos A ?

b2 ? c2 ? a2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ; cos B ? ; cos C ? . 2bc 2ab 2ac

10。几个公式:⑴三角形面积公式:

S ?ABC ?

1 1 ah ? ab sin C ? 2 2

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) , ( p ?

1 (a ? b ? c)) ; 2

⑵内切圆半径 r ?

2S?ABC ;外接圆直径 2R ? a ? b ? c ; sin A sin B sin C a ?b?c
b

C a h A

11.已知 a, b, A 时三角形解的个数的判定: 其中 h ? b sin A ,⑴ A 为锐角时: ① a ? h 时,无解;② a ? h 时,一解(直角) ; ③ h ? a ? b 时,两解(一锐角,一钝角) ;④ a ? b 时,一解(一锐角) 。 ⑵ A 为直角或钝角时:① a ? b 时,无解;② a ? b 时,一解(锐角) 。
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第七部分
1.向量的基本概念

平面向量

向量:既有大小又有方向的量;表示方法:有向线段 AB ,有向线段 a ; 相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作: a ? b ; 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量,记作 a // b ; 0 ( // 2.向量的线性运算 (1)向量加法运算及其几何意义 平行四边形法则: 三角形法则: AB ? BC ? AC (首尾连接); (2)向量减法运算及其几何意义 三角形法则: OA ? OB ? BA 注: a ? b ? a ? b ? a ? b (3)向量数乘运算及其几何意义 实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,长度为: ? a ? ? a , 方向:当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时, ? a ? 0 ; (4)非零向量的数量积: a ? b ? a ? b cos ? , 0 ? ? ? ? , ? 是向量 a 与 ?b 的夹角) ( 规定零向量与任一向量的数量积为 0 ,

??? ?

?

?

?

? ?

? ? a)

??? ??? ? ?

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2 2 ? ? ? ? ? 当 ? ? ? ? 时, a ? b ? 0 ; 当 ? ? ? 时, a 与 b 异向. 2 ? ? ? ? ? ? ? a ? b 的几何意义: a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos ? 的乘积.
3.向量的平行与垂直

注:当 ? ? 0 时, a 与 b 同向;当 0 ? ? ?

?

?

?

时, a ? b ? 0 ;当 ? ?

? ?

?

时, a ? b ;

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a // b ? a ? ? b (b ? 0) ; a ? b ? a ? b? 0(a ? 0 , b ? 0)
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4.平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一个平面内的 任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ?2 ,使得 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 结论:设 a与b 都是非零向量: a ? a ? a ; a ? 5.坐标运算: 点 A 的坐标 (a , b) 即是向量 OA 的坐标 (a , b) ,记作: A (a , b) ; OA ? (a , b) ;

?? ?? ?

?

?

??

?? ?

?

?

? ?

?2

?

? ? ? ? ? ? a ?a ; a ?b ? a b ;

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ; AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ; ? ? a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 ? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,

? a ? x12 ? y12
? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,

? a ? ? ( x1 , y1 ) ? (? x1 , ? y1 ) ,

?

? ? ? ? a? b a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 , cos ? ? ? ? ? a b
? ? a ? b ? x1 ? x2 , y1 ? y2

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ( a, b 是任意向量), a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ( a, b 是非零向量) ;
6.三点共线的充要条件 P , A , B 三点共线 ? OP ? xOA ? yOB (且 x ? y ? 1 ) ; 四点共面的充要条件 A , B , C 点不共线, P , A , B , C 四点共面 ? OP ? xOA ? yOB ? zOC (且 x ? y ? z ? 1 ) 。

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

第八部分
1.定义:

数列

{ ? ? ⑴等差数列 an} an ?1 ? an ? d (d为常数) 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N *)
? an ? kn ? b ? Sn ? An2 ? Bn ;
⑵等比数列 {an } ?

an ?1 ? q(q ? 0) ? an 2 ? an-1 ? an ?1 (n ? 2,n ? N* ) an

? an ? cq n (c, q均为不为0的常数) Sn ? k ? kq n (q ? 0, q ? 1, k ? 0) ; ?
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2.等差、等比数列性质 等差数列 通项公式 等比数列

a n ? a1 ? (n ? 1)d

a n ? a1 q n ?1

1.q ? 1时,S n ? na1 ;
前 n 项和

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

2.q ? 1时,S n ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q 1? q

性质 1

an ? am ? (n ? m)d

an ? am q n ? m

m ? n ? k ? l 时,
性质 2

am ? an ? ak ? al
Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,? 成等差,

m ? n ? k ? l 时, am an ? ak al
一 般 地 , Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,? 成等比,公比 q ? q ;
' n

性质 3 公差 d ? n d
' 2

性质 4

a k , a k ? m , a k ? 2m ,?成等差,
公差 d ' ? md

a k , a k ? m , a k ? 2m ,?成等比,
公比 q' ? q
m

等差数列特有性质:①项数为 2n 时: S偶 ? S奇 ? nd ;

S奇 S偶

?

an ; a n ?1

②项数为 2n ? 1时: S2 n ?1 ? (2n ? 1)a中 ; S 奇 - S偶 ? a中 ; 3.数列通项的求法:

S奇 S偶

?

n ; n ?1

⑴分析法;⑵定义法(利用等差,等比的定义) ;⑶公式法: an ? ?

n ?1 ? S1 , ? Sn ? S n ?1 , n ? 2

⑷叠加法( a n ?1 ? a n ? c n 型) ;⑸叠乘法( ⑺数学归纳法:归纳——猜想——证明; 注:当遇到 a n ?1 ? a n ?1 ? d或 4.前 n 项和的求法:

a n ?1 ? c n 型)(6)构造法( a n ?1 ? kan ? b 型) ; ; an

a n ?1 ? q 时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。 a n ?1

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(1)常用数列之和: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

2 ? 4 ? 6? ?
1 ? 2?
3 3 3

n(n ? 1) 2 ; 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 1 ? n ; 2 n(n ? 1)(2n ? 1) ; n 2 n? ;? 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ? ? 2 n 6
2 3

n(n ? 1)(n ? 2) ? n(n ? 1?) 3 ?? n ? ? ? 。 ? ; 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? (n ? 1) ? 3 ? 2 ?

(2)求和基本方法 ①公式法:直接运用以上公式; ②倒序相加法:课本推导等差数列求和的方法,适用前后等距离项之和相等; ③错位相减法:课本推导等比数列求和的方法,适用等差等比数列相结合的新数列,乘公比再相减; ④裂项求和法:适用分母有等差数列相邻两项组成的形式等; ⑤分项求和法:将数列分成几个数列然后分别求和。 5.求数列中通项公式 an 或前 n 项和 S n 的最大最小值的方法: ①比较法:作差比较法,作商比较法;②构造相应的函数,用导数法求最值。

第九部分
1. 均值不等式: a , b ? R ,
?

不等式
a?b a 2 ? b2 ? (当且仅当 a ? b 时,等号成立) 2 2

2 1 1 ? a b

? ab ?

2.利用基本不等式求最值问题
? (1) a , b ? R ,当 ab 为定值时, a ? b 取最小值 2 ab ;

(2) a , b ? R ,当 a ? b 为定值时, ab 取最大值 (3)当 x ? R 时,函数 y ? x ?
?

?

( a ? b) 2 ; 4

p ( p ? 0) 的取值范围是 [2 p , ? ?) ; x p (4)当 x ? 0 时,函数 y ? x ? ( p ? 0) 的取值范围是 (?? , ? 2 p ] ? [2 p , ? ?) ; x a?b?c 3 ? 3 3 3 推广: a , b , c ? R a ? b ? c ? 3abc ; ? abc 3
注意:①一正二定三相等;②变形, ab ? (

a ? b 2 a 2 ? b2 ) ? 。 2 2

3.绝对值不等式: || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ; 4.不等式的性质: ⑴ a ? b ? b ? a; ⑵ a ? b, b ? c ? a ? c ;
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⑶ a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑷ a ? b, c ? 0 ? ac ? bd ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; ⑸ a ? b ? 0 ? a ? b ? 0(n ? N ) ;
n n ?

⑹a ? b ? 0?

n

a ? n b (n ? N ? ) 。

比较大小方法:依据 a ? b ? 0 ? a ? b , a ? b ? 0 ? a ? b ,作差,分解因式,判断符号,下结论. 依据 a ? 0 , b ? 0 , ? 1 ? a ? b , 5.不等式的解法 一元一次不等式的解法: ax ? b (a ? 0) , ax ? b (a ? 0) ? x ? 一元二次不等式的解法

a b

a ? 1 ? a ? b ,作商,下结论. b b b , ax ? b (a ? 0) ? x ? ; a a

??0 y
y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0)

??0 y

??0 y

x1 O

x2

x

?

O b

x
b 2a

O

x

2a
无解

ax2 ? bx ? c ? 0
ax2 ? bx ? c ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0
分式不等式:

x1,2 ?

?b ? b 2 ? 4ac 2a

x1 ? x2 ? ? x?? b 2a

(??, x1 ) ? ( x2 , ? ?)

R
?

( x1 , x2 )

?

? f ( x) g ( x) ? 0(? 0) f ( x) f ( x) ? 0(? 0) ? ? ; ? 0(? 0) ? f ( x) g ( x) ? 0(? 0) ; g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0

f ( x) f ( x) ?a? ? a ? 0 ,通分求解; g ( x) g ( x)
指数、对数不等式: (化为同底型)当 a ? 1 时, a
f ( x)

? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;当 0 ? a ? 1时,…

当 a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ;当 0 ? a ? 1时,… 绝对值不等式的解法:

f ( x) ? a (a ? 0) ? f ( x) ? a , 或 f ( x) ? ?a , f ( x) ? a (a ? 0) ? ?a ? f ( x) ? a ; f ( x) ? g ( x) ? c (a ? 0) :分情况讨论;利用绝对值几何意义求解;
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第十部分
1. 基本概念

复数

(1)复数 z ? a ? bi(a ? R, b ? R) 为实数、虚数、纯虚数的充要条件 ① z 为实数 ? b ? 0 ? z ? z ② z 为虚数 ? b ? 0 ? z ? z ③ z 为纯虚数 ? ?

?a ? 0 ?b ? 0

??

?z ? z ? 0 ? ?z ? 0 ?

(2)两个复数相等的充要条件: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d (3)共轭复数: z ? a ? bi 的共轭复数 z ? a ? bi 共轭的性质: zz ? z ? z ? a 2 ? b2 (a, b ? R) , z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi
2 2

(4)复数的模: z ?

a 2 ? b2

(5)复数的几何意义:复数 z ? a ? bi 与向量 OZ ? (a, b) 一一对应,复数 z ? a ? bi 与平面上的点

??? ?

Z (a, b) 一一对应

z1 ? z2 :表示两点 Z1 , Z 2 之间的距离;

z ? r :表示圆心在原点,半径为 r 的圆; z ? z1 ? r :表示以点 Z1 为圆心,半径为 r 的圆。
2. 复数的运算(四则运算) (1)加、减法: (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i (2)乘法: (a ? bi) (c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ;

(3)除法:

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad (分母实数化) ? ? ? c ? di (c ? di )(c ? di ) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

3. 一些常用结论: (1)虚数单位 i 的幂运算: i (2) (1 ? i) ? ?2i,
2
4 n ?1

? i, i 4 n? 2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i, i 4 n?4 ? 1, n ? N (周期 T ? 4 )

1? i 1? i ? i, ? ?i 。(3)设 a ? 0 , ?a 的平方根是: ? ai 1? i 1? i
2

(4)实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) ? ? 0 的两虚根: x ?

?b ? ??i 2a

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第十一部分

概率

1.事件的关系: ⑴事件 B 包含事件 A :事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 A ? B ; ⑵事件 A 与事件 B 相等:若 A ? B, B ? A ,则事件 A 与 B 相等,记作 A ? B ; ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或 B 发生,记作 A ? B (或 A ? B ) ; ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生且 B 发生,记作 A ? B (或 AB ) ; ⑸事件 A 与事件 B 互斥:若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ) ,则事件 A 与 B 互斥; ﹙6﹚对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件: P( A) ? P( B) ? 1 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ;

A包含的基本事件的个数 ; (列举基本事件的方法有:枚举法,列表法,树状图法) 基本事件的总数 构成事件A的区域长度(面积或体积等) ⑶几何概型: P( A) ? ; 试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)
⑵古典概型: P( A) ?

第十二部分
1.程序框图: 图形符号 名称 终端框 输入、输出框 处理框 判断框 流程线 2.算法的三种基本逻辑结构:

算法初步
功能 算法的起始与终止 算法输入、输出信息 赋值、计算 判断条件是否成立 连接程序框

顺序结构:由若干个依次执行的处理步骤组成,是算法基本结构; 条件结构:根据条件是否成立有不同的流向; 循环结构:按照一定条件,反复执行某一步骤;一般包含计数变量、累积变量、条件结构, 当型:先判断后执行,条件满足时执行循环体,不满足时终止; 直到型:先执行后判断,条件不满足时执行循环体,满足时终止; 3.算法的五种基本语句
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输入语句:INPUT “提示内容” ;变量 (多个变量用逗号隔开) ; 输出语句:PRINT “提示内容” ;表达式 (表达式中可以带有计算功能) ; 赋值语句:变量=表达式 计算右边的式子然后赋值给左边的变量; 条件语句:IF 条件 THEN 语句体 END IF IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF 循环语句:WHILE 条件 循环体 WEND DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

4. 程序框图分类: ① 条件结构(一个分支) ② 条件结构(两个分支)

满足条件?



满足条件?



是 否 步骤 步骤 11 步骤 步骤 2

③ 循环结构(当型)

④ 循环结构 (直到型)

循环体 循环体

满足条件?

满足条件? 是 是





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5.算法案例

①辗转相除法 ②秦九韶算法 当 x ? x0 时, ?

m ? nq ? r (0 ? r ? n) ;更相减损术
f ( x) ? an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a0

?v0 ? an (k ? 1, 2,?, n) ?vk ? vk ?1 x0 ? an ? k

③进位制

an an ?1 ? a1ao ( k ) ? an k n ? an ?1k n ?1 ? ? ? a2 k 2 ? a1k 1 ? a0 k 0 ;除 k 取余法;

常用逻辑用语 1.四种命题及其相互关系:⑴原命题:若 p 则 q ; ⑵逆命题:若 q 则 p ; ⑶否命题:若 ? p 则 ? q ;⑷逆否命题:若 ? q 则 ? p
注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价(互为逆否关系的两个命题同真同假)。 2.充分条件与必要条件 定义:命题“若 p ,则 q ”为真命题,记作 p ? q (等价于 ? q ? ? p ) ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件。若 p ? q ,则 p 与 q 互为充要条件。 充要条件的判断: (1)定义法----充分性: p ? q ;必要性: q ? p ; (2)利用集合间的包含关系: 若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件; 若 A ? B ,则 A 是 B 的充分不必要条件;
?

第十三部分

若 A ? B ,则 A 是 B 的充要条件;(充要条件的证明题必须分成必要性与充分性进行证明) 3.逻辑连接词: ⑴且(and) :命题形式 p ? q ; ⑵或(or) :命题形式 p ? q ; ⑶非(not) :命题形式 ? p .

p
真 真 假 假 4.含有一个量词的命题

q
真 假 真 假

p?q
真 假 假 假

p?q
真 真 真 假

?p
假 假 真 真

全称命题: ?x ? M , p( x) (含有全称量词“对所有的”“对每一个”“对任意一个”) 、 、 特称命题: ?x ? M , p( x) (含有存在量词“存在一个”“至少有一个”“有些”) 、 、 *解题技巧:命题的否定(命题的否定与否命题是不同的概念! )
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“ p 且 q ”形式命题的否定: ? p或? q “ p 或 q ”形式命题的否定: ? p且? q 一些正面叙述词语的否定: 正 否

? ?

? ?

? ?

是 不是

都是 不都是

一定 不一定

至少有一 一个没有

至多有一 至少有二

任意 某个

所有 某些

第十四部分
1.推理:

推理与证明

⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然 后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有 个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理, 称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的 特殊情况;⑶结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

二.证明
⒈直接证明 ⑴综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) ,这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索 因法。
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2.间接证明------反证法(正难反易) 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这 种证明方法叫反证法。

第十五部分
1.抽样方法

统计与统计案例

⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N ,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为 n 的样本, 且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为

n ; N

②常用的简单随机抽样方法有:(1)抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的 规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 l ; ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况,将总体分成几 部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数 ? 该部分个体数 ? 2.总体特征数的估计:
n ⑴样本平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? x i ;

n N

n

n

i ?1

n ⑵样本方差 S 2 ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( xi ? x ) 2 ; n n i ?1
n ⑶样本标准差 S ? 1 [( x ? x ) 2 ? ( x ? x ) 2 ? ??? ? ( x ? x ) 2 ] ? 1 ? ( x ? x ) 2 ; 1 2 n i

n

n

i ?1

3.回归分析的初步应用

(1)相关系数(判定两个变量线性相关性) r ? :

? (x
i ?1

n

i

? x)( y i ? y )
n

? (x
i ?1

n

i

? x) 2 ? ( y i ? y ) 2
i ?1

注:⑴ r ? 0 时,变量 x, y 正相关; r ? 0 时,变量 x, y 负相关;
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⑵① | r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强;② | r | 接近于 0 时,两个变量之间几乎不存在线性相 关关系.

y (2)线性回归方程: ? ? bx ? a , b ? (

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nx y
i ?1 i i

n

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

i ?1 n

i

i

2

?x
i ?1

x ? , a ?y b



2

i

? nx

2

4.回归分析中回归效果的判定:

? (1)残差: ei ? yi ? yi ;残差平方和: ? ?

?

?

2

? 1 n ?2 1 n e ? ( yi ? yi ) 2 ; ? n?2? n ? 2 i ?1 i ?1

(2)相关指数 R ? 1 ?
2

?(y ? y ) ?(y ? y )
i ?1 i i i ?1 n i i

n

?

2


2

注:① R 2 越大,残差平方和越小,则模型拟合效果越好;② R 2 越接近于 1, ,则回归效果越好。 5.建立回归模型的基本步骤: ⑴确定研究对象,明确解释变量与预报变量; ⑵画出散点图,观察它们之间的关系; ⑶确定回归方程的模型(非线性关系的转化为线性关系求解) ; ⑷估计回归方程中的参数(如最小二乘法) ;

? ×⑸得出结果后分析残差图是否有异常(利用残差平方和 ? 或相关指数 R 检验模拟效果) 。
2

2

6.独立性检验(分类变量关系) : (1) 2 ? 2 列联表; (2)图形:三维柱形图、二维条形图、等高条形图; (3)随机变量 K ?
2

n(ad ? bc) 2 (n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(4)判断分类变量 X 与 Y 有关系的方法: ①假设 H 0 : X 与 Y 无关系,则 H1 : X 与 Y 有关系; ②在三维柱形图中,主对角线柱形的高度的乘积与副对角线柱形的高度的乘积相差越大, H1 成立的可能

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性越大,说明两个分类变量有关系; ③在二维条形图中,
2

c a 与 的值相差越大, H1 成立的可能性越大;说明两个分类变量有关系; a?b c?d

④利用 P( K ? k ) ? p :断定 H 0 : X 与 Y 无关系,成立可能性为 p ; H1 : X 与 Y 有关系成立可能性为

1? p .

第十六部分

理科选修部分

一.数学归纳法 1.一般地证明一个与正整数 n 有关的一个命题,可按以下步骤进行: ⑴(奠基)证明当 n 取第一个值 n 0 时命题成立; ⑵(假设与递推)假设当 n ? k (k ? n0 , k ? N ) 命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立。 那么由⑴⑵就可以判定命题对从 n 0 开始所有的正整数都成立。 注:①数学归纳法的两个步骤缺一不可,用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行; ① n 0 的取值视题目而定. 2.数学归纳法的运用:证明与正整数有关的恒等式问题、整除问题、不等式问题、 数列中的猜想—归纳—证明;证明关键:在证明 n ? k ? 1 时利用归纳假设,并与结论比较; 二.排列、组合和二项式定理 1.加法、乘法原理 2.排列(所取元素有顺序要求)排列数公式: An ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ?
m

?

n! (规定: 0!? 1) (n ? m)!

3.组合(所取元素无顺序要求)组合数公式: Cn ?
m

m An n! n(n ? 1)? (n ? m ? 1) ? ? m Am m !(n ? m)! m!

组合数性质: (1) C n ? C n
m
n 0

n?m

m m m (2) Cn ? C n ?1 ? C n?1
1 n ?1 1

m (3) C n ?

m ? 1 m?1 Cn?1 n ?1

4.二项式定理: (a ? b) ? C n a ? C n a
n

k n b ? ? ? C n a n ? k b k ? ? ? C n b n (n ? N ? )

①通项: Tr ?1 ? C n a
r

n?r

b r (r ? 0,1,2,..., n); ②注意二项式系数与系数的区别;

5.二项式系数的性质: (1)项数:展开式共有 n ? 1项; (2)指数: a 的指数从 n 依次减 1 ,最后为 0 ; b 的指数从 0 依次增1 ,最后为 n ; (3)对称性:与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等, Cn
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m n ? Cn ? m ;

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(4)增减性:当 k

?

n ?1 时,二项式系数是逐渐增大, 2 n ? 1 项)的二项式系数最大; 2

(5)最大值:当 n 为偶数时,中间一项(

当 n 为奇数时,中间两项(
0

n ?1 n ?1 ? 1 项和 ? 1 项)的二项式系数相等且最大; 2 2

(6)各二项式系数的和: Cn

1 2 r n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n

各奇数项的二项式系数和与各偶数项的系数和相等且都等于 2
0 2 1 3 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1

n?1

(7)赋值法:记

f ( x) ? (c ? dx) n ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x n
f ? 0 ? ? c n ? a0 ;
n

令 x ? 0 ,则 令x

? 1 , 则 f (1) ? ? c ? d ? ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an
f (?1) ? ? c ? d ? ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ?1? an
n n

令 x ? ?1 , 则

a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ?
三.随机变量及其分布 一、四种常见概率模型

f (1) ? f ( ?1) 2

, a1 ? a3 ? a5 ? ? ?

f (1) ? f ( ?1) 2

1.等可能性事件的概率: P ( A) ?

m n

2.互斥事件有一个发生的概率 (1)事件 A 与 B 互斥:是指事件 A 与 B 不可能同时发生; (2) A ? B :是指事件 A 与 B 中至少有一个发生; 事件 A B 互斥: P( A ? B) ? 、 事件 A B 独立: P( A ? B) ? 、 (3)对立事件: P ( A)

P( A) ? P( B) ;
P( A) ? P( B) ? P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ;

? 1 ? P( A)

3.相互独立事件同时发生的概率
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条件概率:在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率 P( B A) ?

n( AB) P( AB) ? n( A) P( A)

(1)事件 A 与 B 相互独立:事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响; (2) A?B :是指事件 A 与 B 同时发生; 事件 A B 相互独立 ? 、

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ; P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ;
k p : Pn (k ) ? Cn p k (1 ? p) n?k , k ? 0,1,2, 3 , ?, n ;

4. n 独立重复试验事件恰好发生 k 次的概率 试验重复进行 n 次,事件 A 发生的概率为

二、随机变量的分布列:随机变量 ? 的分布列: P(? ? xi ) ? pi i ? 1, 2 , 3 , ? , n (1) 0 ? pi ? 1, i ? 1, 2 , 3 , ? , n (2) 1.几种常见分布列 超几何分布: P (? ? k ) ?
k n CM C N? kM ? , k 的可能取值由具体的 N , M , n 确定. n CN
k k n ?k

?p
i ?1

n

i

? p1 ? p2 ? p3 ? ? ? pn ? 1

二项分布: ? ? B(n, p) , P(? ? k ) ? Cn p (1 ? p)

k ? 0 ,1, 2 , 3 , ? , n
( x ? ? )2 2? 2

? 1 e 正态分布 ①定义:如果随机变量 ? 的概率密度函数 f ( x) ? 2??

( x ? R) ,其中 ? , ? 为参数.

则记 ? ~ N ( ? , ? ) ,其中 ? , ? 代表总体的平均数和标准差.
2

随机变量 ? 落在区间 (a , b] 的概率为 P(a ? ? ? b) ?

?

b

a

f ( x)dx .

掌握三个取值区间: P(? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 0.6826 ; P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ;

P(? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ) ? 0.9974 ;
2.期望与方差 期望: E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ,表示随机变量取值的平均水平. E (a? ? b) ? aE? ? b ; 两点分布: E? ? p ;二项分布: E? ? np ;正态分布: E? ? ? . 方差: D? ? ( x1 ? E? ) ? p1 ? ( x2 ? E? ) ? p2 ? ? ? ( xn ? E? ) ? pn , D(a? ? b) ? a D? ,
2 2 2

2

两点分布: D? ? p(1 ? p) ;二项分布: D? ? np(1 ? p) ;正态分布: D? ? ? .
2

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第十七部分
一、不等式选讲 1、均值不等式:

选讲部分

a?b?c 3 ? abc , ? a, b, c ? 0 ? 当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立 3

2、绝对值不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b

二、几何证明选讲 1、相似三角形的判定及有关性质 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 相似三角形的定义:对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比值叫做相似比. 相似三角形判定定理1(AA) :对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对 应相等,那么这两个三角形相似. 相似三角形判定定理2(SAS) :对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应 成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 相似三角形判定定理3(SSS) :对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条两 边对应成比例,那么这两个三角形相似. 直角三角形的相似: (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似; (3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例,那么它们相似; 相似三角形的性质相似: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、和对应角平分线的比等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方; 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方; 直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项;两直角边分别是它们 在斜边上射影与斜边的比例中项. a cos B ? b cos A ? c ) ( 2、直线与圆的位置关系 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧;
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圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对应的圆心角的一半. 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 圆内接四边形的性质与判定定理: 性质:圆的内接四边形的对角互补。圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角. 判定:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆. 圆的切线的性质与判定定理: 判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 性质:圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 三、极坐标与参数方程选讲 1、平面直角坐标系基础知识:两点 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 的距离公式为 P P2 ? 1 1

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

已知 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则线段 AB 的中点坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

2、坐标的平移变换: y ? f ( x ? a) 的图像:将 f (x) 的图像向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 a 个单位

y ? f ( x) ? b 的图像:将 f (x) 的图像向上 (b ? 0) 或向下 (b ? 0) 平移 b 个单位
? x' ? x ? a ? 定义:设点 P( x, y ) 是平面直角坐标系中任意一点,在变换 ? : ? ' 的作用下,点 P( x, y ) 对应的点 ?y ? y ?b ?

P ' ( x ' , y ' ) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标平移变换。
注:曲线 C : f ( x, y) ? 0 经平移变换 ? 得到曲线 C 的表达式是 f ( x ? a, y ? b) ? 0
'

3、坐标的伸缩变换: (1) y ? f (ax)( a ? 0) 的图像:将 y ? f (x) 的图像上各点的横坐标伸 (0 ? a ? 1) 或缩 (a ? 1) 到原来的

1 倍。 a

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(2)y ? Af ( x)( A ? 0) 的图像: y ? f (x) 的图像上各点的纵坐标伸 ( A ? 1) 或缩 (0 ? a ? 1) 到原来的 A 倍。 将

? x ' ? ? x (? ? 0) ? 定义:设点 P( x, y ) 是平面直角坐标系中任意一点,在变换 ? : ? 的作用下,点 P( x, y ) 对应的 ' ? y ? ? y ( ? ? 0) ?
点 P ( x , y ) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。
' ' '

注:曲线 C : f ( x, y) ? 0 经伸缩变换 ? 得到曲线 C 的表达式是 f (
'

x' y' , )?0

? ?

4、对称变换与翻转变换:详见第二部分 极坐标系 1、极坐标系的概念:在平面内任取一定点 O ,由点 O 引一条射线 Ox ,并确定一个长度单位、一个角度单位 (通常取弧度)及角度的正方向(通常取逆时针) ,构成一个极坐标系。其中 O 叫做极点, Ox 叫做极轴。 2、点的极坐标:平面上任意一点 M 的极坐标用有序数对 ( ? , ? ) 表示,其中 ? 是极径,表示点 M 与极点 O 的 距离 OM ,? 是极角,表示以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角。 (规定极点的极坐标为 (0 , ? ) ,其中

? 可以取任意角)
一般情况下,我们取极径 ? ? 0 ,极角满足 0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面上的点与极坐标 ( ? , ? ) 之间 就是一一对应的关系。

? ? 2 ? x2 ? y 2 ? x ? ? cos ? ? 3、极坐标 ( ? , ? ) 与直角坐标 ( x , y) 之间的互化公式: ? 和 ? y ? y ? ? sin ? ? tan ? ? ( x ? 0) x ?
注意: (1)当直角坐标为 (0 , y) 时,则对应的极坐标为 ( y ,

?
2

) ( y ? 0) 或 (? y ,

3? ) ( y ? 0) ; 2
2

(2)将直角坐标转化为极坐标时,要注意根据点所在的象限恰当选取点的极角; (3)将极坐标方程转化为直角坐标方程时,一般通过构造 ? cos? , ? sin ? , ? 来实现互化。 4、简单曲线的极坐标方程: 特殊位置圆的极坐标方程 圆 心 极 点

C (r , 0) (r ? 0)

C (r ,

?
2

) (r ? 0)

圆极坐标方程

? ?r

? ? 2r cos?

? ? 2r sin ?

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特殊位置直线的极坐标方程 已知定点 倾 斜 角 直线极坐标方程 参数方程 1、参数方程的概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x , y 都是某个变数 t 的函数 极 点

A(a, 0) (a ? 0)

? (任意角)
? ? ? ( ? ? R)

? (垂直极轴) 2

A(b, ) (b ? 0) 2

?

0 (平行极轴)

? cos? ? a

? sin ? ? b

? x ? f (t ) ? x ? f (t ) ,并且对于 t 得每一个允许值,由方程组 ? 所确定的点 M ( x , y) 都在这条曲线上,那么方程 ? ? y ? g (t ) ? y ? g (t ) ? x ? f (t ) 就叫做这条曲线的参数方程。 t 叫做参变数,简称参数。 ? ? y ? g (t )
2、参数方程与普通方程的互化: ①参数方程化成普通方程:消参(方法:代入法、加减法、三角法( sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ); ) ②普通方程化成参数方程:引入参数,用代入法; ③注意参数方程与普通方程互化时其方程的等价性:参数的取值范围与 x, y 的取值范围有密切的关系. 3、特殊曲线的参数方程及参数的几何意义: 特殊 曲线 圆 普通方程 参数方程 参数几何意义

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

? x ? a ? r cos ? ? ? y ? b ? r sin ?

?? ? [0, 2? ) ?

? 为半径的旋 转角
? 为离心角
t 为点(除顶
点) 与原点连线 斜率的倒数

椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2
y ? 2 px
2

? x ? a cos ? ?? ? [0, 2? ) ? ? ? y ? b sin ?

? x ? 2 pt 2 ? ? y ? 2 pt
? x ? 2 pt ? 2 ? y ? 2 pt

?t ? R ?
?t ? R ?

抛物线

t 为点(除顶
点) 与原点连线 的斜率

x ? 2 py
2

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