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用平面的法向量解高考立体几何试题


与高考同行

中学数学文摘

2006 年第 1 期

用平面的法向量解高考立体几何试题
张靖松 平面的法向量在课本上有定义,考试大纲中有"理解"要求,但在课本和多数的教辅材料 中都没有提及它的应用, 其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠, 是解立体几何题的锐 利武器,开发平面法向量的解题功能,可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题,也能 顺利解决 2005 年全国高考试卷中的立体几何试题. 一,平面法向量的概念和求法 向量与平面垂直 如果表示向量 a 的有向线段所在的直线垂直于平面 α ,则称这个向量垂 直于平面 α ,记作 a ⊥ α . 平面的法向量 如果 a ⊥ α ,那么向量 a 叫做平面 α 的法向量. 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量, 进而就可以利用平面的法向量解决相关 立体几何问题.推导平面法向量的方法如下: 在给定的空间直角坐标系中,设平面 α 的法向量 n = ( x, y ,1) [或 n = ( x,1, z ) ,或

n = (1, y, z ) ],在平面 α 内任找两个不共线的向量 a, b .由 n ⊥ α ,得 n a = 0 且
n b = 0 ,由此得到关于 x, y 的方程组,解此方程组即可得到 n .有时为了需要,也求法
向量 n 上的单位法向量 n0 ,则 n0 =

n . n
D1 A1 z B1 C C1

例 1 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中, 求平面 ACD1 的法向量 n 和单位法向量 n0 . 解:建立空间直角坐标系,如图 1,则 A(1, 0, 0) ,

D A B 图1 x

y

C (0,1, 0) .设平面 ACD1 的法向量 n = ( x, y,1) .
得 AC = ( 1,1, 0) , AD1 = ( 1, 0,1) . 又 n ⊥ 面 ACD1 ,得 n ⊥ AC , n ⊥ AD1 .有

( x, y,1) (1,1, 0) = 0 x = 1 ,得 . ( x, y,1) (1, 0,1) = 0 y =1

∴ n = (1,1,1) , n0 =

n (1,1,1) 3 3 3 = =( , , ). n 3 3 3 1+1+1

二,平面法向量的三个引理 为了能方便地运用平面法向量解题,特介绍平面法向量的三个引理,以此为工具,可以 顺利地解决立体几何问题.

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引理 1 设向量 n0 是平面 α 的单位法向量,点 B 是平面 α 外一定点,点 A 是 α 内任意一 点,则点 B 到平面 α 的距离 d = AB n0 . 证明:如图 2,过 B 作 BO 垂直平面 α 于 O,在 证明 平面 α 上任取一点 A,则 ∠ABO 为 AB 与 n 的夹 角,设为 θ . 在 Rt ABO 中, BO = d , 得 d = AB cos θ = AB B n

α
= AB n n = AB n0 .

O A 图 2

AB n AB n

例 2 在例 1 中,求点 A1 到平面 ACD1 的距离. 解析:由例 1 的解答知,平面 ACD1 的单位法向量 n0 = ( 又 AA1 = (0, 0,1) ,设点 A1 到平面 ACD1 的距离为 d ,则

3 3 3 , , ), 3 3 3

d = AA1 n0 = (0, 0,1) (

3 3 3 3 . , , )= 3 3 3 3 3 . 3

所以,点 A1 到平面 ACD1 的距离为

说明: 利用引理 1 求点到平面的距离比用传统的几何方法求距离简单得多, 它省去了作图, 说明: 证明等推理论证,直接通过向量运算得到正确的结果. BO AB 引理 2 设 AB 是平面 α 的斜线, 是平面 α 的垂线, 与平面 α 所成的角 ∠BAO = θ , 向量 AB 与 n 的夹角 ∠ABO = ψ (见图 2) ,则 sin θ = cosψ = 例 3 在例 1 中,求直线 AA1 与平面 ACD1 所成的角. 解析:由例 1 知, n = (1,1,1) , AA1 = (0, 0,1) ,

AB n AB n

. (证略)

1 3 3 ∴ sin θ = = = ,即 θ = arcsin . 3 3 3 AA1 n
引理 3 如图 3,设向量 n1 与 n2 分别是二面角 图 3

AA1 n

n1 α

n2

β

α l β 中的两个半平面 α , β 的法向量,

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则向量 n1 与 n2 的夹角 < n1 , n2 > 的大小就是 所求二面角或其补角的大小. (证略) 例 4 在例 1 中,求二面角 D1 AC D 的大小. 解:由例 1 知,平面 ACD1 的法向量是 n1 = (1,1,1) ,平面 DAC 的法向量是 n2 = (0, 0,1) , 设二面角 D1 AC D 的大小为 θ ,则

cos θ =

n1 n2 (1,1,1) (0, 0,1) 3 3 = = ,得 θ = arccos . n1 n2 3 3 3

说明: 说明:由于法向量的多样性,二面角的两个半平面的法向量 n1 与 n2 的夹角可能等于所求 二面角的平面角,如本例;也可能等于二面角的平面角的补角,如若 n2 = (0, 0, 1) , 则 cos < n1 , n2 >=

n1 n2 3 = = cos θ , n1 n2 3
3 3 ) = arccos . 3 3

于是 θ = π < n1 , n2 >= π (π arccos

如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢?一靠经验: 通过题目估计它 是钝角还是锐角,同类相等,异类互补;二用半平面旋转法:把二面角的一个半平面绕棱 l 按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时, 若两个半平面的法向量的方向相同, 则相等, 若方向相反,则互补. 利用法向量解 三,利用法向量解 2005 年高考立体几何试题 例 5 (05 江西 理)如图 4,在长方体 ABCD

A1 B1C1 D1 中,AD= AA1 =1,AB=2,点 E 在棱 AB
上移动. (Ⅰ)证明: D1 E ⊥ A1 D ; (Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 A1 A x

z D1 B1 D E 图4 B C1 C y

ACD1 的距离;
(Ⅲ)AE 等于何值时,二面角 D1 EC D 的大小为

π
4

.

分析 本题是立体几何试题的常见题型,考查的是传统内容.证线线垂直,求点到平面的 距离,求二面角的大小,可用传统的几何方法求解,也可利用向量法求解.下面给出向量法 求解.

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解:建立如图所示的空间直角坐标系,设 AE = a ,则 A1 (1, 0,1) , D1 (0, 0,1) , E (1, a, 0) ,

A(1, 0, 0) , C (0, 2, 0) .
(Ⅰ)证明:由 DA1 = (1, 0,1) , D1 E = (1, a 1, 1) ,

DA1 D1 E = (1, 0,1) (1, a 1, 1) = 1 1 = 0 ,有 DA1 ⊥ D1 E ,于是 D1 E ⊥ A1 D .
(Ⅱ)E 是 AB 的中点,得 E (1,1, 0) .

∴ D1 E = (1,1, 1) , AC = (1, 2, 0) , AD1 = (1, 0,1) .
设平面 ACD1 的法向量为 n = ( x, y ,1) ,单位法向量为 n0 ,

x = 1 n AC = 0 ( x, y,1) (1, 2, 0) = 0 x + 2 y = 0 由 ,解得 1. ( x, y,1) (1, 0,1) = 0 x + 1 = 0 n AD1 = 0 y = 2

1 于是 n = (1, ,1) ,有 n0 = 2

1 (1, ,1) 2 1 2 2 = ( , , ). 3 3 3 1 1+ +1 4

设点 E 到平面 ACD1 的距离为 d ,则

2 1 2 1 d = D1 E n0 = (1,1, 1) ( , , ) = . 3 3 3 3
所以点 E 到平面 ACD1 的距离为

1 . 3

(Ⅲ)平面 DEC 的法向量 n1 = (0, 0,1) ,设平面 D1 EC 的法向量 n2 = ( x, y ,1) . 又 EC = ( 1, 2 a, 0) , D1C = (0, 2, 1) . 由

n2 EC = 0 n2 D1C = 0

,得

( x, y,1) (1, 2 a, 0) = 0 ( x, y,1) (0, 2, 1) = 0

a x = 1 2 x + y (2 a ) = 0 a 1 ,解得 ,于是 n2 = (1 , ,1) . 2 2 2 y 1 = 0 y = 1 2

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设所求的二面角为 θ ,则 θ =

π
4

.

a 1 (0, 0,1) (1 , ,1) 2 a 2 1 2 2 有 cos θ = cos < DD1 , n2 >= = ,得 (1 ) + + 1 = 2 . 2 2 4 a 1 (1 )2 + + 1 2 4
解得 a = 2 3 , 所以,当 AE= 2 3 时,二面角 D1 EC D 的大小为 例 6 (05 全国卷Ⅱ)如图 5,四棱锥 P ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PD ⊥ 底面 ABCD,AD=PD, E,F 分别 CD,PB 的中点. (Ⅰ)求证:EF ⊥ 平面 PAB; (Ⅱ)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的大小. 分析:本题考查的是立体几何的重点内容:直线与平面 分析 垂直和直线与平面所成的角,考查空间想像能力和推理 论证能力,本题也是一题两法. (Ⅰ)证明:建立空间直角坐标系(如图 5) ,设 AD=

π
4

.

z P

x

C

F

E

D A

B 图 5

y

PD=1,AB= 2a ( a > 0 ) ,则 E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), F ( a, , ) .

1 1 2 2

1 1 , ) , PB = (2a,1, 1) , AB = (2a, 0, 0) . 2 2 1 1 由 EF AB = (0, , ) (2a, 0, 0) = 0 ,得 EF ⊥ AB ,即 EF ⊥ AB , 2 2 同理 EF ⊥ PB ,又 AB ∩ PB = B , 所以,EF ⊥ 平面 PAB.
得 EF = (0, (Ⅱ)解:由 AB =

2 BC ,得 2a = 2 ,即 a =

2 . 2

得 E(

2 2 1 1 , 0, 0) , F ( , , ) , C ( 2, 0, 0) . 2 2 2 2 2 1 1 , 1, 0) , EF = (0, , ) . 2 2 2

有 AC = ( 2, 1, 0) , AE = (

设平面 AEF 的法向量为 n = ( x, y ,1) ,

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1 1 1 1 ( x, y,1) (0, 2 , 2 ) = 0 2 y + 2 = 0 n EF = 0 y = 1 由 ,解得 . x = 2 n AE = 0 ( x, y,1) ( 2 , 1, 0) = 0 2 x y = 0 2 2
于是 n = ( 2, 1,1) . 设 AC 与面 AEF 所成的角为 θ , AC 与 n 的夹角为 < AC , n > . 则 sin θ = cos < AC , n > =

AC n AC n

=

( 2, 1, 0) ( 2, 1,1) 2 +1+ 0 2 +1+1

=

3 . 6

得 θ = arcsin

3 . 6 3 . 6

所以,AC 与平面 AEF 所成角的大小为 arcsin

说明: 说明:用传统的几何方法,在限定的时间内,很难找到 AC 与平面 AEF 所成的角.而 利用平面的法向量解题,可顺利地避开这一切麻烦,只要找到平面的法向量 n ,利用向量间 的代数运算,可方便简捷地解决此题. 利用法向量也可顺利求解 2005 全国卷Ⅰ第 18 题: 如图 6 已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯 P M 0 形,AB//DC, ∠DAB = 90 , PA ⊥ 底面 ABCD, 且 PA=AD=DC=

D C (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; 图 6 (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小. 解: (略) 说明: 说明:本题求二面角的大小,由于不易找到二面角的平面角,无论是用传统的几何方法还 用一般的向量方法,都很不易解决,这也是造成立体几何解答题得分不高的原因之一,如果 采用平面的法向量解题,情况就大不相同了,请大家仔细体会. 以上介绍了平面的法向量及其几个引理,以此为工具,解决了立体几何中的部分难题.利 用平面法向量解题,方法简便,易于操作,可以避开传统几何中的作图,证明的麻烦,又可 弥补空间想像能力的不足,发挥代数运算的长处.深入开发它的解题功能,平面法向题将在 数学解题中起到越来越大的作用.
(摘自《试题与研究》2005/26 高考数学)

1 AB = 1 ,M 是 PB 的中点. 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ⊥ 面 PCD;

A B

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