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湖南省衡阳市五校2015届高三11月第二次联考数学文试卷


衡阳市五校 2015 届高三 11 月第二次联考
(衡南一中、衡阳县一中、祁东二中、岳云中学、衡阳市一中)

文科数学试题卷
时量:120 分钟 分值:150 分 一、 选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要示的) . 1、函数 f ( x) ? lg( x ?1)

? 3 ? x 的定义域是( A. (1,3) B. [1,3] ) D. [1,3) )

C. (1,3]

2、命题“存在 x0 ? R ,使得 2 x 0 ? 0 ”的否定是( A.不存在 x0 ? R ,使得 2 x 0 ? 0 C.对任意 x ? R ,都有 2 x ? 0

B.存在 x0 ? R ,使得 2 x 0 ? 0 D.对任意 x ? R ,使得 2 x ? 0

3、在正项等比数列 ?a n ? 中,若 a4 , a8 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根,则 a6 的值 是 ( A. ? )

2

B. ?

2

C. 2

D. ? 2 )

4、已知 a ? 1 , b ? A. ?

2 ,且 b ? (2a ? b) ? 1,则 a 与 b 夹角的余弦值为(
B. ?

1 3

2 4

C.

2 3

D.

1 3

5、已知函数 y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变,将横坐标伸长到原来的 2 倍,然后将整个 π 1 图象沿 x 轴向左平移 个单位,得到的图象与 y= sin x 的图象相同,则 y=f(x)的函数表达 2 2 式为( )

1 1 ? sin( x ? ) 2 2 2 1 1 ? C. y ? sin( x ? ) 2 2 2
A. y ?

1 ? sin 2( x ? ) 2 2 1 ? D. y ? sin( 2 x ? ) 2 2
B. y ?

6、设向量 a = 2, x ? 1 , b = x ? 1, 4 ,则“ x ? 3 ”是“ a // b ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

?

?



7、已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0, a=7,c=6,则 b=( )

8

6

A.10

B.9

C.8

D.5
4

8、 、已知函数 f ( x) ? ( x ? a)(x ? b) (其中

),
2

若 f ( x) 的图像如右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b
10 5

-1

1

5

10

的图像大致为(

)

2

4

6

A

B

C

D

9、设 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? [a, b] 上 有两个不同零点,则称 f ( x ) 与 g ( x) 在 [ a, b] 上是“关联函数”,区间 [ a, b] 称为“关联区间” , 若 f ( x) ? x2 ? 3x ? 4 和 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联函数” ,则 m 的范围为( A. [ ? )

9 , ?2) 4

B. ( ?

9 , ?2] 4

C. [?1, 0]

D. (??, ?2]

10、对于任意的两个实数对 ( a, b) 和 (c, d ) 规定 (a, b) ? (c, d ) 当且仅当 a ? c, b ? d ; 运 算 “ ? ” 为 : (a, b) ? (c, d ) ? (ac ? bd, bc ? ad) , 运 算 “ ? ” 为 :

(a, b) ? (c, d ) ? (a ? c, b ? d ) ,设 p, q ? R ,若 (1,2) ? ( p, q) ? (5,0) ,则 (1,2) ? ( p, q) ?
( ) B.

A. ( 2,0)

(4,0)

C. (0,2)

D. (0,?4)

二.填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 若 f (2) ? ? lg 2, f (3) ? lg 5 则 f (2014) ? f (2015) ?

2 1 a n ? ,则{an}的通项公式是 an=____ ____ 3 3 4 13、已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 时, f ( x) ? x ? ,且当 x ? ?? 3,?1? 时, f ( x) 的值域 x
12、若数列{an}的前 n 项和 S n ? 是 ?n, m? ,则 的值是 D E C

14、 如图, 在边长为 2 的菱形 ABCD 中 ?BAD ? 60 ,E 为 CD 中点, 则 AE ? BD ? 、

15、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? a

(a ? R)

A

B

①若 f ( x ) 的图像在 (1, f (1)) 处的切线经过点 (0, 2) ,则 a = ②若对任意 x1 ?[0, 2] ,都存在 x2 ?[2,3] 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ,则实数 a 的范围为

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1, sin x) , b = (cos( 2 x ?

?

1 ), sin x) ,函数 f ( x) ? a ? b ? cos 2 x , 3 2

(1)求函数 f(x)的解析式及其单调递增区间; (2)当 x∈ ?0,

? ?? ? 时,求函数 f(x)的值域. ? 3?

17、(本小题满分 12 分)
2 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a ? 0) ,若 f (?1) ? 0 ,且对任意实数 x 均有 f ( x) ? 0 成立,

设 g ( x) ? f ( x) ? kx (1)当 x ? [?2, 2] 时, g ( x) 为单调函数,求实数 k 的范围 (2)当 x ? [1, 2] 时, g ( x) ? 0 恒成立,求实数 k 的范围,

18、 (本小题满分 12 分) 如图,在底面为菱形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面ABCD , P E A D

E 为 PD

的中点, PA ? AB ? 1 , ?ABC ?

?
3

(1)求证: PB / /面ACE (2)求 PB 与面 PAC 所成角的正弦值 B

C 19、(本小题满分 13 分) 已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (Ⅰ)设 bn ? (Ⅱ)设 cn ?

1 * ,其中 n ?N . 4an

2 2an ? 1

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ?的通项公式 an ;

4an 1 ,数列 ?cncn?2 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? n ?1 cmcm?1
*

于 n ?N 恒成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明

20、(本小题满分 13 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米 时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研 究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时) f ? x ? ? x ? v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时)

21、 (本小题满分 13 分)己知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x (1)若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;
3 2

(2)若 x ? ?

1 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [1, a] 上的最大值; 3

(3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x) 的图象恰有 3 个 交点,若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由

衡阳市 2015 届高三 11 月五校联考
(衡南一中、衡阳县一中、祁东二中、岳云中学、衡阳市一中) 文科数学答题卡 一.选择题(每题 5 分,共 50 分)

题 号 选 项

1

2

3

4

5

6

7

8

9 0

1

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

二. 填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.__________________ 13.__________________ 15.__________________ 三.解答题:共 6 个大题,共 75 分。请在规定的地方作答,要有必要的步骤和格式,只写答 案而无步骤不给分。 16 题(12 分) 12.____________________ 14._____________________

17 题(12 分)

18 题(12 分)

P E A D

B C

19 题(13 分)

20 题(13 分)

21 题(13 分)

2015 届高三 11 月五校联考数学试题(文科)

答题卷
一、 选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 A 9 B 10 A

二、填空题 (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.
–1

12. an=__(-2)n-1____

13.



14.



15.①





②a ? 3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

f ( x) ? cos(2 x ?
16、解: (1)

1 ) ? sin x 2 ? cos 2 x 3 2 ……………………………4 分 ? 1 ? ? sin(2 x ? ) ? 6 2

?

单调递增区间是 ?k? ? (2)?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) …………………………..6 分 3 ? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 ………………………………………………………….8 分 2 6 1 ? ? ? f ( x) ? 0 2 ?

5? 6

? 1 ? ? 函数 f(x)的值域是 ?? ,0? ………………………………………………..12 分 ? 2 ?
17、解: (1)

f (?1) ? 0 ? a ? b ? 1 ? 0即b ? a ? 1



f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ? 0对x ? R恒成立(a ? 0)

则 ? b2 ? 4ac ? 0即(a ? 1)2 ? 4a ? 0 ?(a ? 1 2 )? 即 0a? 1 从而b ? 2 ? f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1
(2)由()得 1 g ( x) ? f ( x) ? kx ? x2 ? (2 ? k ) x ? 1

4分

由题意g ( x)在[-2,2]上是单调函数则只须

k ?2 k ?2 ? 2或 ? ?2 2 2

解得k ? 6或k ? ?2
(3)

8分

g ( x) ? x2 ? (2 ? k ) x ?1 ? 0对x ?[1, 2]恒成立

? g (1) ? 0 9 则? 解得:k ? 2 ? g (2) ? 0
18、

12分

证明()连 1 BD交AC于O点,连OE ABCD为菱形?O为BD的中点 又E为PD的中点,则OE / / PB 又PB ? 面AEC OE ? 面AEC ? PB / /面AEC
(2)连结 PO , B C P E A D

4分

ABCD为菱形?O为BD的中点
? BD ? AC
又? PA ? 面ABCD

PA ? BD

? BD ? 面PAC ?BPO为PB与面PAC所成的角????????????.8 分
PA ? AB ? 1 在 RT?PAB中,

? PB= 2
在菱形 ABCD 中, ?ABC ?

?
3

, AB ? 1

? BO ?

3 2 6 ?????????????.12 分 4

? sin ?BPO ?

19、解: (I)证明

bn?1 ? bn ?

2

2an?1 ? 1 2an ? 1

?

2

?

2 ? 1 2? ?1 ? 4a n ?

2an ? 1 ? ? ? 1 ? ?

?

2

?

4an 2 ? ? 2 ?4 分 2an ? 1 2an ? 1

所以数列 ?bn ? 是等差数列, a1 ? 1, b1 ? 2 ,因此

bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,
由 bn ?

2 2a n ? 1

得 an ?

n ?1 . ??????????????????????.6 分 2n

(II) c n ?

2 4 ] ? ?1 , cn cn? 2 ? ? 2? ? ?, n n?n ? 2? ?n n? 2?

所以 Tn ? 2?1 ?

? ?

1 1 1 ? ? ? ? ? 3 ,??????????????????10 分 2 n ?1 n ? 2 ?
m(m ? 1) 1 * ? 3, 对于 n ? N 恒成立,只需 4 c m c m ?1

依题意要使 Tn ?

解得 m ? 3 或 m ? ?4 ,所以 m 的最小值为 3 ????????????????13 分

20. 解析: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v ? x ? ? 60 ;当 20 ? x ? 200 时,设 v ? x ? ? ax ? b ,

1 ? a?? ? ?200a ? b ? 0 ? 3 显然 v ? x ? ? ax ? b 在 ? 20, 200? 是减函数,由已知得 ? , ,解得 ? ?20a ? b ? 60 ?b ? 200 , ? 3 ?

故函数 v ? x ? 的表达式为 v ? x ? = ? 1

? ?

60,

0 ? x ? 20
……………………………6 分

? ?3

? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200,

0 ? x ? 20 ? 60 x, ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ? x ? ? ? 1 …………………8 分 x 200 ? x , 20 ? x ? 200, ? ? ? ?3
当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;

1 1 ? x ? ? 200 ? x ? ? 10000 当 20 ? x ? 200 时, f ? x ? ? x ? 200 ? x ? ? ? , ? ? 3 3? 2 3 ?
2

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立.

10000 .………………….12 分 3 10000 ? 3333. , 综上,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?0,200? 上取得最大值 3
所以,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ? 20, 200? 上取得最大值 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大, 最大值约为 3333 辆/小时………………………………………………………………...13 分

21.解: (1) f '( x) ? 3x ? 2ax ? 3
2

? f ( x) 在[1,+ ? )单增 ? f ' ( x) 在[1,+ ? )上恒有 a ? 1, 且 f ' ( x) ? 0, 即 3x 2 ? 2ax ? 3 ? 0 在 [ 1 , + ? ) 上 恒 成 立 , 则 必 有 3 f ' (1) ? ?2a ? 0,? a ? 0 ???????????????4 分 1 1 2 3 2 (2) f ' ( ? ) ? 0 ,即 ? a ? 3 ? 0,? a ? 4,? f ( x) ? x ? 4 x ? 3x 令 3 3 3 1 f '( x) ? 3x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 ? x1 ? ? , x2 ? 3 ,则 3
x 1 (1,3) _ -6 3 0 -18 (3,4) + -12 4

f '( x) f ( x)

? f ( x) 在[1,4]上最大值 f (1) ? ?6 ????????????8 分
(3)函数 g ( x ) ? hx 的图象与 f ( n) 图象恰有 3 个交点,即 x ? 4 x ? 3x ? bx 恰有 3 个不等实根
3 2

? x 3 ? 4 x 2 ? 3x ? bx ? 0 ,其中 x ? 0 是其中一个根 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? b ? 0 ,有两个不等零的不等实根. ? ? 16 ? 4(3 ? b) ? 0, ? b ? ?7 且 b ? ?3 ??????????? 13 分 ∴
?3 ? b ? 0


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