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福建师大附中2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题


福建师大附中 2013—2014 学年度上学期期末考试

高一数学试题
(满分:150 分,时间:120 分钟)

说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.若直线的倾斜角为 120? ,则直线的斜率为( )

/>3 3 2.已知直线 a //平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,则( ) . A. a // b B. a 与 b 异面 C. a 与 b 相交 D. a 与 b 无公共点 3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )

A. 3

B. ? 3

C.

3 3

D. ?

图1

A

B

C

D

4.圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 的位置关系为





A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 5.圆锥的表面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( A. 120
?



B. 150

?

C. 180

?

D. 240

?

6.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列条件,能得到 m ? ? 的是( A. ? ? ? , m ? ? B. m ? ? , ? ? ? C. m ? n, n ? ?
2 2



D. m / / n, n ? ?

7.过点 P(1,1) 的直线,将圆形区域 ( x, y ) | x ? y ? 4 分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线 的方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 ) B. y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? 3 y ? 4 ? 0

?

?

8.已知直线 l 过定点 P(?1, 2) ,且与以 A(?2, ?3) , B(?4,5) 为端点的线段(包含端点)有交点,则直线

l 的斜率 k 的取值范围是(
A. ? ?1,5? B. ? ?1,5 ?



? 1? ? ?5, ?? ? C. ? ??,

? 1? ? (5, ??) D. ? ??,

9.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,

再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的 体积为 ( ) A.

500? 3 cm 3

B.

866? 3 cm 3

C.

1372? cm3 3

D.

2048? cm3 3

2 10.直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 有且仅有 1 个公共点,则 b 的取值范围是(



A. b ?

2

B. ?1 ? b ? 1 或 b ? ? 2 D. ?1 ? b ? 1 或 b ? ? 2

C. ?1 ? b ? 1 ( A. 1 ) B. 2

11 .已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能 等于 ...

C.

2-1 2

D.

2+1 2

12 .已知点 A( ?1, 0), B (1, 0), C (0,1) ,直线 y

? ax ? b(a ? 0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取

值范围是 A. (0,1)



) B. (1 ?

2 1 , ) 2 2

C. (1 ?

2 1 , ] 2 3

D. [ , )

1 1 3 2

二、填空题: (本大题 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答卷上) 13. 点 P ?1,1, ?2 ? 关于 xoy 平面的对称点的坐标是 14.过点(1,3)且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线方程是 . . . .

15.无论 m 为何值,直线 l : (2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0 恒过一定点 P,则点 P 的坐标为 16.光线从 A(1,0) 出发经 y 轴反射后到达圆 x ? y ? 6 x ? 6 y ? 17 ? 0 所走过的最短路程为
2 2

2 2 17. 已知圆 C1 : x ? y ? 1 与圆 C2 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 1 ,过动点 P ? a, b? 分别作圆 C1 、圆 C2 的切线
2 2

2 a2 ?,b则 ? PM 、 PN (M 、 N 分 别 为 切 点 ), 若 PM ? PN

? a ? 5? ? ?b ? 1?
2

2

的 最 小 值





18. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1

上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的 是___ (写出所有正确命题的编号). ①当 0 ? CQ ? ②当 CQ ?

1 时,S 为四边形; 2

1 时,S 为等腰梯形; 2

③当

6 3 . ? CQ ? 1 时,S 为六边形; ④ 当 CQ ? 1 时,S 的面积为 2 4

三、解答题: (本大题共 5 题,满分 60 分)

19. (本小题满分 10 分) 如图所示的多面体 A1 ADD1 BCC1 中,底面 ABCD 为正方形, AA1 // DD1 // CC1 ,
2 AB ? 2 AA1 ? CC1 ? DD1 ? 4 ,且 AA1 ? 底面ABCD .

D1

C1

(Ⅰ)求证: A1 B // 平面CDD1C1 ; (Ⅱ)求多面体 A1 ADD1 BCC1 的体积 V . 20. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中,顶点 A ? 2, 2 ? ,边 AB 上的中线 CD 所在直线的方程是 x ? y ? 0 , 边 AC 上高 BE 所在直线的方程是 x ? 3 y ? 4 ? 0 . (Ⅰ)求点 B 、 C 的坐标; (Ⅱ)求 ?ABC 的外接圆的方程. 21. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90° ,AC=BC=CC1= a ,E 是 A1C1 的中点,F 是 AB 中点. (Ⅰ)求直线 EF 与直线 CC1 所成角的正切值; (Ⅱ)设二面角 E﹣AB﹣C 的平面角为 θ,求 tan θ 的值. 22. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC , ?BAD ? 90? ,且 BC ? 2 AD ? 2 , AB ? 4 , SA ? 3 . (Ⅰ)求证:平面 SBC ? 平面 SAB ; ( Ⅱ ) 若 E 、 F 分 别 为 线 段 BC 、 SB 上 的 一 点 ( 端 点 除 外 ) ,满足
SF CE ? ?? . FB EB
A1 D A B C

(ⅰ)求证:不论 ? 为何值,都有 SC //平面 AEF . (ⅱ)是否存在 ? ,使得 ?AFE ? 90 ,若存在,求出符合条件的 ? 值;若不
0

存在,说明理由. 23.(本小题满分 13 分)
2 2 已知圆 C : x ? y ? 9 ,点 A (?5,0) ,直线 l : x ? 2 y

?0.

(1)求与圆 C 相切,且与直线 l 垂直的直线方程; (2)在直线 OA 上( O 为坐标原点),存在定点 B (不同于点 A ), 满足:对于圆 C 上的任一点 P ,都有 足条件的点 B 的坐标.
PB PA

为一常数,试求出所有满

参考答案
一、选择题:BDDBC DAAAB 二、填空题: CB

(1,1, 2)

2x ? y ? 1 ? 0

( 3, 1)

4

2 5 5

①②④

三、解答题: 19.解法一: (Ⅰ)证明:取 DD1 的中点 M , 连接 A1 M 、 MC , 由题意可知 AA1 ? DM ? 2, 又? AD //BC ,? A1M //BC
AA1 // DM ,

? 四边形 AA1MD 为平行四边形,得 A1M // AD

? 四边形 A1BCM 为平行四边形, ? A1 B // CM ,……………………………………………3 分 又 A1 B ? 平面CDD1C1 , CM ? 平面CDD1C1 ? A1 B // 平面CDD1C1 .……………………………………5 分 (II)? AA1 ? 平面A B C D , ? AA1 ? AB 又? AD ? AB, AD ? AA1 ? A ? AB ? 平面ADD1 A1 同理可得 BC ? 平面CDD1C1 .……………………………7 分 连结 BD ,则 V ? VB ? ADD1 A1 ? VB ?CDD1C1 ,

D1

C1

M A1 D B C

A 1 1 6? 2 ?VB ? ADD1 A1 ? ? S ADD1 A1 ? BA ? ? ?2? 4 , 3 3 2 1 1 16 , VB ?CDD1C1 ? ? SCDD1C1 ? BC ? ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 3 3 16 28 .……………………………10 分 V ?4? ? ? 所求的多面体的体积为 3 3 解法二: D1 (Ⅰ)证明:? AA1 // DD1 , AA1 ? 平面CDD1C1 , DD1 ? 平面CDD1C1 ,

C1

? AA1 // 平面CDD1C1 ,

同理可得 AB // 平面CDD1C1 , 又? AA1 ? AB ? A,
? 平面ABA1 // 平面CDD1C1 ,………………………………3 分
A1 D A B C M

又 A1 B ? 平面ABA1 ,
? A1 B // 平面CDD1C1 .………………………………………5 分

(Ⅱ)? AA1 ? 平面 ABCD ,
? AA1 ? AB ,

又? AD ? AB, AD ? AA1 ? A ,
? BA ? 平面ADD1 A1 .…………………………………………………………………7 分
?V ? VBCC1 ? ADD1 ? VB ? AA1D1 ,

1 VBCC1 ? ADD1 ? BA ? S?BCC1 ? 2 ? ? BC ? CC1 ? 2 ? 4 ? 8 , 2 1 1 1 4 VB ? AA1D1 ? ? S?AA1D ? AB ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , 3 3 2 3 4 28 ∴所求的多面体的体积为?V ? 8 ? ? .………………………………………10 分 3 3

20.解(1)由题意可设 B(?3a ? 4, a) ,则 AB 的中点 D ( ∴

?3a ? 2 a ? 2 ? ? 0 ,∴ a ? 0 ,∴ B(?4, 0) , 2 2

?3a ? 2 a ? 2 , ) 必在直线 CD 上, 2 2

……………………4 分

又直线 AC 方程为: y ? 2 ? 3( x ? 2) ,即 y ? 3x ? 4 ,

由?

?x ? y ? 0 得, C (1, ?1) ? y ? 3x ? 4
2

……………………6 分

(2)设△ ABC 外接圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ……………………7 分
2

?2 ? 2 ? 2 D ? 2 E ? F ? 0 ? 2 则 ?(?4) ? 4 D ? F ? 0 ……………………10 分 ?1 ? 1 ? D ? E ? F ? 0 ?
2 2

9 ? ?D ? 4 ? 11 ? 得 ?E ? ? 4 ? ? F ? ?7 ? ?

∴△ABC 外接圆的方程为 x ? y ?
2 2

9 11 x ? y ? 7 ? 0 .……………………12 分 4 4

21.(1)∵直三棱柱 ABC﹣A1B1C1, ∴EG⊥平面 ABC ∵EG∥CC1 ∴∠FEG 为直线 EF 与 CC1 所成的角。…………3 分 在 Rt△ △ EFG 中,tan∠FEG= = = .

即直线 EF 与 CC1 所成角的正切值为

1 ………………6 分 2

(2)取 AF 的中点 H,连接 GH、EH, ∵AC=BC,∴CF⊥AB, 又∵GH∥CF,∴GH⊥AB, 有(1)知 EG⊥平面 ABC,∴GH 为 EH 在平面 ABC 中的射影, ∴∠EHG 为二面角 E﹣AB﹣C 的平面角, …………………… 9 分 又△ EHG 是直角三角形,且∠HGE=90° , 则 ………………… 12 分 ,EG=CC1=a,

22.

(ii)

13 分

23. (1)设所求直线方程为 y ? ?2x ? b ,即 2x ? y ? b ? 0 . 由直线与圆相切,可知
?b 22 ? 12 ? 3 ,得 b ? ?3 5 ,

故所求直线方程为 y ? ?2 x ? 3 5 (2)方法 1:假设存在这样的点 B(t ,0) , 当 P 为圆 C 与 x 轴左交点 (?3,0) 时,
PB PA ? ?

…………………………5 分

t ?3 2



当 P 为圆 C 与 x 轴右交点 (3, 0) 时,

PB PA

t ?3 8

依题意,

t ?3 2

?

t ?3 8

9 ,解得 t ? ?5 (舍去),或 t ? ? . ……………………8 分 5

PB 9 下面证明:点 B(? ,0) 对于圆 C 上任一点 P ,都有 为一常数. PA 5

设 P( x, y) ,则 y 2 ? 9 ? x2 .
9? ? x ? ? ? y 2 x 2 ? 18 x ? 81 ? 9 ? x 2 18 (5 x ? 17) ? PB 9 5? 25 , ?? ? 2 5 ? 25 ? 2 2 2 2 x ? 10 x ? 25 ? 9 ? x 2(5 x ? 17) 25 PA ? x ? 5? ? y
2 2

从而

PB

3 ? 为常数. PA 5 PB PA

…………………………13 分

方法 2:假设存在这样的点 B(t ,0) ,使得

为常数 ? ,则 PB ? ? 2 PA ,

2

2

于是 ( x ? t )2 ? y 2 ? ? 2 [( x ? 5)2 ? y 2 ] ,将 y 2 ? 9 ? x2 代入得,
x2 ? 2 xt ? t 2 ? 9 ? x2 ? ? 2 ( x2 ? 10 x ? 25 ? 9 ? x2 ) ,即 2(5? 2 ? t ) x ? 34? 2 ? t 2 ? 9 ? 0 对 x ?[?3,3] 恒成立,

3 ? ?? 2 ? ? ?5? ? t ? 0 ? 5 或 ?? ? 1 (舍去), 所以 ? ,解得 ? ? 2 2 ? ?34? ? t ? 9 ? 0 ?t ? ? 9 ?t ? ?5 ? 5 ?
PB 9 3 故存在点 B(? ,0) 对于圆 C 上任一点 P ,都有 为一常数 . ………………13 分 PA 5 5


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