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2012年高考真题汇编——文科数学(解析版共十六份)6:立体几何


2012 高考试题分类汇编:6:立体几何
一、选择题
1. 【2012 高考新课标文 7】 如图, 网格纸上小正方形的边长为 1 , 粗线画出的是某几何体的三视图,

则此几何体的体积为(



( A) 6

( B) 9

(C ) ??

/>( D) ??

【答案】B 【解析】选 B 由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3 ,所以几何体的体积为

1 1 V ? ? ? 6 ? 3 ? 3 ? 9 ,选 B. 3 2
2. 【2012 高考新课标文 8】 平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面α 的距离为 2, 则此球的体积为 (A) 6π 【答案】B (B)4 3π
2

(C)4 6π

(D)6 3π

【解析】球半径 r ? 1 ? ( 2 ) ?

4 3 ,所以球的体积为 ? ? ( 3 ) 3 ? 4 3? ,选 B. 3

3.【2012 高考全国文 8】已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , AB ? 2 ,CC1 ? 2 2 ,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 (A) 2 【答案】D 【解析】 连结 AC, BD 交于点 O , 连结 OE , 因为 O, E 是中点, 所以 OE // AC1 ,且 OE ? (B) 3 (C) 2 (D)1

1 AC1 , 2

所以 AC1 // BDE ,即直线 AC1 与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 的距离,过 C 做

CF ? OE 于 F , 则 CF 即 为 所 求 距 离 . 因 为 底 面 边 长 为 2 , 高 为 2 2 , 所 以

AC ? 2 2 , OC ? 2 , CE ? 2 , OE ? 2 , 所 以 利 用 等 积 法 得 CF ? 1 , 选 D.

4.【2012 高考陕西文 8】将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则 该几何体的左视图为 ( )

8.【答案】B. 【解析】根据.空间几何体的三视图的概念易知左视图 AD1 是实线 B1C 是虚线,故选 B. 5.【2012 高考江西文 7】若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为

A.

11 2

B.5

C.4

D.

9 2
( 1 ? 3) ? 1? 2 ? 4 , 2

【答案】D 【解析】由三视图可知这是一个高为 1 的直六棱柱。底面为六边形的面积为

所以直六棱柱的体积为 4 ?1 ? 4 ,选 D. 易错提示:本题容易把底面六边形看成是边长为 1 的正六边形,其实只有上下两个边长是 1.

6.【2012 高考湖南文 4】某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能 ... 是

【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知,原图下面图 为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C,都可能是该几 何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年来热点题型. 7.【2012 高考广东文 7】某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 6 3 5 5 5 5 6 3

正视图

侧视图

俯视图 图1 A. 72? B. 48? C. 30? D. 24?

【答案】C 【解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体,则它的体积

1 1 4 V ? V圆锥 ? V半球体 ? ? ? 32 ? 4 ? ? ? ? 33 ? 30? . 3 2 3
8.【2102 高考福建文 4】一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 【答案】D.

【解析】球的三视图全是圆;如图

正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角

三角形;正方体三视图都是正方形.可以排除 ABC,故选D. 9.【2012 高考重庆文 9】设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a 且长为 a 的棱与长 为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 (A) (0, 2) 【答案】A 【解析】 因为 BE ? 1 ? ( (B) (0, 3) (C) (1, 2) (D) (1, 3)

2 2 1 2 ) ? 1? ? 则 BF ? BE , AB ? 2 BF ? 2 BE ? 2 , 选 A, 2 2 2

10.【2012 高考浙江文 3】已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是

A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3 【答案】C 【解析】由题意判断出,底面是一个直角三角形,两个直角边分别为 1 和 2,整个棱锥的高由侧 视图可得为 3,所以三棱锥的体积为 ? ?1? 2 ? 3 ? 1 . 11.【2012 高考浙江文 5】 设 l 是直线,a,β 是两个不同的平面 A. 若 l ∥a, l ∥β ,则 a∥β B. 若 l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β C. 若 a⊥β , l ⊥a,则 l ⊥β D. 若 a⊥β , l ∥a,则 l ⊥β 【答案】B 【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的,∵ l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β .如选项 A: l ∥a, l ∥ β 时,a⊥β 或 a∥β ;选项 C:若 a⊥β , l ⊥a, l ∥β 或 l ? ? ;选项 D:若若 a⊥β , l ⊥a, l ∥β 或 l ⊥β . 12.【2012 高考四川文 6】下列命题正确的是( ) A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C 【解析】A.两直线可能平行,相交,异面故 A 不正确;B.两平面平行或相交;C.正确;D.这两个 平面平行或相交. 13.【2012 高考四川文 10】如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作平面 ? 的 垂线交半球面于点 A ,过圆 O 的直径 CD 作平面 ? 成 45? 角的平面与半球面相交,所得交线上到 平面 ? 的距离最大的点为 B ,该交线上的一点 P 满足 ?BOP ? 60? ,则 A 、 P 两点间的球面距

1 1 3 2

离为(



A、 R arccos

2 4

B、

?R
4

C、 R arccos

3 3

D、

?R
3

【答案】A 【解析】根据题意,易知平面 AOB⊥平面 CBD,?cos?AOP ? cos?AOB ? cos?BOP

?

2 1 2 2 , ? ?AOP ? arccos ,由弧长公式易得, A 、 P 两点间的球面距离为 ? ? 2 2 4 4 2 . 4

R arccos

14.【2102 高考北京文 7】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是

(A)28+ 6 5 (B)30+ 6 5 (C)56+ 12 5 (D)60+ 12 5 【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的为直接 从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面 积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得: S底 ? 10 , S后 ? 10 ,

S右 ? 10 , S左 ? 6 5 ,因此该几何体表面积 S ? S底 ? S后 ? S右 ? S左 ? 30 ? 6 5 ,故选 B 。

二、填空题
15.【2012 高考四川文 14】如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 、 N 分别是 CD 、 CC1 的
D1 A1 D B1 N C B C1

M

中点,则异面直线 A1 M 与 DN 所成的角的大小是____________。 【答案】

A

? 2

【解析】本题有两种方法,一、几何法:连接 MD1 ,则 MD1 ? DN , 又 A1 D1 ? DN ,易知

? ;二、坐标法:建立空间直角坐标系,利 2 ? 用向量的夹角公式计算得异面直线 A1 M 与 DN 所成角的大小是 . 2
DN ? 面A1MD1 ,所以 A1M 与 DN 所成角的大小是
16.【2012 高考上海文 5】一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2? ,该圆柱的表面积为 【答案】 6? 【解析】底面圆的周长 2?r ? 2? ,所以圆柱的底面半径 r ? 1 ,所以圆柱的侧面积为 4? 两个底面积为 2?r ? 2? 。 ,所以圆柱的表面积为 6? 。
2

17.【2012 高考湖北文 15】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____________.

【答案】 12? 【解析】由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的圆柱(底面圆半径为 2,高为 1)与中间一 个 圆 柱 ( 底面 圆 半径 为 1 , 高为 4 )组 合 而 成 ,故 该 几何 体 的 体 积是

V ? ? ? 22 ?1? 2 ? ? ?12 ? 4 ? 12? .
【点评】 本题考查圆柱的三视图的识别, 圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物 都是由什么几何形体构成的,以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景,考查常见 组合体的表面积. 18. 【2012 高考辽宁文 13】 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为_______________.

【答案】12+π

【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体,其中长方体的长、宽、 高分别为 4、 3、 1, 圆柱的底面直径为 2, 高位 1, 所以该几何体的体积为 3? 4 ?1 ? ? ?1?1 ? 12 ? ? 【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力, 属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何 体的形状计算出体积。 19.【2012 高考江苏 7】 (5 分)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm , 则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为 ▲ cm .
3

【答案】6。 【考点】正方形的性质,棱锥的体积。 【解析】∵长方体底面 ABCD 是正方形,∴△ ABD 中 BD=3 2 cm, BD 边上的高是 也是 A ? BB1 D1 D 中 BB1 D1 D 上的高) 。

3 2 cm(它 2

1 3 ∴四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为 ? 3 2 ? 2 ? 2=6 。 3 2
20.【2012 高考辽宁文 16】已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方形。若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________. 【答案】 3 3 【解析】点 P、A、B、C、D为球O内接长方体的顶点,

球心O为该长方体对角线的中点, 1 ??OAB的面积是该长方体对角面面积的 , 4

1 ? AB ? 2 3, PA ? 2 6, ? PB ? 6, ??OABD面积= ? 2 3 ? 6=3 3 4
【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转

化思想,该题灵活性较强,难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到条件中的 垂直关系,把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。 21.【2012 高考天津文科 10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体 积

m3 .

【答案】 30 【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体,上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方 体的体积为 3 ? 4 ? 2 ? 24 ,五棱柱的体积是

(1 ? 2) ? 1 ? 4 ? 6 ,所以几何体的总体积为 30 。 2

22.【2012 高考安徽文 12】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于______。

【答案】 56 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱,几何体的的体积是

V?

1 ?( 2 ? 5 ) ? 4 ? 4 ? 。 56 2

23.【2012 高考山东文 13】如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,E 为线段 B1C 上的一点, 则三棱锥 A ? DED1 的体积为_____.

【答案】

1 6

【解析】因为 E 点在线段 B1C 上, 所以 S?DED1 ?

1 1 ? 1 ? 1 ? ,又因为 F 点在线段 B1C 上,所以点 F 到平面 DED1 的距离为 1,即 2 2 1 1 1 1 h ? 1 ,所以 VD1 ? EDF ? VF ? DED1 ? ? S?DED1 ? h ? ? ? 1 ? . 3 3 2 6 24.【2012 高考安徽文 15】若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,即 AB ? CD , AC ? BD , AD ? BC ,则______(写出所有正确结论编号)。 ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体 ABCD 每个面的面积相等
③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90。而小于 180。

④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【答案】②④⑤ 【解析】②四面体 ABCD 每个面是全等三角形,面积相等; ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 180? ; ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分; ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长。 25.【2012 高考全国文 16】已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为 BB1、CC1 的中点, 那么异面直线 AE 与 D1 F 所成角的余弦值为____________. 【答案】

3 5

【解析】

如图连接 DF , D1 F , 则 DF // AE ,所以 DF 与 D1 F 所

成 的 角 即 为 异 面 直 线 所 成 的 角 , 设 边 长 为 2 , 则 DF ? D1 F ?

5 , 在 三 角 形 DD1 F 中

cos D1 FD ?

5?5?4 2? 5 ? 5

?

3 . 5

三、解答题
26.【2012 高考全国文 19】 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上 ..... 作答无效 ) .... 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA ? 底面
P

ABCD , AC ? 2 2 ,PA ? 2 ,E 是 PC 上的一点,PE ? 2EC 。
(Ⅰ)证明: PC ? 平面 BED ; (Ⅱ)设二面角 A ? PB ? C 为 90? ,求 PD 与平面 PBC 所成角的 大小。 【答案】
B C

E

A D

27.【2012 高考安徽文 19】 (本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形,O 是 BD 的中点, E 是棱

AA1 上任意一点。

(Ⅰ)证明: BD ? EC1 ; (Ⅱ)如果 AB =2, AE = 2 , OE ? EC1 ,,求 AA1 的长。 【答案】 【解析】

28.【2012 高考四川文 19】(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? 90 , ?PAB ? 60 , AB ? BC ? CA ,点 P 在平
? ?

P C

面 ABC 内的射影 O 在 AB 上。

A

B

(Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小。 命题立意:本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系,线面角的概念,二面角的概念等 基础知识,考查空间想象能力,利用向量解决立体几何问题的能力. 【答案】 【解析】

229. 【2012 高考重庆文 20】 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分)已知直三棱柱

ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 4 , AC ? BC ? 3 , D 为 AB 的中点。 (Ⅰ)求异面直线 CC1 和 AB 的
距离; (Ⅱ)若 AB1 ? A1C ,求二面角 A1 ? CD ? B1 的平面角的余弦值。

【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)

1 3

【解析】 (Ⅰ)如答(20)图 1,因 AC=BC, D 为 AB 的中点,故 CD ? AB。又直三棱柱中,CC1 ? 面 ABC ,故 CC1 ? CD ,所以异面直线 CC1 和 AB 的距离为 CD= BC ? BD ? 5
2 2

(Ⅱ) :由 CD ? AB, CD ? BB1 , 故 CD ? 面 A1 ABB1

,从而 CD ? DA1

, CD ? DB1 故

?A1 DB1 为所求的二面角 A1 ? CD ? B1 的平面角。
因 A1 D 是 AC 又已知 AB1 ? A1C, 由三垂线定理的逆定理得 AB1 ? A1D, 1 在面 A 1 ABB1 上的射影,

?A1 DA 都与 ?B1 AB 互余, 从而 ?A1 AB1 , 因此 ?A1 AB1 ? ?A1DA , 所以 Rt ? A1 AD ≌ Rt? B1 A1 A ,

因此

AA1 A1 B1 2 得 AA1 ? AD ? A1 B1 ? 8 ? AD AA1

2 2 从而 A1 D = AA1 ? AD ? 2 3, B1 D ? A1 D ? 2 3

A1 D 2 ? DB12 ? A1 B12 1 ? 所以在 ? A1 DB1 中,由余弦定理得 cos A1 DB1 ? 2 A1 D ? DB1 3
【2012 高考上海文 19】本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6分 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ⊥底面 ABC ,D 是 PC 的中点, 已知∠ BAC =

? , AB ? 2 , 2

AC ? 2 3 , PA ? 2 ,求:
(1)三棱锥 P ? ABC 的体积 (2)异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)









【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能 力.综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解,同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题 源于《必修 2》立体几何章节复习题,复习时应注重课本,容易出现找错角的情况,要考虑全面, 考查空间想象能力,属于中档题. 30.【2012 高考天津文科 17】 (本小题满分 13 分)

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2 3 ,PD=CD=2. (I)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (II)证明平面 PDC⊥平面 ABCD; (III)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。 【答案】

31.【2012 高考新课标文 19】 (本小题满分 12 分) 1 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90° ,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中 2 点 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

C1 A1

B1

D C A B

【答案】

32.【2012 高考湖南文 19】 (本小题满分 12 分) 如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥ BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

[ 中国^ 教* ~育出# 版%

【答案】 【解析】 (Ⅰ)因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD, 所以PA ? BD. 又 AC ? BD, PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC, 而 PC ? 平面 PAC,所以 BD ? PC . (Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC, 所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO ? 30 .
?

由 BD ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC,知 BD ? PO .

在 Rt POD 中,由 ?DPO ? 30 ,得 PD=2OD.
?

?

因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AC ? BD ,所以 从而梯形 ABCD 的高为

? AOD,? BOC 均为等腰直角三角形,

1 1 1 AD ? BC ? ? (4 ? 2) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积 2 2 2

1 S ? ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 2
在等腰三角形AOD中, OD ? 所以 PD ? 2OD ? 4 2, PA ?

2 , AD ? 2 2, 2
PD 2 ? AD 2 ? 4.

故四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ?

1 1 ? S ? PA ? ? 9 ? 4 ? 12 . 3 3

【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要 证明 BD ? 平面 PAC 即可,第二问由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC,所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由 V ? 33.【2012 高考山东文 19】 (本小题满分 12 分) 如图,几何体 E ? ABCD 是四棱锥,△ ABD 为正三角形, CB ? CD, EC ? BD . (Ⅰ)求证: BE ? DE ; (Ⅱ)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC . 【答案】(19)(I)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC ? CD 知 ,
CO ? BD ,

1 ? S ? PA 算得体积. 3

又已知 CE ? BD ,所以 BD ? 平面 OCE. 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所以 BE ? DE .

(II)取 AB 中点 N,连接 MN , DN , ∵M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE , ∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB . 由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即 BC ? AB , 所以 ND∥BC, 所以平面 MND∥平面 BEC,故 DM∥平面 BEC. 34.【2012 高考湖北文 19】 (本小题满分 12 分) 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形 的四棱台 A1B1C1D1-ABCD, 上部是一个底面与四棱台的上底面重合, 侧面是全等的矩形的四棱柱 ABCD-A2B2C2D2。 A.证明:直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; B.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知 AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:厘 米) ,每平方厘米的加工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少元?

【答案】

【解析】本题考查线面垂直,空间几何体的表面积;考查空间想象,运算求解以及转化与划归的 能力.线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法;四棱柱与四棱 台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成, 只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平 行,面面平行特别是线面平行,以及体积等的考查. 35.【2012 高考广东文 18】本小题满分 13 分) 如图 5 所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中,AB ? 平面 PAD , AB // CD ,PD ? AD ,E 是 PB 的中点, F 是 CD 上的点且 DF ?

1 AB , PH 为△ PAD 中 AD 边上的高. 2 (1)证明: PH ? 平面 ABCD ;
(2)若 PH ? 1 , AD ?

2 , FC ? 1 ,求三棱

锥 E ? BCF 的体积; (3)证明: EF ? 平面 PAB .

【解析】 (1)证明:因为 AB ? 平面 PAD , 所以 PH ? AB 。 因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高, 所以 PH ? AD 。 因为 AB ? AD ? A , 所以 PH ? 平面 ABCD 。 (2)连结 BH ,取 BH 中点 G ,连结 EG 。 因为 E 是 PB 的中点, 所以 EG // PH 。 因为 PH ? 平面 ABCD , 所以 EG ? 平面 ABCD 。 则 EG ?

1 1 PH ? , 2 2
1 S ? 3
BCF

VE ? B C F ?

1 1 ? EG ? ? ? 3 2

2 F?C A ? D ? EG 。 12

(3)证明:取 PA 中点 M ,连结 MD , ME 。 因为 E 是 PB 的中点,

1 ? 2 AB 。 1 因为 DF // AB , ? 2
所以 ME // 所以 ME // DF ,

?

所以四边形 MEDF 是平行四边形, 所以 EF // MD 。 因为 PD ? AD , 所以 MD ? PA 。 因为 AB ? 平面 PAD ,

所以 MD ? AB 。 因为 PA ? AB ? A , 所以 MD ? 平面 PAB , 所以 EF ? 平面 PAB 。 36.【2102 高考北京文 16】 (本小题共 14 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥ CD,如图 2。

(I)求证:DE∥平面 A1CB; (II)求证:A1F⊥BE; (III)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由。 【答案】

37. 【2012 高考浙江文 20】 (本题满分 15 分) 如图, 在侧棱锥垂直底面的四棱锥 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB,AB= 2 。AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点。 (1)证明: (i)EF∥A1D1; (ii)BA1⊥平面 B1C1EF; (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值。 【答案】 【解析】(1) (i)因为 C1 B1 / / A1 D1 , C1 B1 ? 平面 ADD1 A1,所以 C1B1 / / 平面 ADD1 A1. 又因为平面 B1C1EF ? 平面 ADD1 A1= EF ,所以 C1 B1 / / EF .所以 A1 D1 / / EF .

(ii)

因为 BB1 ? A1 B1C1 D1 ,所以 BB1 ? B1C1 ,

又因为 BB1 ? B1 A1 ,所以 B1C1 ? ABB1 A1 , 在矩形 ABB1 A1 中,F 是 AA 的中点,即 tan ?A1 B1 F ? tan ?AA1 B ?

2 . 2



?A1 B1 F ? ?AA1B ,故 BA1 ? B1 F .
所以 BA1 ? 平面 B1C1 EF . (2) 设 BA1 与 B1 F 交点为 H,连结 C1 H .

由 (1) 知 B1C1 EF , 所以 ?BC1 H 是 BC1 与平面 B1C1 EF 所成的角. 在矩形 ABB1 A1 中, AB ?

2,

AA1 ? 2 ,得 BH ?

4 4 ,在直角 ? BHC1 中, BC1 ? 2 3 , BH ? ,得 6 6

sin ?BC1 H ?

BH 30 30 ? ,所以 BC 与平面 B1C1 EF 所成角的正弦值是 . BC1 15 15

38.【2012 高考陕西文 18】 (本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AB=A A1


?CAB =

? 2

(Ⅰ)证明 CB1 ? BA1 ; (Ⅱ)已知 AB=2,BC= 5 ,求三棱锥 C1 ? ABA1 【答案】 的体积

39.【2012 高考辽宁文 18】(本小题满分 12 分)
/ / / ? 如图,直三棱柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 , AB ? AC ?

2, AA′=1,点 M,N 分别为 A/ B

和 B C 的中点。 (Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? MNC 的体积。
/

/

/

/

/

(椎体体积公式 V= 【答案】

1 Sh,其中 S 为地面面积,h 为高) 3

【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考查空间想 象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行, 也可通过面面平行来证明;第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键,也可以采用割补发

来球体积。 40.【2012 高考江苏 16】 (14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB E 分别是棱 1 1 ? AC 1 1 ,D , ,且 AD ? DE , BC , CC1 上的点(点 D 不同于点 C ) F 为 B1C1 的中点. 求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

【答案】证明: (1)∵ ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC 。 又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD 。 又∵ AD ? DE , CC1,DE ? 平面 BCC1B1,CC1 ? DE ? E ,∴ AD ? 平面

BCC1B1 。
又∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1B1 。 (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1F ? B1C1 。 又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1F 。 又∵ CC1, B1C1 ? 平面 BCC1B1 , CC1 ? B1C1 ? C1 ,∴ A1 F ? 平面 A1B1C1 。 由(1)知, AD ? 平面 BCC1B1 ,∴ A1F ∥ AD 。 又∵ AD ? 平面 ADE, A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。 【解析】 (1)要证平面 ADE ? 平面 BCC1B1 ,只要证平面 ADE 上的 AD ? 平面 BCC1B1 即可。它 可由已知 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱和 AD ? DE 证得。 (2)要证直线 A1 F // 平面 ADE ,只要证 A1F ∥平面 ADE 上的 AD 即可。 41.【2102 高考福建文 19】 (本小题满分 12 分)

如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点。

(1) 求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2) 当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC。

42.【2012 高考江西文 19】 (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12, AD=5,BC=4 2 ,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合与点 G, 得到多面体 CDEFG.

(1) 求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2) 求多面体 CDEFG 的体积。 【答案】

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