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甘肃省兰州一中2014-2015学年度高二数学上学期期中试题


甘肃兰州一中 2014—2015 学年度上学期期中考试 高二数学试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 100 分,考试时间 100 分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷(选择题,共 48 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卡上. ) 1.在△ABC 中,a= 2 3 ,b= 2 2 ,B=45°,则 A 等于 A.30° 2.等比数列 B.60° C.60°或 120° D. 30°或 150° ( ( ) ) ( )

? an ? 中,

a2 ? 9, a5 ? 243 , 则 ? an ? 的前 4 项和为

A. 81 B.120 C.168 D.192 3.在△ABC 中,由已知条件解三角形,下列条件中有两解的是 A.b=20,A=45°,C=80° B.a=30,c=28,B=60° C.a=14,b=16,A=45° D.a=12,c=15,A=120° 4.设 是 A.20

? an ? 是由正数组成的等比数列,且 a5a6 ? 81 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? L
( B.10 C.5 D.2 或 4

? log3 a10 的值


5 . 下 列 条 件 : ① ab ? 0 , ② ab ? 0 , ③ a ? 0, b ? 0 , ④ a ? 0, b ? 0 , 能 使 不 等 式

b a ? ?2 a b 成立的条件个数是
A. 3 6.设数列 和,则使 A. 21 B. 2 C. 1 D. 0





{an } 是等差数列, 若 a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99, 以 Sn 表示 {an } 的前 n 项
( C. 19 D. 18 ( ) )

Sn 达到最大值的 n 是
B. 20

7.设 a > 1 > b > - 1 ,则下列不等式中恒成立的是

1 1 < A. a b
8.在数列 A. 3

1 1 > B. a b

2 C. a > 2b

2 D. a > b

{an } 中, an?1 ? an? 2 ? an , a1 ? 2, a2 ? 5 ,则 a2014 的值是
B. ?5 C. ?2 D. 5





-1-

9.为测量一座塔的高度,在一座与塔相距 20 米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为 30 ? ,测得塔 基的俯角为 45 ? ,那么塔的高度是( )米. ( )

20(1 ?
A.

3 ) 3

20(1 ?
B.

3 ) 2

C. 20(1 ? 3)

D. 30 ( )

2 2 2 2 10.在 ?ABC 中,若 b sin C ? c sin B ? 2bc cos B cos C ,则 ?ABC 是

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 11.等差数列 于 A. 38 B. 10 C. 20 D. 9
2 {an }前 n 项和 Sn ,若 m > 1 ,且 am- 1 + am+ 1 - am = 0 , S2m- 1 = 38 ,则 m







?3 x ? y ? 6 ?x ? y ? 2 ? 0 ? ? ?x ? 0 ? 12. 设 x, y 满足约束条件 ? y ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 12,
2 3 ? 则 a b 的最小值为 25 6
25 C. 3





A.

B. 25

D. 5

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,将答案写在答题卡上. )

?2 x ? y ? 2 ? ? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 1 y 13.设变量 x 、 满足约束条件 ? ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为
14.在等比数列



?an ? 中,公比 q ? 2 ,前 99 项的和 S99 ? 56 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? ??? ? a98 ?

.. 15.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn= an+1-an (n∈N*).若 b3=-2,b10 =12,则 a8= . 16.在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°.若∠APB =150°,则 tan∠PBA= . 三、 解答题(本大题共 4 小题,共 36 分) 17. (本小题 8 分) 已知等差数列前三项为 a, 4,3a ,前 n 项的和为

Sn , Sk ? 2550 .
-2-

(1)求 a 及 k 的值;

1 1 1 ? ?L ? ?1 S S S 2 n (2)求证 1 .

18. (本小题 8 分)

在 △ ABC 中,

tan A ?

1 3 tan B ? 4, 5.
(2)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

(1)求角 C 的大小;

19. (本小题 10 分)

m ? (a, 2c ? b), 在 V ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知向量 m ? (cos A,cos B), n 向量

m ? (cos A,cos B), n n ? (a, 2c ? b), 且 m//n.
(1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,求 V ABC 面积的最大值.

-3-

20. (本小题 10 分) 已知数列

{an }的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 与

2 的等差中项,数列

{bn }中, b1 = 2 ,点

P(bn , bn+ 1 ) 在直线 y ? x ? 2 上.
(1)求 a1 和 a2 的值; (2)求数列 (3) 设

{an }, {bn }的通项 an 和 bn ;

cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

-4-

参考答案 第 I 卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 A 6 C 7 D 8 C 9 A 10 D 11 B 12 A

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

13.

18

14.

16

15.

3

16.

4 3 3

三、 解答题(本大题共 4 小题,共 36 分) 17. (本小题 8 分) 已知等差数列前三项为 a, 4,3a ,前 n 项的和为

Sn , Sk ? 2550 .

(1)求 a 及 k 的值; 解:设该等差数列为

1 1 1 ? ?L ? ?1 S S2 Sn (2)求证 1 .

?an ? , 则 a1 ? a,

a2 ? 4, a3 ? 3 a , 由 已 知 有 a ? 3a ? 2 ? 4 , 解 得
Sk ? ka1 ? k (k ? 1) d 2 ,得

a1 ? a ? 2 , 公 差 d ? a2 ? a1 ? 2 , 将 Sk = 2550 代 入 公 式
k ? 50, k ? ?51 (舍去) ? a ? 2, k ? 50 .
Sn ? na1 ?

.......................4 分

(2)由

1 1 1 1 n(n ? 1) ? ? ? d S ? n(n ? 1) , Sn n(n ? 1) n n ? 1 2 ,得 n

1 1 1 1 1 1 ? ?L ? ? ?L ? S1 S2 S n = 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)
1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 = 1?


1 ?1 n ?1

.......................8 分

-5-

18. (本小题 8 分)

在 △ ABC 中,

tan A ?

1 3 tan B ? 4, 5.
(2)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

(1)求角 C 的大小;

解: (1)∵ C ? ? ? ( A ? B) ,

1 3 ? 4 5 ? ?1 ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 1? ? 4 5 .
?C ? 3 π 4 .

又∵ 0 ? C ? π ,

.......................4 分

C?
(2)∵

3 ? 4 ,

? AB 边最大,即 AB ? 17

? tan A ? tan B ,A ,B ? (0 , ) ? , 又
所以 ? A 最小, BC 边为最小边.

sin A 1 ? ? , ?tan A ? cos A 4 ? ? π? A ? 2 2 ? 0, ? ?sin A ? cos A ? 1, ? 2?, ? 由 且
sin A ?


17 17 .

AB BC AB sin A ? BC ? ? 2 sin C sin A sin C 由 得: .
所以,最小边 BC ? 2 . .......................8 分

-6-

19. (本小题 10 分)

m ? (a, 2c ? b), 在 V ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知向量 m ? (cos A,cos B), n 向量

m ? (cos A,cos B), n n ? (a, 2c ? b), 且 m//n.
(1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,求 V ABC 面积的最大值. 解: (1) 因为 m//n.,所以, a cos B ? (2c ? b) cos A ? 0 ,由正弦定理,得:

sin A cos B ? (2sin C ? sin B) cos A ? 0 ,
所以 sin A cos B ? 2sin C cos A ? sin B cos A ? 0 即 sin A cos B ? sin B cos A ? 2sin C cos A , 所以,sin(A+B)=2sinCcosA 又 A+B+C= ? ,所以,sinC=2sinCcosA,因为 0<C< ? ,所以 sinC>0,

1 ? 所以 cosA= 2 ,又 0<A< ? ,所以 A= 3 .
2 2 2

.......................4 分

(2)由余弦定理,得: a ? b ? c ? 2bc cos A ,所以 16= b ? c ? bc ? bc ,所以 bc≤16,
2 2

当且仅当 b=c=4 时,上式取“=”,

1 bc sin A 所以,△ABC 面积为 S= 2 ≤4 3 ,
所以△ABC 面积的最大值为 4 3 . 20. (本小题 10 分) 已知数列 ......................10 分

{an }的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 与

2 的等差中项,数列

{bn }中, b1 = 2 ,点

P(bn , bn+ 1 ) 在直线 y ? x ? 2 上.
(1)求 a1 和 a2 的值; (2)求数列

{an }, {bn }的通项 an 和 bn ;
-7-

(3) 设

cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 2an ? S n ? 2 得: 2a1 ? S1 ? 2 ; 2a1 ? a1 ? 2 ; a1 ? 2 ;


解: (1)由

2an ? S n ? 2 得: 2a2 ? S2 ? 2 ; 2a2 ? a1 ? a2 ? 2 ; a2 ? 4 ;

.......................2 分 (2)由

2an ? S n ? 2 ┅①得 2an?1 ? S n?1 ? 2 ┅②; (n ? 2) 2an ? 2an?1 ? S n ? S n?1 ; 2an ? 2an?1 ? an ; an ? 2an?1 ( n ? 2 )

将两式相减得:

所以:当 n ? 2 时: 又由:等差数列 得:

an ? a2 2

n ?2

? 4? 2

n ?2

? 2 ;故: an ? 2 ;
n n

{bn }中, b1 = 2 ,点 P(bn , bn+ 1) 在直线 y ? x ? 2 上.

bn?1 ? bn ? 2 ,且 b1 = 2 ,所以: bn ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ;

.......................6 分 (3)

cn ? an bn ? n2

n?1

;利用错位相减法得:

Tn ? (n ? 2)2n?1 ? 4 ;
.......................10 分

-8-


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