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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第3章 第7节 正弦定理和余弦定理


第七节

正弦定理和余弦定理

[主干知识梳理] 一、正弦定理
分类 内容

a b c = sin B = sin C =2R(R 是△ABC sin A 定理 外接圆的半径)

①a= 2Rsin A , b= 2Rsin B , c= 2Rsin C , 变形 ②sin A∶sin

B∶sin C= a∶b∶c , 公式 a b c ③sin A= ,sin B= ,sin C= 2R 2R 2R 解决的 问题 ①已知两角和任一边,求其他两边和另一角, ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对 角

二、余弦定理

分类
定理

内容
在△ABC中,有a2= b2+c2-2bccos A ;

b2=a2+c2-2accos

B ;c2= a2+b2-2abcos C

b2+c2-a2 cos A= ; 2bc 变形 a2+c2-b2 cos B= ; 2 ac 公式 a2+b2-c2 cos C= 2ab 解决的 问题 ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角, 求第三边和其 他两个角

三、三角形中常用的面积公式 1 1.S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 2.S= bcsin A= acsin B = absin C ; 2 2 2 1 3.S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径). 2

[基础自测自评] 1.(2013· 山东高考)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c.若 B=2A,a=1,b= 3,则 c= A.2 3 C. 2 B.2 D.1 ( )

1 3 a b B [由正弦定理sin A=sin B得:sin A=sin B, 又∵B=2A, 1 3 3 ∴ = = , sin A sin 2A 2sin Acos A 3 ∴cos A= ,∴∠A=30°, 2 ∴∠B=60°,∠C=90°, ∴c= 12+( 3)2=2.]

2.在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于 A.30° C.60° B.45° D.75°

(

)

b2+c2-a2 1+4-3 1 C [∵cos A= 2bc = = , 2×1×2 2 又∵0°<A<180°, ∴A=60°.]

3.(教材习题改编)在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45°,则 此三角形有 A.无解 C.一解 a b B [∵sin A=sin B, 24 b ∴sin B=asin A=18sin 45°, 2 2 ∴sin B= 3 . 又∵a<b,∴B 有两个.] B.两解 D.解的个数不确定 ( )

4. (2012· 陕西高考)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对边的长分别为 a, π b,c.若 a=2,B= ,c=2 3,则 b=________. 6 解析 由余弦定理得 b2 = a2 + c2 - 2accos B= 4 + 12 - 2 × 2 ×

3 2 3× =4,所以 b=2. 2 答案 2

5.△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为 ________. 解析 设 BC=x,

由余弦定理得 49=25+x2-10xcos 120°, 整理得 x2+5x-24=0,即 x=3. 1 1 3 15 3 因此 S△ABC= AB×BC×sin B= ×3×5× = . 2 2 2 4 答案 15 3 4

[关键要点点拨] (1)在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也 较 大 , 正 弦 值 较 大 的 角 也 较 大 , 即 在 △ ABC 中 , A>B?a>b?sin A>sin B.

(2)在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下: A为锐角 A为钝角或 直角

图形

关系式 解的个数

a=bsin A 一解

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

利用正弦、余弦定理解三角形
[典题导入] (2012· 浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值.

[听课记录]

(1)由 bsin A= 3acos B 及正弦定理

a b sin A=sin B,得 sin B= 3cos B, π 所以 tan B= 3,所以 B=3. a c (2)由 sin C=2sin A 及sin A=sin C,得 c=2a. 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 9=a2+c2-ac. 所以 a= 3,c=2 3.

[互动探究] 在本例(2)的条件下,试求角 A 的大小. 解析 a b ∵ = , sin A sin B

π 3·sin 3 asin B 1 ∴sin A= b = = . 3 2 π ∴A= 6 .

[规律方法]

1 . 应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时
可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理 更方便、简捷. 2 .已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的; 已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据

三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

[跟踪训练] 1. △ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b,c, asin Asin B+bcos2A= 2a. b (1)求a; (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B.

解析

(1)由正弦定理得, 2sin A,

sin2Asin B+sin Bcos2A=

即 sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A. 故 sin B= b 2sin A,所以a=
2 2 2

2.

(1+ 3)a (2)由余弦定理和 c =b + 3a ,得 cos B= . 2c 1 由(1)知 b =2a ,故 c =(2+ 3)a .可得 cos B=2,
2 2 2 2 2

2 又 cos B>0,故 cos B= ,所以 B=45°. 2

利用正弦、余弦定理判定三角形
的形状 [典题导入] 在△ABC中a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.

(1)求A的大小;
(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.

[听课记录]

(1)由已知,根据正弦定理得

2a2=(2b+c)· b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 故 cos A=-2,∵0<A<180° ,∴A=120° .

3 (2)由(1)得 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C=4.
2 2 2

1 又 sin B+sin C=1,解得 sin B=sin C=2. ∵0° <B<60° ,0° <C<60° ,故 B=C, ∴△ABC 是等腰的钝角三角形.

[规律方法] 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如 下两种方法:

(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式
分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的 关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断

出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
[注意 ] 在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去

公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

[跟踪训练] 2.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A =(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.

解析

(1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,

得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c, 即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= = , 2bc 2 ∴A=60°. (2)∵A+B+C=180°, ∴B+C=180°-60°=120°.

由 sin B+sin C= 3, 得 sin B+sin(120°-B)= 3. ∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B = 3. 3 3 ∴2sin B+ 2 cos B= 3, 即 sin(B+30°)=1.

又∵0°<B<120°,30°<B+30°<150°, ∴B+30°=90°, 即 B=60°. ∴A=B=C=60°, ∴△ABC 为正三角形.

与三角形面积有关的问题
[典题导入] (2013· 湖北高考)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分 别是 a,b,c.已知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值.

[听课记录]

(1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,

得 2cos2A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 1 解得 cos A=2或 cos A=-2(舍去). π 因为 0<A<π,所以 A= . 3

1 1 3 3 (2)由 S=2bcsin A=2bc·2 = 4 bc=5 3,得 bc=20. 又 b=5,知 c=4. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21, 故 a= 21. b c 又由正弦定理得 sin Bsin C=asin A· asin A 20 3 5 bc 2 = a2 sin A=21× 4=7.

[规律方法] 1.正弦定理和余弦定理并不是孤立的.解题时要根据具体题目合 理选用,有时还需要交替使用. 1 1 2.在解决三角形问题中,面积公式 S=2absin C=2bcsin A= 1 2acsin B 最常用,因为公式中既有边也有角,容易和正弦定理、余 弦定理结合应用.

[跟踪训练] 3. (2014· 哈尔滨质检)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b,c.角 A 为锐角且满足 (1)求 cos A 的值; (2)若 a= 17,b=5,求△ABC 的面积.
? π ? cos?2A- 3 ? ? ? π ? ? ?-sin?2A- 6 ? ? ? 7 ? ?=-25. ?

解析

1 3 3 1 (1) cos 2A+ sin 2A- sin 2A+ cos 2A 2 2 2 2

7 =cos 2A=-25, 7 cos 2A=2cos A-1=-25,
2

3 所以 cos A=5.

2 3 25+c -17 (2)由 cos A=5= , 2×c×5

得 c=2 或 c=4, 4 而 sin A=5, 所以 S△ABC=4 或 8.

【创新探究】 忽视三角形中的边角大小关系而致误

π (2014· 长春模拟)在△ABC 中, ∠A= 3 , BC=3, AB= 6, 则∠C= π 3π A. 或 4 4 π C. 4 3π B. 4 π D. 6 ( )

【错解】

BC AB 由正弦定理sin A=sin C,

ABsin A 2 则 sin C= BC = 2 . π 3π ∴∠C= 4 或 4 ,选 A. 【错因】 2 上述错误在于求出 sin C= 2 时,忽视了 BC 与 AB 的

大小从而产生多解.

【解析】

BC AB 由正弦定理得sin A=sin C,

π 6sin 3 ABsin A 2 则 sin C= BC = =2, 3 π 又 BC>AB,所以∠A>∠C,所以∠C= 4 ,选 C. 【答案】 C 利用正弦定理求角时,在求出角的正弦值后,要

【高手支招】

注意利用“大边对大角,小边对小角”去作出判断.

[体验高考] 1.(2013· 湖南高考)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3b,则角 A 等于 π A.12 π C. 4 π B. 6 π D. 3 ( )

D [由 2asin B= 3b 得 2sin Asin B= 3sin B, π 2π 3 故 sin A= 2 ,故 A= 3 或 3 . π 又 △ABC 为锐角三角形,故 A= 3 .]

2.(2013· 陕西高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为 ( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不确定 )

B [∵bcos C+ccos B=asin A, 由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, ∴sin(B+C)=sin2A, 即 sin A=sin2A. π 又 sin A>0,∴sin A=1,∴A= 2 , 故△ABC 为直角三角形.]

3.(2013· 福建高考)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD 2 2 ⊥AC,sin ∠BAC= ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为 3 __________.

π 解析 ∵AD⊥AC,∴∠DAC= . 2
? π? 2 2 ? ? 2 2 ∵sin ∠BAC= ,∴sin?∠BAD+ ?= , 3 3 2 ? ?

2 2 ∴cos ∠BAD= 3 .

由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB· AD· cos ∠BAD 2 2 =(3 2) +3 -2×3 2×3× =3. 3
2 2

∴BD= 3. 答案 3

4.(理)(2013·新课标全国Ⅱ高考)△ABC的内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.

(1)求B;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.

解析

(1)由已知及正弦定理得 ①

sin A=sinBcos C+sin Csin B. 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由①②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B= 4 .



1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsin B= ac. 2 4 π 由已知及余弦定理得 4=a +c -2accos 4 .
2 2

4 又 a +c ≥2ac,故 ac≤ ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2
2 2

因此△ABC 面积的最大值为 2+1.

4.(文)(2013· 重庆高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3, S 为△ABC 的面积, 求 S+3cos Bcos C 的最大值, 并指出此时 B 的值.

b2+c2-a2 - 3bc 解析 (1)由余弦定理得 cos A= = 2bc 2bc 3 =- . 2 5π 又 0<A<π,所以 A= . 6

1 (2)由(1)得 sin A= ,又由正弦定理及 a= 3得 2 1 1 asin B S=2bcsin A=2· sin A ·asin C=3sin Bsin C, 因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C) =3cos(B-C). π-A π 所以,当 B=C,即 B= = 时, 2 12 S+3cos Bcos C 取最大值 3.

课时作业


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