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数列的概念与简单表示法



第 1 节 数列的概念与简单表示法
导学目标: 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列 是自变量为正整数的一类特殊函数.

自主梳理 1.数列的定义 按________________着的一列数叫数列,数列中的______________都叫这个数列的项; 在 函 数 意 义 下 , 数 列 是 ________________________ 的 函 数 , 数 列 的 一 般 形 式 为 : ______________________,简记为{an},其中 an 是数列的第____项. 2.通项公式: 如果数列{an}的______与____之间的关系可以____________来表示, 那么这个式子叫做数 列的通项公式.但并非每个数列都有通项公式,也并非都是唯一的. 3.数列常用表示法有:_________、________、________. 4.数列的分类: 数列按项数来分,分为 ____________ 、 __________ ;按项的增减规律分为 ________ 、 ________、__________和__________.递增数列?an+1______an;递减数列?an+1______an; 常数列?an+1______an. 5.an 与 Sn 的关系: ? ,n=1, ? 已知 Sn,则 an=? ? ,n≥2. ? 自我检测 1.(2011· 汕头月考)设 an=-n2+10n+11,则数列{an}从首项到第几项的和最大 ( ) A.10 B.11 C.10 或 11 D.12 * 2. 已知数列{an}对任意的 p, q∈N 满足 ap+q=ap+aq, 且 a2=-6, 那么 a10 等于 ( ) A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 8 15 24 3. (2011· 龙岩月考)已知数列-1, , - , , ?按此规律, 则这个数列的通项公式是( ) 5 7 9 n2+n A.an=(-1)n· 2n+1 n?n+3? B.an=(-1)n· 2n+1 ?n+1?2-1 C.an=(-1)n· 2n+1 n ? n +2? D.an=(-1)n· 2n+3 4.下列对数列的理解: ①数列可以看成一个定义在 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n})上的函数; ②数列的项数是有限的; ③数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点; ④数列的通项公式是唯一的. 其中说法正确的序号是 ( ) A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④ 1 2 1 1 5.(2011· 湖南长郡中学月考)在数列{an}中,若 a1=1,a2= , = + (n∈N*), 2 an+1 an an+2 则该数列的通项 an=______.
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探究点一 由数列前几项求数列通项 例 1 写出下列数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: 2 4 6 8 10 (1) , , , , ,?; 3 15 35 63 99 1 9 25 (2) ,-2, ,-8, ,?. 2 2 2

变式迁移 1 写出下列数列的一个通项公式: 1 9 25 (1)3,5,9,17,33,?;(2) ,2, ,8, ,?; 2 2 2 (3) 2, 5,2 2, 11,?;(4)1,0,1,0,?.

探究点二 由递推公式求数列的通项 例 2 根据下列条件,写出该数列的通项公式. - (1)a1=2,an+1=an+n;(2)a1=1,2n 1an=an-1 (n≥2).

变式迁移 2 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; (2)a1=1,an+1=(n+1)an; 1? (3)a1=2,an+1=an+ln? ?1+n?.

探究点三 由 an 与 Sn 的关系求 an 例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-3n+1,求{an}的通项公式.

变式迁移 3 (2011· 杭州月考)(1)已知{an}的前 n 项和 Sn=3n+b,求{an}的通项公式. (2)已知在正项数列{an}中,Sn 表示前 n 项和且 2 Sn=an+1,求 an.

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函数思想的应用 10?n * 例 (12 分)已知数列{an}的通项 an=(n+1)? ?11? (n∈N ),试问该数列{an}有没有最大 项?若有,求出最大项的项数;若没有,说明理由. 【答题模板】 10?n ?10?n-1 ?n+1?? ?11? ≥n· ?11? 解 方法一 令 [4 分] 10?n ?10?n+1 ?n+1?? ≥ ? n + 2 ? · ?11? ?11?

? ? ?

?10n+10≥11n ?n≤10 ? ? ?? ?? ,∴n=9 或 n=10 时,an 最大,[10 分] ? ? ?11n+11≥10n+20 ?n≥9 即数列{an}有最大项,此时 n=9 或 n=10.[12 分] ?10?n+1-(n+1)· ?10?n 方法二 ∵an+1-an=(n+2)· 11 ? ? ?11? 10?n 9-n =? ?11? · 11 ,[2 分] 当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an.[8 分] 故 a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>?,[10 分] ∴数列{an}中有最大项,为第 9、10 项.[12 分] 【突破思维障碍】 有关数列的最大项、最小项,数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调 ?an≥an+1 ? 性常用①作差法,②作商法,③图象法.求最大项时也可用 an 满足? ;若求最小项, ?an≥an-1 ? ? ?an≤an-1 则用 an 满足? . ?an≤an+1 ? 数列实质就是一种特殊的函数,所以本题就是用函数的思想求最值. 【易错点剖析】 本题解题过程中易出现只解出 a9 这一项,而忽视了 a9=a10,从而导致漏解.

1.数列的递推公式是研究的项与项之间的关系,而通项公式则是研究的项 an 与项数 n 的 关系. 2.求数列的通项公式是本节的重点,主要掌握三种方法:(1)由数列的前几项归纳出一个 通项公式,关键是善于观察; (2)数列{an}的前 n 项和 Sn 与数列{an}的通项公式 an 的关系,要注意验证能否统一到一个 式子中; (3)由递推公式求通项公式,常用方法有累加、累乘. 3.本节易错点是利用 Sn 求 an 时,忘记讨论 n=1 的情况.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. (2010· 安徽)设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2, 则 a8 的值为 A.15 B.16 C.49 D.64

(

)

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2n 2. 已知数列{an}的通项公式是 an= , 那么这个数列是 ( ) 3n+1 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 3. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=2(an-1), 则 a2 等于 ( ) A.4 B.2 C.1 D.-2 an 4. (2011· 烟台模拟)数列{an}中, 若 an+1= , a =1, 则 a6 等于 ( ) 2an+1 1 1 1 A.13 B. C.11 D. 13 11 1 5. 数列{an}满足 an+an+1= (n∈N*), a2=2, Sn 是数列{an}的前 n 项和, 则 S21 为 ( ) 2 7 9 13 A.5 B. C. D. 2 2 2 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 1 2an ?0≤an< ?, 2 6 6.数列{an}满足 an+1= 若 a1= ,则 a2 010 的值为________. 7 1 2an-1 ? ≤an<1?, 2

? ? ?

7 . 已 知 Sn 是 数 列 {an} 的 前 n 项 和 , 且 有 Sn = n2 + 1 , 则 数 列 {an} 的 通 项 an = __________________. 8.(2011· 安庆月考)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ? ? ? ? ? ? 根据以上排列规律,数阵中第 n (n≥3)行从左至右的第 3 个数是____________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)写出下列各数列的一个通项公式. 1 2 3 4 (1)1 ,2 ,3 ,4 ,?; 2 3 4 5 3 1 3 1 3 (2)-1, ,- , ,- , . 2 3 4 5 6

10.(12 分)由下列数列{an}递推公式求数列{an}的通项公式: (1)a1=1,an-an-1=n (n≥2); an n-1 (2)a1=1, = (n≥2); n an-1 (3)a1=1,an=2an-1+1 (n≥2).

11.(14 分)(2009· 安徽)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2 -bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
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(2)设 cn=a2 bn,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn. n· 答案 自主梳理 1.一定顺序排列 每一个数 定义域为 N*(或它的子集)a1,a2,a3,?,an,? n 2.第 n 项 n 用一个公式 3.解析法(通项公式或递推公式) 列表法 图象法 4.有穷数 列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 > < = 5.S1 Sn-Sn-1 自我检测 1.C 2.C 3.C 4.C 1 5. n 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点, 要使用添项、还原、分割等方法,转化为一些常见数列的通项公式来求; (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴涵着“从特殊到一 般”的思想,得出的结论不一定可靠,在解答题中一般应用数学归纳法进行证明. 2×2 2×3 2×4 2×5 2 解 (1)原数列为 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,?, 2 -1 4 -1 6 -1 8 -1 10 -1 2n 2n ∴an= = . (2n)2-1 4n2-1 1 4 9 16 25 (2)原数列为 ,- , ,- , ,?, 2 2 2 2 2 + (-1)n 1· n2 ∴an= . 2 变式迁移 1 解 (1)∵a1=3=21+1, a2=5=22+1,a3=9=23+1,?, ∴an=2n+1. (2)将数列中各项统一成分母为 2 的分数,得 1 4 9 16 25 , , , , ,?, 2 2 2 2 2 观察知,各项的分子是对应项数的平方, n2 ∴数列通项公式是 an= . 2 (3)将数列各项统一成 f(n)的形式得 2, 5, 8, 11,?; 观察知,数列各项的被开方数逐个增加 3,且被开方数加 1 后,又变为 3,6,9,12,?,所 以数列的通项公式是 an= 3n-1. (4)从奇数项,偶数项角度入手,可以得到分段形式的解析式,也可看作数列 1,1,1,1,? 和 1,-1,1,-1,?对应项相加之和的一半组成的数列,也可用正弦函数和余弦函数的最值 和零点值来调整表示. ?1,n=1,3,5,?, ? 所以 an=? ? ?0,n=2,4,6,?, + 1+(-1)n 1 或 an= (n∈N*), 2 nπ nπ sin ?或 an=sin2 (n∈N*), 或 an=? 2? ? 2 n - 1 或 an=?cos π? (n∈N*). 2 ? ? 例 2 解题导引 利用数列的递推公式求数列的通项公式,一般有以下三种方法: (1)累加法:如果已知数列{an}的相邻两项 an+1 与 an 的差的一个关系式,我们可依次写出 前 n 项中所有相邻两项的差的关系式, 然后把这 n-1 个式子相加, 整理求出数列的通项公式.
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(2)累积法:如果已知数列{an}的相邻两项 an+1 与 an 的商的一个关系式,我们可依次写出 前 n 项中所有相邻两项的商的关系式, 然后把这 n-1 个式子相乘, 整理求出数列的通项公式. (3)构造法:根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式,进行变形整理,构造出一个 新的等差或等比数列,利用等差或等比数列的通项公式求解. 解 (1)当 n=1,2,3, ?, n-1 时, 可得 n-1 个等式, an-an-1=n-1, an-1-an-2=n-2, ?, a2-a1=1, 将其相加, 得 an-a1=1+2+3+?+(n-1). (1+n-1)(n-1) n(n-1) ∴an=a1+ =2+ . 2 2 an an-1 a3 a2 (2)方法一 an= · · ?· · · a a2 a1 1 an-1 an-2 1?n-1 ?1?n-2 ?1?2· ?1?1 =? ?· ?2? · ?2? · ?2? ?2? 1?1+2+?+(n-1) ?1?n(n-1) =? =?2? , ?2? 2 1?n(n-1) ∴an=? ?2? 2 . - 方法二 由 2n 1an=an-1, 1?n-1 得 an=? ?2? an-1. 1?n-1 ∴an=? ?2? an-1 1?n-1 ?1?n-2 =? ?2? · ?2? an-2 1?n-1 ?1?n-2 ?1?1a1 =? ?· ?2? · ?2? · ?2? 1 ?(n-1)+(n-2)+?+2+1=?1?n(n-1) =? ?2? ?2? 2 变式迁移 2 解 (1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), an+1+1 ∴ =3, an+1 ∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, 又 a1+1=2, - - ∴an+1=2· 3n 1,∴an=2· 3n 1-1. an+1 (2)∵an+1=(n+1)an,∴ =n+1. an an-1 an ∴ =n, =n-1, an-1 an-2 ?? a3 =3, a2 a2 =2, a1 a1=1. 累乘可得,an=n×(n-1)×(n-2)×?×3×2×1=n!. 故 an=n!. 1? (3)∵an+1=an+ln? ?1+n?, 1? n+1 ∴an+1-an=ln? ?1+n?=ln n .

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n , n-1 n-1 an-1-an-2=ln , n-2 ?? 2 a2-a1=ln , 1 ∴an-an-1=ln n-1 n 2 +ln +?+ln 1 n-1 n-2 =ln n-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+?+ln 2-ln 1 =ln n. 又 a1=2,∴an=ln n+2. 例 3 解题导引 an 与 Sn 的关系式 an=Sn-Sn-1 的条件是 n≥2,求 an 时切勿漏掉 n=1, 即 a1=S1 的情况.一般地,当 a1=S1 适合 an=Sn-Sn-1 时,则需统一“合写”.当 a1=S1 不 ?S1, n=1, ? 适合 an=Sn-Sn-1 时,则通项公式应分段表示,即 an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2. 解 当 n=1 时, a1=S1=2×12-3×1+1=0; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n+1)-2(n-1)2+3(n-1)-1=4n-5; 又 n=1 时,an=4×1-5=-1≠a1, ? n=1, ?0, ∴an=? ?4n-5, n≥2. ? 变式迁移 3 解 (1)a1=S1=3+b, - - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n 1+b)=2· 3n 1. 当 b=-1 时,a1 适合此等式; 当 b≠-1 时,a1 不适合此等式. - ∴当 b=-1 时,an=2· 3n 1; ?3+b (n=1) ? 当 b≠-1 时,an=? n-1 . ?2· 3 (n≥2) ? an+1?2 (2)由 2 Sn=an+1,得 Sn=? ? 2 ?, a1+1?2 当 n=1 时,a1=S1=? ? 2 ? ,得 a1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 an+1?2 ?an-1+1?2 =? ? 2 ? -? 2 ? , 整理,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0, ∵数列{an}各项为正,∴an+an-1>0. ∴an-an-1-2=0. ∴数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. ∴an=a1+(n-1)×2=2n-1. 课后练习区 1.A 2.A 3.A 4.D 5.B ?2 (n=1) ? n2-n+6 3 6. 7.? 8. * 7 2 ?2n-1 (n≥2,n∈N ) ? 累加可得,an-a1=ln 1 2 3 9.解 (1)∵a1=1+ ,a2=2+ ,a3=3+ ,?, 2 3 4 n * ∴an=n+ (n∈N ).…………………………………………………………………(6 分) n+1
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2-1 2+1 2-1 (2)∵a1=- ,a2= ,a3=- , 1 2 3 2+1 a4= ,?, 4 2+(-1)n ∴an=(-1)n· (n∈N*).………………………………………………………(12 分) n 10.解 (1)由题意得,an-an-1=n,an-1-an-2=n-1,?,a3-a2=3,a2-a1=2. 将上述各式等号两边累加得, an-a1=n+(n-1)+?+3+2, n(n+1) 即 an=n+(n-1)+?+3+2+1= , 2 n(n+1) 故 an= .……………………………………………………………………………(4 分) 2 an n-1 an-1 n-2 a3 2 a2 1 (2)由题意得, = , = ,?, = , = . n a2 3 a1 2 an-1 an-2 n-1 an 1 1 将上述各式累乘得, = ,故 an= .……………………………………………………(8 分) a1 n n (3)由 an=2an-1+1, 得 an+1=2(an-1+1), an+1 又 a1+1=2≠0,所以 =2, an-1+1 即数列{an+1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列. 所以 an+1=2n,即 an=2n-1.…………………………………………………………(12 分) 11.(1)解 a1=S1=4.……………………………………………………………………(1 分) 对于 n≥2 有 an=Sn-Sn-1=2n(n+1)-2(n-1)n=4n.a1 也适合, ∴{an}的通项公式 an=4n.………………………………………………………………(3 分) 将 n=1 代入 Tn=2-bn,得 b1=2-b1,故 T1=b1=1.………………………………(4 分) (求 bn 方法一)对于 n≥2,由 Tn-1=2-bn-1, Tn=2-bn,得 bn=Tn-Tn-1=-(bn-bn-1), 1 - ∴bn= bn-1,bn=21 n.……………………………………………………………………(6 分) 2 (求 bn 方法二)对于 n≥2,由 Tn=2-bn 得 Tn=2-(Tn-Tn-1), 1 2Tn=2+Tn-1,Tn-2= (Tn-1-2), 2 - 1-n Tn-2=2 (T1-2)=-21 n, - Tn=2-21 n, - - - bn=Tn-Tn-1=(2-21 n)-(2-22 n)=21 n. b1=1 也适合.……………………………………………………………………………(6 分) - 综上,{bn}的通项公式 bn=21 n.…………………………………………………………(8 分) - 2 (2)证明 方法一 由 cn=an· bn=n225 n,………………………………………………(10 分) cn+1 1? 1?2 得 = 1+ .………………………………………………………………………(12 分) cn 2? n? 1 4 当且仅当 n≥3 时,1+ ≤ < 2, n 3 cn+1 1 - ∴ < · ( 2)2=1,又 cn=n2· 25 n>0, cn 2 即 cn+1<cn.………………………………………………………………………………(14 分) - 方法二 由 cn=a2 bn=n225 n, n· 4-n 2 得 cn+1-cn=2 [(n+1) -2n2] - =24 n[-(n-1)2+2].…………………………………………………………………(13 分)

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当且仅当 n≥3 时,cn+1-cn <0,即 cn+1< cn.????????????????(14 分)

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