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反三角函数知识梳理


反三角函数知识梳理
1、函数 y ? sin x, x ? [ ?

? ?

, ] 的反函数叫做反正弦函数,记作 y ? arcsin x, x ?[?1,1] 2 2

函数 y ? arcsin x 的定义域为[-1,1],值域为 [ ?

? ?

, ], ,

在[-1,1]上单调递增; 2 2

是奇函数,所以 arcsin(? x) ? ?arc sin x( x ?[?1,1]) 注“ arcsin x ”的意义: 表示

[?

? ?

, ] 上的一个角,且这个角的正弦值为 x ,即 2 2

sin(arcsin x) ? x( x ?[?1,1])
其图像是: 2、函数 y ? cos x, x ?[0, ? ] 的反函数叫做反余弦函数,记作 y ? arccos x, x ?[?1,1] 函数的定义域为[-1,1],值域为 [0, ? ] ,在[-1,1]上单调递减;为非奇非偶的函数,其图像关于点 (0, 心对称,所以 arccos(? x) ? ? ? arccos x( x ?[?1,1]) 注“ arccos x ”的意义: 表示

?
2

)中

[ 0? , 上的一个角,且这个角的余弦值为 ] x ,即

cos(arccos x) ? x( x ?[?1,1])
其图像是: 3、 、函数 y ? tan x, x ? (?

? ?

, ) 的反函数叫做反正切函数,记作 y ? arctan x, x ? R 2 2

函数的定义域为 R,值域为 ( ?

? ?

, ), ,在 R 上单调递增; 2 2

是奇函数,所以 arctan(? x) ? ? arctan x,( x ? R) 注“ arctan x ”的意义: 表示

(?

? ?

, ) 上的一个角,且这个角的正切值为 x ,即 2 2

tan(arc ta n x) ? x( x ? R)
注“ arctan x ”的意义: 表示

(?

? ?

, ) 上的一个角,且这个角的正切值为 x ,即 2 2

tan(arctan x) ? x( x ? R)
其图像是 由反三角函数的图像知 当 x ? 0 时, arcsin x ? 当 x ? 0 时, arccos x ? 当 x ? 0 时, arctan x ?

; 当 x ? 0 时, arcsin x ? ;当 x ? 0 时, arccos x ? ;当 x ? 0 时, arctan x ?

4、公式(一) : sin(arcsin x) ? x( x ?[?1,1])

cos(arccos x) ? x( x ?[?1,1]) tan(arc ta n x) ? x( x ? R)
(二) arcsin(? x) ? ?arc sin x( x ?[?1,1]) ,

arccos(? x) ? ? ? arccos x( x ?[?1,1]) , arctan(? x) ? ? arctan x,( x ? R)
(三) arcsin(sin x) ? x,( x ? [?

? ?

, ]) 2 2

arccos(x c o?s x ) x ? , (?
a r c t a n (x t a? nx ) x? ? ,
(四)当 x ? ? ?

[0, ])
, )

? ?

( 2 2

? ? ? ?? , ? 时, arcsin x ? arccos x = 2 ? 2 2?

当 x ? R 时, arctan x ? arc cot x ?

?
2


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