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2013年4月上海市虹口区高三数学二模试卷理科含答案


虹口区 2013 年数学学科高考练习题(理科)
(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、函数 f ( x ) ? ( 2 k ? 1 ) x ? 1 在 R 上单调递减,则 k 的取值范围是
(1 ? i ) 1? i
3

2013.4

/>
2、已知复数 z ?
cos ? sin ?

,则 z ?



3、已知

sin ? cos ?

?

1 3

,则 cos 2 (? ? ? ) ?



4、 (1 ? 2 x ) n 展开式中二项式系数之和为 a n , 设 各项系数之和为 b n , lim 则

a n ? bn a n ? bn

n? ?

?



5、已知双曲线与椭圆 线方程为 6、如果 log
a

x

2

?

y

2

? 1 有相同的焦点,且渐近线方程为 y ? ?

1 2

x

,则此双曲

16

6


4 b ? ? 1 ,则 a ? b

的最小值为
n? 2

. .
?
2

7、数列 ?a n ? 的通项 a n ? n ? sin 8、设 F 1 、 F 2 是椭圆
? F 1 PF
x
2

,前 n 项和为 S n ,则 S 13 ?

? y

2

? 1 的两个焦点,点 P

4

在椭圆上,且满足 ? F 1 PF 2 ?

,则

2

的面积等于
2,



9、从集合 ?1,

3 ? 的所有非空子集中,等可能地取出一个,记取出的非空子集中元素

个数为 ? ,则 ? 的数学期望 E ? ?

. . .

10、 对于 x ? R , 不等式 2 ? x ? 1 ? x ? a 2 ? 2 a 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 11、 ? ABC 中,AB ? 1 ,AC ? 2 , AB ? AC ) ? AB ? 2 , ? ABC 面积等于 在 则 (

12、将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起,以 A , B , C , D 为顶点的三棱锥的体积 最大值等于 .

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第1页

13、 a n ? log 设

n ?1

( n ? 2 ) ( n ? N ) , a 1 a 2 a 3 ? a k 为整数的 k 为 称 “希望数” 则在 (1, ,

?

2013 )

内所有“希望数”的个数为
2

. 的定义域是使得解析式有意义的 x 的集合,如 .

14、已知函数 f ( x ) ?

x ? ( a ? 1) x ? 2 a ? 2 2 x ? ax ? 2 a
2

果对于定义域内的任意实数 x , 函数值均为正, 则实数 a 的取值范围是

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、直线 ?
?
6

? x ? 1 ? 2t ?y ? 1? t

的倾斜角等于(
?
3


1 2

A.

B.

C . arctan

D . arctan 2
1 2

16、已知函数 y ? 2 sin( x ?

?
2

) cos( x ?

?
2

)

与直线 y ?

相交,若在 y 轴右侧的交点自左向

右依次记为 M 1 , M 2 , M 3 ,??,则 M 1 M
A . 6? B. 7? C . 12 ?

13

等于( )
D . 13 ?

17 、 若 ?
(

?
2

? ? ?

?
2

n , 0 ? ? ? ? , m? R , 如 果 有 ?3 ?s i? ? m ? 0 ,

?
2

? ? ) ? cos ? ? m ? 0
3

,则 cos( ? ? ? ) 值为(
C.
1 2

) .
D.1

A.

?1

B. 0

CC 18、 正方体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1 的棱上到异面直线 AB , 1 的距离相等的点的个数为 ( ..



A . 2.

B . 3.

C . 4.

D . 5.

三、解答题(满分 74 分) 19、本题满分 12 分) ( 如图, ? 平面 ABCD , 矩形 ABCD PA 的边长 AB ? 1 , BC ? 2 , E 为 BC 的中点. (1)证明: PE ? DE ; (2) 如果 PA ? 2 , 求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小.
B

P

A

D

E

C

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第2页

20、 (本题满分 14 分)在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,向量
m ? ( 2 sin B , 2 cos B ) , n ? ( 3 cos B , ? cos B ) ,且 m ? n ? 1 .

(1)求角 B ; (2)若 b ? 2 ,求 ? ABC 的面积的最大值.

? 21、 (本题满分 14 分)已知复数 z n ? a n ? b n ? i ,其中 a n ? R , b n ? R , n ? N , i 是虚数

单位,且 z n ? 1 ? 2 z n ? z n ? 2 i , z 1 ? 1 ? i . (1)求数列 ?a n ? , ?b n ? 的通项公式;
n ?1 (2)求和:① a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a n a n ? 1 ;② b 1 b 2 ? b 2 b 3 ? b 3 b 4 ? b 4 b 5 ? ? ? ( ? 1 ) b n b n ? 1 .

22、 (本题满分 16 分)已知抛物线 C : y 点 A ( x1 ,
y1 ) 、 B ( x 2 , y2 ) .

2

? 2 px ( p ? 0 ) ,直线 l 交此抛物线于不同的两个

(1)当直线 l 过点 M ( p ,

0 ) 时,证明 y 1 ? y 2 为定值;

(2)当 y 1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明 理由; (3)如果直线 l 过点 M ( p ,
0 ) ,过点 M 再作一条与直线 l 垂直的直线 l ? 交抛物线 C 于两个

不同点 D 、 E .设线段 AB 的中点为 P ,线段 DE 的中点为 Q ,记线段 PQ 的中点为 N .问 是否存在一条直线和一个定点,使得点 N 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个 定点;若不存在,请说明理由.

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第3页

23、 (本题满分 18 分) 定义域为 D 的函数 f ( x ) , 如果对于区间 I 内 ( I ? D ) 的任意两个数 x 1 、
x 2 都有 f (

x1 ? x 2 2

) ?

1 2

. [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立,则称此函数在区间 I 上是“凸函数”

(1)判断函数 f ( x ) ? lg x 在 R ? 上是否是“凸函数” ,并证明你的结论; (2)如果函数 f ( x ) ? x ?
2

a x

在 [1,

2 ] 上是“凸函数” ,求实数 a 的取值范围;

(3)对于区间 [ c ,

d ] 上的“凸函数” f ( x ) ,在 [ c ,

d ] 上任取 x 1 , x 2 , x 3 ,??, x n .

k ? ① 证明: 当 n ? 2 ( k ? N )时, f (

x1 ? x 2 ? ? ? x n n

)?

1 n

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] 成立;

② 请再选一个与①不同的且大于 1 的整数 n , 证明: f (
x1 ? x 2 ? ? ? x n n )? 1 n [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] 也成立.

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虹口区 2013 年数学学科高考练习题答案(理)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、( ? ? ,
1 2 )



2、 2;

3、?

7 9


12 7

4、? 1 ; ; 10、 [ ? 1 ,

5、
3] ;

x

2

?

y

2

? 1;

8

2

6、1;
3 2

7、7;
2 3 2

8、1;

9、

11、



12、



13、9;

14、 ? 7 ? a ? 0 或 a ? 2 ;

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 C ; 16、A; 17、 B ; 18、 C ;
P

三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解: (1)连 AE ,由 AB ? BE ? 1 ,得 AE ? 同理 DE ?
2 ,? AE
2

2 ,

? DE

2

? 4 ? AD

2

,由勾股定理逆定

A

D

理得 ? AED ? 90 ? ,? DE ? AE .????????3 分
B

由 PA ? 平 面 A B C D , 得 PA ? DE . 由 DE ? AE ,
PA ? DE PA ? AE ? A ,得 DE ? 平面 PAE .? PE ? DE .????6 分

E

C

? (2) PA 的中点 M ,AD 的中点 N , MC 、 取 连 NC 、 MN 、 AC . NC // AE , MN // PD , ? ? MNC 的大小等于异面直线 PD 与 AE 所成的角或其补角的大小.??????8 分

由 PA ? 2 ,AB ? 1 , 得 BC ? 2 , NC ? MN ?
? MNC ? 2? 3

MC ? 2 ,

6 , cos ? MNC ? ?

2?2?6 2? 2 ? 2

? ?

1 2



.? 异面直线 PD 与 AE 所成的角的大小为

?
3

.????12 分

注:用向量解相应给分.
? 20、 14 分) (1) m ? n ? 1 , 2 sin B ? 3 cos B ? 2 cos ( 解: ?
2

B ? 1 , 3 sin 2 B ? cos 2 B ? 2 ,

sin( 2 B ?

?
6

) ? 1 ,????????5 分

又 0 ? B ? ? ,? ?

?
6

? 2B ?

?
6

?

11 ? 6

,? 2 B ?

?
6

?

?
2

,? B ?
?
3

?
3

??????7 分

(2)? b ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac ? cos B ,? 4 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac ? cos

,即 4 ? a 2 ? c 2 ? ac ?9 分

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? 4 ? a

2

? c

2

? ac ? 2 ac ? ac ? ac ,即 ac ? 4 ,当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立.?12 分

S? ?

1 2

ac ? sin B ?

3 4

ac ?

3 ,当 a ? b ? c ? 2 时, ( S ? ABC ) max ?

3 .????14 分

21、 (14 分)解: (1)? z 1 ? a 1 ? b 1 ? i ? 1 ? i ,? a 1 ? 1 , b 1 ? 1 . 由 z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2 i 得 a n ? 1 ? b n ? 1 ? i ? 2 ( a n ? b n ? i ) ? ( a n ? b n ? i ) ? 2 i ? 3 a n ? ( b n ? 2 ) ? i ,
? a n ?1 ? 3 a n ? ? ??????3 分 ? b n ?1 ? b n ? 2
? 数列 ?a n ? 是以 1 为首项公比为 3 的等比数列, 数列 ?b n ? 是以 1 为首项公差为 2 的等差数列,
? an ? 3
n ?1

, b n ? 2 n ? 1 .????????6 分
a k a k ?1 a k ?1 a k ? 3 ,? 数列 ?a n a n ? 1 ? 是以 3 为首项,公比为 3 的等
2

n ?1 (2)①由(1)知 a n ? 3 ,?

2

比数列.? a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a n a n ? 1 ?
?

3 (1 ? 3

2n

)

1? 9

?

3

2 n ?1

? 8

3 8

.??????9 分

②当 n ? 2 k , k ? N 时,
b1 b 2 ? b 2 b 3 ? b 3 b 4 ? b 4 b 5 ? ? ? ( ? 1)
n ?1

b n b n ?1 ? ( b1 b 2 ? b 2 b 3 ) ? ( b 3 b 4 ? b 4 b 5 ) ? ? ? ( b 2 k ?1 b 2 k ? b 2 k b 2 k ?1 )

? ? 4 b 2 ? 4 b 4 ? ? ? 4 b 2 k ? ? 4 (b 2 ? b 4 ? ? ? b 2 k ) ? ? 4 ?

k (b 2 ? b 2 k ) 2

? ?8k

2

? 4k ? ?2n

2

? 2n

n ?1 ? 当 n ? 2 k ? 1 , k ? N 时, b1 b 2 ? b 2 b 3 ? b 3 b 4 ? b 4 b 5 ? ? ? ( ? 1 ) b n b n ? 1

? ( b1 b 2 ? b 2 b 3 ) ? ( b 3 b 4 ? b 4 b 5 ) ? ? ? ( b 2 k ?1 b 2 k ? b 2 k b 2 k ?1 ) ? b 2 k ? 1 b 2 k ? 2 ? ?8k
2

? 4 k ? ( 4 k ? 1 )( 4 k ? 3 ) ? 2 n

2

? 2n ? 1

又 n ? 1 也满足上式
? ? b b ? b b ? b b ? b b ? ? ? ( ? 1) n ? 1 b b ? ? 1 2 2 3 3 4 4 5 n n ?1 ?2n
2

? 2n ? 1
2

当 n 为奇数时 当 n 为偶数时

???14 分

?? 2n ?

? 2n

22、 分) (1) 过点 M ( p , (16 解: l

? x ? my ? p 0 ) 与抛物线有两个交点, l : x ? my ? p , ? 设 由 2 ? y ? 2 px
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得 y ? 2 pmy ? 2 p
2

2

? 0 ,? y 1 ? y 2 ? ? 2 p

2

.????????4 分

(2)当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ,其中 k ? 0 (若 k ? 0 时不合题意) .
? y ? kx ? b ?y
2

由?

? 2 px

得 ky

2

? 2 py ? 2 pb ? 0 .? y 1 y 2 ?

2 pb k

? ? p ,从而 b ? ?

k 2

.???6 分

1 ? 1 ?x ? 从而 y ? kx ? ,得 ( x ? ) k ? y ? 0 ,即 ? 2 ,即过定点 ( , 2 2 2 ?y ? 0 ?
k 1

0 ) .??????8 分

2 2 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 , 设 l : x ? x 0 , 代 入 y ? 2 px 得 y ? 2 px 0 , y ? ? 2 px 0 ,

? y1 y 2 ?

2 px 0 ? ( ?

2 px 0 ) ? ? 2 px 0 ? ? p ,从而 x 0 ?
1

1 2

,即 l : x ?

1 2

,也过 ( ,
2

1

0) .

综上所述,当 y 1 y 2 ? ? p 时,直线 l 过定点 ( ,
2

0 ) .????10 分 1 2 ( y 1 ? y 2 ) ? pm ,

(3)依题意直线 l 的斜率存在且不为零,由(1)得点 P 的纵坐标为 y P ? 代入 l : x ? my ? p 得 x P ? pm
2

? p ,即 P ( pm

2

? p,

pm ) .

由于 l ? 与 l 互相垂直,将点 P 中的 m 用 ?
1 p ? x ? ( 2 ? p ? pm ? ? 2 m y ) ,则 ? ? y ? 1 ( pm ? p ) ? 2 m ?

1 m
2

代,得 Q (

p m
2

? p,

?

p m

) .????12 分

? p)

设 N ( x,

消m 得 y

2

?

p 2

( x ? 2 p ) ??????14 分

由抛物线的定义知存在直线 x ?

15 p 8

,点 (

17 p 8

,

0 ) ,点 N 到它们的距离相等.???16 分

23、 (18 分)解: (1)设 x 1 , x 2 是 R ? 上的任意两个数,则
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f ( x1 ? x 2 2 ) ? lg x 1 ? lg x 2 ? 2 lg x1 ? x 2 2 ? lg 4 x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
2

? lg 1 ? 0

? f (

x1 ? x 2 2

) ?

1 2

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] .? 函数 f ( x ) ? lg x 在 R

?

上是 “凸函数” .??4 分

(2)对于 [1,

2 ] 上的任意两个数 x 1 , x 2 ,均有 f (

x1 ? x 2 2

) ?

1 2

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立,即

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第7页

(

x1 ? x 2 2

) ?
2

a x1 ? x 2 2

?

1 2

[( x 1 ?
2

a x1

) ? (x2 ?
2

a x2

)] , 整理得 ( x 1 ? x 2 ) a ? ?
2

1 2

( x1 ? x 2 ) x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
2

??????7 分 若 x 1 ? x 2 , a 可以取任意值. 若 x 1 ? x 2 ,得 a ? ?
1 2 x 1 x 2 ( x 1 ? x 2 ) ,? ? 8 ? ? 1 2 x 1 x 2 ( x 1 ? x 2 ) ? ? 1 ,? a ? ? 8 .

综上所述得 a ? ? 8 .??????10 分 (3)①当 k ? 1 时由已知得 f (
x1 ? x 2 2 ) ? 1 2 [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立.

? 假设当 k ? m ( m ? N ) 时, 不等式成立即 f (

x1 ? x 2 ? ? ? x 2
m ?1

2

k

)?

1 2
m

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x

2

m

)]

成立. 那么,由 c ?
x1 ? x 2 ? ? ? x 2 x1 ? x 2 ? ? ? x 2 1 2
m ?1 m 2
m

? d ,c ?

x

2

m

?1

? x

2

m

?2

?? ? x
m

2

m

?2

m

? d

2

得f(

2

m ?1

) ? f{

x m ? x m ?? ? x m m 1 x1 ? x 2 ? ? ? x 2m 2 ?1 2 ?2 2 ?2 [ ? ]} m m 2 2 2 x ? x ?? ? x
m

?

[f (

x1 ? x 2 ? ? ? x 2
m

2

m

)? f (

2

m

?1

2

m

?2

2

m

?2

m

)]

2

? ?

1 2

{ 1

1 2
m

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x

2

m

)] ?

1 2
m

[ f (x

2

m

?1

) ? f (x

2

m

?2

) ? ? ? f (x

2

m ?1

)]}

2

m ?1

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x

2

m ?1

)] .

即 k ? m ? 1 时,不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证.????????15 分 ②比如证明 n ? 3 不等式成立.由①知 c ? x 1 ? d , c ? x 2 ? d , c ? x 3 ? d , c ? x 4 ? d ,
x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 4
? c ? x1 ? d

有f(

) ?

1 4

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ? f ( x 4 )] 成立.
1 3

,c ? x2 ? d ,c ? x3 ? d ,c ?

( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? d ,

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第8页

x1 ? x 2 ? x 3
? f(

x1 ? x 2 ? x 3 3

) ? f(

3

? x1 ? x 2 ? x 3 ) ? 4

1 4

[f(

x1 ? x 2 ? x 3 3

) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 4 )] ,

从而得 f (

x1 ? x 2 ? x 3 3

) ?

1 3

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 )] .??????18 分

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