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第7讲 三角函数2


第 7 讲 三角函数(2)
类型 1 诱导公式与求值化简与证明 例 1 求值: sin(?

26 46 37 55 π ) ? sin(? π) cos(? π ) ? cos(? π ). ? 6 3 6 6

例 2 已知 sin(α ? π ) = 2cos(2π ? α ). 求证:

sin(π ? α ) + 5cos(2π + α ) 3 =? . 3cos(π ? α ) ? sin(?α ) 5

例 3 化简 cos(

6n + 1 6n ? 1 π + x) + cos( π ? x)( n ∈ Z ). 6 6

3 sin(?α + π ) 2 sin(π ? α ) ? cos(2π ? α ) ? 3 cos( ?α + π ) 2 . 练习:1.已知 α 是第三象限角,且 f (α ) = cos(?α ? π ) ? sin(?π ? α ) sin(?α ? π ) 3 1 (1)化简 f (α ) ;(2)若 cos(α ? π ) = ,求 f (α ) 的值; 2 5
(3)若 α = ?1080o ,求 f (α ) .

类型 2 关于周期性 例 4(1)已知函数 f ( x) 满足:对任意的 x ∈ R ,都有 f ( x + 2) = f ( x ? 2) ,则周期 T=_______. (2)设定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( x + 2) =

13 ,若 f (1) = 2 ,则 f (99) =________. f ( x)

(3)设定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足: f ( x + 2) = ? f ( x) ,则 f (6) = __________. 类型 3 同角三角函数的基本关系 例 5 已知 tan α = 3 ,求 sin 2 α ? 3sin α cos α + 1 的值.

1 练习:已知 tan α = ? ,求下列式子的值. 3 3 (1) 2sin 2 α ? sin α cos α + 5cos 2 α 2

(2)

1 . 1 ? cos α sin α

例 6 已知 sin α + cos α =

1 ,且 0 < α < π ,求 tan α . 5

例 7 化简 (1)

1 cos α 1 + tan 2 α

+

1 + sin α 1 ? sin α ? 1 ? sin α 1 + sin α

(2)

1 ? sin 6 θ ? cos6 θ 1 ? sin 4 θ ? cos 4 θ

练习:(1) 1 ? 2sin 40o cos 40o

(2) sin 2 α + sin 2 β ? sin 2 α sin 2 β + cos 2 α cos 2 β

例 8 求证:

1 1 1 + ? = 2 + tan 2 x 2 2 sin x cos x tan 2 x

x y x y x2 y2 例 9 已知 cosθ + sin θ = 1, sin θ ? cos θ = 1 ,求证: 2 + 2 = 2 . a b a b a b

类型 4 两角和差的三角函数关系 例 10 求值 (1) tan15o + tan 30o + tan15o tan 30o (2)

cos15o ? sin15o cos15o + sin15o

(3)

2sin 50o + cos10o (1 + 3 tan10o ) cos35o cos 40o + cos50o cos 55o

例 11 已知角 α , β 满足 sin α =

1 1 , sin β = ,求 α + β . 5 10

4 3 例 12 若 cos α = ,cos(α + β ) = ,求 sin β . 5 5

练习;已知 cos( x ?

π
4

)=

2 π 3π π , x ∈ ( , ) .求 sin x 和 sin(2 x + ) . 10 2 4 3


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