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椭圆及标准方程--公开课教案


椭圆的标准方程及几何性质
三明二中 孙闽宁 2013 12 5 三维目标: 知识与技能:掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质. 过程与方法:掌握用待定系数法求方程的方法;数形结合的思想、等价转化的思想以及分类讨论 的思想在解题时的运用. 情感态度、价值观:培养学生交流的意识和团队协作的精神;培养学生克服困难的信心和不屈不挠 的意志. 教学重点:椭圆的概念及性质. 教

学难点:1.求椭圆方程时,椭圆方程形式的选择. 2.椭圆几何性质的应用. 教法分析和学法指导:学习是一种有意义的活动、是一种合作活动同时也是一种体验。因此,教师 教学方法选择如何?是否有利于创设一种有趣、生动、活泼的课堂教学气氛,会直接关系到学生 接受知识的过程是主动还是被动。在本课的教学设计中,主要采用探究式教学方法,即“问题诱 导-启发讨论-探索结果”以及“直观观察-归纳抽象-总结规律”的一种探究式教学方法,注 重“引、思、探、练”的结合。引导学生学习方式发生转变,采用激发兴趣、主动参与、积极体 验、自主探究的学习,形成师生互动的教学氛围。在学习方法上,指导学生:通过利用圆的标准 方程的推导过程,从而启发椭圆的标准方程的推导,让学生体会到类比思想的应用;通过利用椭 圆定义探索椭圆方程的过程,指导学生进一步理解数形结合思想,产生主动运用的意识;通过揭 示由于椭圆位置的不确定所引起的分类讨论,进行分类讨论思想运用的指导;通过解题思路的脉 络分析,对学生进行解题思路的指导;通过对学生发言的点评,规范语言表达,指导学生进行交 流和讨论。 1.椭圆的定义 (1) 平面内与两定点 F1,F2 的距离 做椭圆的 , 等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫

之间的距离叫做焦距.

用符号语言表示为: | MF 2 |? 2a 1 | ? | MF 注:①当 2a=|F1F2|时,P 点的轨迹是 . ②当 2a<|F1F2|时,P 点的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程 (1) 焦点在 x 轴上,中心在原点的椭圆标准方程是: (2) 焦点在 y 轴上,中心在原点的椭圆标准方程是: 3.椭圆的性质

.. .

标准方程

x2 y2 a2+b2=1 (a>b>0)

y2 x2 a2+b2=1 (a>b>0)





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-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

性 质

对称性 顶点 轴 焦距

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e= ∈(0,1) a c2=a2-b2

性 质

离心率 a,b,c 关系

4.例题精析 考点一:椭圆的定义及标准方程 1 例 1、已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心率是 ,焦距是 8,则该椭圆的方程 2 为______________________ 注意:用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,不能确定焦点的位置时,可进 行分类讨论或把椭圆的方程设为 mx2+ny2=1(m>0,n>0).

x2 例 2、已知△ ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3 外一个焦点在 BC 边上,则△ ABC 是周长是 _________.

变式训练: 1? 1、 (1)坐标轴为对称轴,且经过两点 A(2,0)、B? ? 3,2?的椭圆的标准方程是________. (2)经过(3,-2)点且与椭圆 4x2+9y2=36 有共同焦点的椭圆的标准方程是________. 2、 在△ ABC 中,点 B(-12,0) ,C(12,0) ,且 AC、AB 边上的中线长之和等于 39,则△ ABC 的重 心的轨迹方程为

x2 y2 3、 已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆 C 上一点,且 PF 1 ? PF 2 , a b 若△ PF1F2 的面积为 9,则 b=________

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焦点三角形应注意以下关系: (1) 定义: r1 ? r2 ? 2a (2) 余弦定理: (2c) 2 ? r12 ? r22 ? 2 ? r1 ? r2 ? cos? (3) 面积: S ?F1PF2 ?

1 r1 ? r2 ? sin ? 2 (其中 P( x0 , y0 ) 为椭圆上一点, | PF 1 |? r 1 , | PF 2 |? r2 , ?F 1 PF 2 ?? )

考点二:椭圆的几何性质

x2 y2 1 例 3、(1)如果椭圆 ? ? 1 的离心率是2,那么实数 k 的值为________. 8? k 9 2 2 a2 x y (2)椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦距为 2c,以 O 为圆心,a 为半径作圆 M,若过点 P ( ,0) 所作圆 a b c
M 的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为________. [思路] (1)分椭圆的焦点在 x 轴或在 y 轴两种情况讨论.(2)通过相切关系和几何图形得出 a、c 之 间的关系.

x2 y2 例 4、如图,F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是 a b 椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60° . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值.

(离心率求法:求椭圆的离心率(或范围)时,一般是依据题设得出一个关于 a、b、c 的等式(或不 等式),利用 a2=b2+c2 消去 b,即可求得离心率或离心率的范围.) 变式训练: x2 y2 1、椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左右顶点分别是 A、B,左右焦点分别是 F1、F2,,若| AF1|、 a b | F1F2|、| F1B |成等比数列,则该椭圆的离心率是________. x2 y2 2、椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB 是以角 B 为直角的 a b 直角三角形,则椭圆的离心率 e = _______. 3、设斜率为 2 x2 y 2 的直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)交于不同的两点,且这两个交点在 x 轴上的射 2 a b

影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为
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备选题:1.已知 F1、F2 为椭圆 (1)求|PF1|· |PF2|的最大值;

x2 y2 + =1(0<b<10)的左、右焦点,P 是椭圆上一点. 100 b2

64 3 (2)若∠F1PF2=60° 且△F1PF2 的面积为 ,求 b 的值. 3

5. 规律总结 方法提炼 1.求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法,有时还可以根据条件用代入法. 2.有关椭圆范围的不等式-a≤x≤a、-b≤y≤b,在求一些量的范围或最值时,是不可忽略的前提条 件. 3.求椭圆的离心率,应将 e 用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于 e 的等 式或不等式,从而求得 e 的值或取值范围. a、b、c、e 的关系: e ?
2

c2 a2 ? b2 b2 b ? ? 1 ? ,? ? 1 ? e 2 e 2 2 2 a a a a

6. 作业布置: 《世纪金榜》 7.板书设计

椭圆的标准方程及几何性质 1.椭圆的定义: 例题: 2.标准方程 (1)焦点在 x 轴上 (2)焦点在 y 轴上 3.椭圆的几何性质

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