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高一数学集合1


竞赛辅导(一)集合
引入 知识要点

思考1

思考2

思考 3

课外思考

竞赛辅导(一)集合
关于竞赛学习的三个可操作性方向 1.在原有知识的基础上抬高一点; 2.尽量在现有学习的内容中去寻找思维训练点; 3.以配套竞赛用书的知识结构为框架来拓展

集合 1.反演律: 痧 U ( A ? B) ? (
U

A) ? (? U B)

痧 U ( A ? B ) ? ( U A) ? (? U B) 2.容斥原理:设 Card ( X ) 表示集合 X 所含元素的个数, ⑴ Card ( A ? B) ? Card ( A) ? Card ( B) ? Card ( A ? B) , ⑵ Card ( A ? B ? C ) ? Card ( A) ? Card ( B) ? Card (C ) - Card ( A ? B) ? Card ( A ? C ) ? Card ( B ? C ) ? Card ( A ? B ? C ) n 3. 一个 n 阶集合(即由 n 个元素组成的集合)有 2 个 不同的子集,其中有 2 n -1 个非空子集,有 2 n -1 个 真子集.

思考 1: 设 A ={ a | a = x2 ? y2 , x , y ? Z }, 求证:⑴ 2k ? 1 ∈ A ( k ? Z ); ⑵ 4k ? 2 ? A (k ? Z ) . 解:⑴∵ k , k ? 1 ∈ Z 且 2k ? 1 = k 2 ? (k ? 1)2 , ∴ 2k ? 1 ∈ A ;
⑵假设 4k ? 2 ? A (k ? Z ) ,则存在 x, y ? Z ,使 4k ? 2 = x2 ? y2 即 ( x ? y )( x ? y ) ? 2(2k ? 1) (*) 由于 x ? y 与 x ? y 具有相同的奇偶性,所以( *) 式左边有且仅有两种可能: 奇数或 4 的倍数, 另一 方面, (*)式右边只能被 4 除余 2 的数,故(*) 式不能成立.由此, 4k ? 2 ? A(k ? Z ) .
练习

练习: 1. x ?

1 1 log 1 3 2

?

1 1 log 1 3 5

的值属于区间( D ) (C) (?3, ?2)
?x

(A) (?2, ?1) (B) (1, 2)

2.(教程 P27 3)若 x ? x log 2 x ? 2

?

? ,则有( A )

(D) (2, 3)

(A) x 2 ? x ? 1 (B) x 2 ? 1 ? x (C) 1 ? x ? x 2 (D) x ? 1 ? x 2

思考 2.(教程 P16 6 )设 A={n|100≤n≤600,n∈N}, 则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的 70 个数为______________.

解:被 7 除余 2 的数可写为 7k+2. 由 100≤7k+2≤600.知 14≤k≤85. 又若某个 k 使 7k+2 能被 57 整除, ?2 56 n? n? 2 n? 2 则可设 7k+2=57n. 即 k ? 57 n . ? ? 8 n ? 7 7 7 即 n-2 应为 7 的倍数. 设 n=7m+2 代入,得 k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. ∴m=0,1.于是所求的个数为 85-(14-1)-2=70
练习

练习 1.(教程 P34 )平面点集 M= ( x , y ) x 2 ? 2 x ? 2 ≤ y ≤ 6 x ? x 2 ? 3, 且x , y ? Z

8 素的个数是______.

?

? 中元

? ? 1 1 ? ? 2. ( 教程 P35 ) 集合 ? n ? ? log 1 2 ? ? , n ? N ? 的真子集 2 3 ? ? n ? ? 7 的个数为___. 3. (教程 P17 )集合 M=? x cos x ? lg sin x ? 1? 中元素的个数

0 为______. 4. ( 教程 P8 ) 设集合 M ? ??1,0,1? , N ? ?2, 3,4,5,6? , 映射
f : M ? N , 则对任意的 x ? M , x ? f ( x ) ? xf ( x ) 恒为奇 50 数的映射 f 的个数为_______. (A)122 (B)15 (C)50 (D)27

思考 3:集合 A={(x,y) x ? mx ? y ? 2 ? 0 },
2

集合 B={(x,y) x ? y ? 1 ? 0 ,且 0 ≤ x ≤ 2 }, 又 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.
? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 解:由 ? 得 x 2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 设 f ( x ) ? x 2 ? (m ? 1) x ? 1
m ?1 ? ?0 ? ? 2 ≤ 2 或f (2) ≤ 0 由数形结合得: ? 2 ? ? ? ? ( m ? 1) ? 4 ≥ 0 解得: m ≤ ?1

练习

练习

y?3 1.设全集 I ? {( x, y) x, y ? R} ,集合 M ? {( x , y ) ? 1} , x?2 N ? {( x, y) y ? x ? 1} ,那么 CI M ? CI N 等于(B )
(A) ? (B){(2,3)} (C)(2,3) (D) {( x, y) y ? x ? 1} 2.(教程 P9 )已知 A ? { x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0, x ? R} , 若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 ?4 ≤ a.≤ -1 3.( 教程 P9 )已知集合 M= ( x , y ) y ? 2 x ? x
B ? { x 21? x ? a ≤ 0, 且x 2 ? 2(a ? 7) x ? 5 ≤ 0, x ? R} .

?

2

?,

N= ?( x, y ) y ? k ( x ? 1)? ,当 M ? N ? ? 时, k 的取值范围是_____.

? 3? ? 0, ? ? 3 ?

2详细答案

1. B M 表示直线 y ? x ? 1 上除去点(2,3)的部分, C I M 表示点(2,3)和除去直线 y ? x ? 1 的部分, C I N 表示直线 y ? x ? 1 上的点集, 所以, CI M ? CI N 表示的点集仅有点(2,3),即 {(2, 3)} . 2. ?4 ≤ a ≤ ?1 . 依题意可得 A ? { x 1 ? x ? 3} , 设 f ( x ) ? 21? x ? a , g( x) ? x 2 ? 2(a ? 7) x ? 5 要使 A ? B ,只需 f ( x ) , g ( x ) 在 (1,3)上的图象均在 x 轴的下方,则 f (1) ≤ 0 , f (3) ≤ 0 , g (1) ≤ 0 , g(3) ≤ 0 ,由此可解得结果. 3.数形结合



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的过客,这一次却要同新婚不久的妻子奔赴到一个陌生的地方——江苏海涛州绿溪镇江苏花开啤酒厂工作。虽然花开啤酒厂他已于一月前去看 过一次,并跟海涛州人事局和花开啤酒厂的领导都谈过,对它有了一定的了解,但这一次是跟妻子一道去且极有可能要长期地生活在那里,心 情和之前全然不同,仿佛美好的生活已经在向自己频频招手!马启明的心都飞到天空中去了,如果此刻能有一幅卡通漫画的话,你会看见半空 中一颗跳动的心在快乐地舞蹈。在镇江下了火车以后,马启明小夫妇俩又马不停蹄地坐上开往海涛州的汽车。公共汽车刚离开长途汽车站差不 多十几分钟便停了下来,刘丽娟看着前面排成长队的车辆,以为遇到了堵车,再加之长途奔波的劳累,情绪有些低落。马启明安慰妻子说: “汽车马上就要过轮渡了,就是轮船拉着汽车横渡长江,你没有见过吧?感受一下人民解放军横跨长江的气度。”因为马启明上一次来过,他 知道,刘丽娟不知道。她新奇地想:汽车也能上船?也能横渡长江?在北方不要说没见过,连听都没听说过。“汽车也能上船,真的吗?真的要 过长江?”刘丽娟一下子兴奋起来。在渡口下了汽车,希奇地看着汽车驶上了轮渡。马启明站在微微晃动的甲板上,听着汽笛声,凝望着轮渡 行驶在波光粼粼的长江之上,竟有种人在梦中的感觉,面对浩瀚绵长的江水他的心胸突然豁然开朗,一缕缕清风吹拂着他的面颊,浑身自在、 舒坦。马启明突然对未来陌生的生活有了更多幢憬!刘丽娟呢!她紧紧地抓住马启明的手,生怕船突然沉到微波滚滚的长江里,而马启明会葬 身长江。马启明和刘丽娟是傍晚的时候才赶到海涛州的,转弯绕行距离离花开啤酒厂还有十多里,此时已经没有开往他们目的地 ---绿溪镇的班 车了,他们只好在海涛州住了下来。晚上睡觉,刘丽娟仿佛还在火车上奔波“哐当---哐当---哐当---”,辗转难眠。而马启明由于旅途劳累、 已经是疲惫不堪,倒在床上便酣然入睡,而把妻子的调动手续紧紧地搂在怀里才放心踏实,这可是用金银珠宝都换不来的超级宝贝。第二天, 马启明与刘丽娟起了个大早,吃完早饭便坐上汽车,汽车摇摇晃晃地驶出了车站。路面状况较差,坑洼不平,到处是碎石,路两面零散地立着 一些平房,多是些小卖部和小饭店,门脸矮矮小小的,似乎很有了些年代,门口竖着大大的、用纸板做的招牌“停车吃饭”,年纪轻轻的、打 扮花枝招展的饭店服务小小(是真正的小小还是假小小,马启明搞不清楚)在马路边不停地向过往司机招手,做着妩媚的动作,形成了一道独 特的“美人招手”的风景!很拉风!无时无刻不在挑战马启明的视觉底线。汽车颠簸了约四五十分钟,开开停停,终于到了啤酒厂所在的城 镇——绿溪镇。一下车,就看见远处两只高耸的砖红色大


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