koorio.com
海量文库 文档专家
相关标签
当前位置:首页 >> 高三数学 >>

数列通项公式的求法大全


数列通项公式的求法
各种数列问题在很多情形下, 就是对数列通项公式的求解。 特别是在一些综合性比较强 的数列问题中, 数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 本文总结出几种求解 数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。

一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法, 这种方法适应于已知数列 类型的题目. 2 例 1.等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S 5 ? a5 .求 数列 ?an ? 的通项公式. 解:设数列 ?an ? 公差为 d (d ? 0)
2 ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 ,

即 (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 8d ) ? d ? a1d
2 2

∵d ? 0,
2 ∵ S 5 ? a5

∴ a1 ? d ????????????① ∴ 5a1 ?

5? 4 ? d ? (a1 ? 4d ) 2 ????② 2

3 3 ,d ? 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5
由①②得: a1 ? 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再 写出通项。

二、公式法
若已知数列的前

n 项 和 S n 与 an 的 关 系 , 求 数 列 ?an ? 的 通 项 an 可 用 公 式

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解。 an ? ? ?Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式。 解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1
当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) ,
n

?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1,

an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ??, a2 ? 2a1 ? 2. ?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ??? 2 ? (?1)n?1
? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3
经验证 a1 ? 1 也满足上式,所以 a n ?

2 n?2 [2 ? (?1) n ?1 ] 3 ?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 点评:利用公式 an ? ? 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若能合 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

写时一定要合并.

三、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解, 通常可以通过递推公式的变换, 转化为等差数列或等 比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型 1 递推公式为 an?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 (2004 全 国 卷 I.22) 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1, 且a2k ? a2k ?1 ? (?1)k , a2k ?1 ? a2k ? 3k , 其 中 ??,求数列 ?an ? 的通项公式。P24(styyj) k ? 1, 2, 3, 例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解:由条件知: a n ?1 ? a n ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n
2

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1

分 别 令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上 式 得 (n ? 1) 个 等 式 累 加 之 , 即

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )
1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n
类型 2 (1)递推公式为 an?1 ? f (n)an 解法:把原递推公式转化为

an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

(2004 全国卷 I.15)已知数列{an},满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的 通项

?1 an ? ? ? ___

n ?1 n?2

P24(styyj)

例 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解:由条件知 之,即

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘 ? an n ?1

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n
又? a1 ?

2 2 ,? a n ? 3 3n

(2) .由 an?1 ? f (n)an 和 a1 确定的递推数列 ?an ? 的通项可如下求得: 由已知递推式有 an ? f (n ? 1)an?1 , an?1 ? f (n ? 2)an?2 , ? ? ? , a2 ? f (1)a1 依次向前代 入,得

an ? f (n ? 1) f (n ? 2) ? ? ? f (1)a1 ,
简记为 an ? ( ? f (k ))a1
k ?1 n?1

(n ? 1, ? f (k ) ? 1) ,这就是叠(迭)代法的基本模式。
k ?1

0

(3)递推式: an?1 ? pan ? f ?n? 解法:只需构造数列 ?bn ? ,消去 f ?n ? 带来的差异. 例 5.设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .

解:设 bn ? an ? An ? B, 则an ? bn ? An ? B ,将 a n , a n ?1 代入递推式,得

bn ? An ? B ? 3?bn?1 ? A(n ?1) ? B? ? 2n ?1 ? 3bn?1 ? (3A ? 2)n ? (3B ? 3A ? 1)
? ? A ? 3A ? 2 ?? ? ? ? B ? 3B ? 3 A ? 1

?A ? 1 ? ?B ? 1

? 取bn ? an ? n ? 1 ?(1)则 bn ? 3bn?1 ,又 b1 ? 6 ,故 bn ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n
代入(1)得 an ? 2 ? 3n ? n ? 1 说明: (1) 若 f ( n) 为 n 的二次式, 则可设 bn ? an ? An2 ? Bn ? C ;(2) 本题也可由 an ? 3an?1 ? 2n ? 1 , an?1 ? 3an?2 ? 2(n ? 1) ? 1( n ? 3 ) 两 式相减得 an ? an ?1 ? 3(an ?1 ? an ? 2 ) ? 2 转 化为 bn ? pbn?1 ? q 求

之. 例 6.已知 a1 ? 3 , a n ?1 ? 解: a n ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 ? ? ???? ? a1 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2
3n ? 4 3n ? 7 5 2 6 ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 1 3n ? 4 8 5 3n ? 1 。

?

类型 3 递推公式为 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) ) 。 解法:把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 比数列求解。 (2006. 重庆 .14 )在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的 通项 an ?
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

q ,再利用换元法转化为等 1? p

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

P24(styyj)

例 7. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 解:设递推公式 an?1 ? 2an ? 3 可以转化为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 . 故递推公式为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,令 bn ? an ? 3 , 则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且

bn?1 an?1 ? 3 ? ?2. bn an ? 3

所 以 ?bn ? 是 以 b1 ? 4 为 首 项 , 2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 , 所 以

an ? 2n?1 ? 3 .
类型 4 递推公式为 an?1 ? pan ? q n(其中 p, q 均为常数, 。 ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) (或

an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r 均为常数)
(2006 全国 I.22) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ;

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3
P25(styyj)
n ?1

解法:该类型较类型 3 要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以 q

,得:

an?1 p an 1 ? ? ? q n?1 q q n q

引入辅助数列 ?bn ? (其中 bn ? 例 8. 已知数列 ?an ? 中, a1 ?

an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再应用类型 3 的方法解决。 n q q q

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 1 1 n ?1 2 n n ?1 n ?1 解:在 a n ?1 ? a n ? ( ) 两边乘以 2 得: 2 ? a n ?1 ? (2 ? a n ) ? 1 3 2 3 2 2 n 令 bn ? 2n ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,应用例 7 解法得: bn ? 3 ? 2( ) 3 3
所以 a n ?

bn 1 1 ? 3( ) n ? 2( ) n n 2 3 2

类型 5 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法:先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ,再应用前面类型 3 的方法求解。 ?st ? ?q

(2006.福建.理.22) (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; P26(styyj) 例 9. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ? 解:由 a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

2 1 a n ?1 ? a n 可转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 3 3

即 an ? 2

2 ? 1 s ? t ? ?s ? 1 ? ? ? ? ?s ? ? 3 ? (s ? t )an?1 ? stan ? ? ?? 3 1或? 1 t ? ? ?st ? ? ? ? t ? 1 3 ? ? ? 3 ?

?s ? 1 ? 这里不妨选用 ? 1 (当然也可选用 t?? ? 3 ?

1 ? ?s ? ? 3 , 大 家 可 以 试 一 试 ), 则 ? ? ?t ? 1

1 1 a n ? 2 ? a n ?1 ? ? (a n?1 ? an ) ? ?an?1 ? an ?是以首项为 a2 ? a1 ? 1 , 公比为 ? 的等比数列, 3 3 1 n?1 所以 a n ?1 ? a n ? (? ) , 应用类型 1 的方法,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 3

1 1 1 (n ? 1) 个等式累加之,即 a n ? a1 ? (? ) 0 ? (? )1 ? ? ? ? ? ? ? ?(? ) n?2 ? 3 3 3 7 3 1 n?1 ? (? ) 。 4 4 3 类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) )
又? a1 ? 1 ,所以 a n ? 解法:利用 an ? ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

1 1 ? (? ) n?1 3 1 1? 3

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 进行求解。 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

(2006.陕西.20) (本小题满分 12 分) 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an} 的通项 an P24(styyj)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

例 10. 已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.

(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an . 解: (1)由 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

得: S n ?1 ? 4 ? a n ?1 ?

1 2 n ?1

于是 S n ?1 ? S n ? (a n ? a n ?1 ) ? ( 所以 a n ?1 ? a n ? a n ?1 ?

1 2
n?2

1 ? a n ?1 2 n?1

) 2 n ?1 1 1 ? an ? n . 2 2
n ?1

?

1

(2)应用类型 4 的方法,上式两边同乘以 2 由 a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?
1? 2

得: 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2

1 ? a1 ? 1 .于是数列 2 n an 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列, 2 n 所以 2n an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ? a n ? n ?1 2
类型 7 双数列型 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例 11. 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1 ; 数 列 ?bn ? 中 , b1 ? 0 。 当 n ? 2 时 ,

?

?

1 1 a n ? ( 2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? ( a n ?1 ? 2bn ?1 ) ,求 an , bn . 3 3 1 1 解:因 an ? bn ? (2a n ?1 ? bn ?1 ) ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) ? an?1 ? bn?1 3 3
所以 an ? bn ? an?1 ? bn?1 ? an?2 ? bn?2 ? ? ? ? ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ? 1 即 an ? bn ? 1 ????????????????(1) 又因为 an ? bn ?

1 1 1 (2a n ?1 ? bn ?1 ) ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) ? (a n ?1 ? bn ?1 ) 3 3 3

1 1 1 (a n ?1 ? bn ?1 ) ? ( ) 2 a n ? 2 ? bn ? 2 ) ? ?? ? ( ) n ?1 ( a1 ? b1 ) 3 3 3 1 n ?1 1 n ?1 ? ( ) .即 an ? bn ? ? ( ) ?????????(2) 3 3 1 1 n ?1 1 1 n ?1 由(1) 、 (2)得: a n ? [1 ? ( ) ] , bn ? [1 ? ( ) ] 2 3 2 3 四、待定系数法(构造法)
所以 an ? bn ? 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、 推理能力要求较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这 种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想, 而运用待定系数法变换递推式中的常数就是 一种重要的转化方法。 1、通过分解常数,可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地,形如 a n?1 =p a n +q(p ≠1,pq≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常数 q 分解法:设 a n?1 +k=p(a n +k)与原 式比较系数可得 pk-k=q,即 k=

q ,从而得等比数列{a n +k}。 p ?1

1 a n?1 +1(n≥2) ,求数列{a n }的通项公式。 2 1 1 解:由 a n = a n?1 +1(n≥2)得 a n -2= (a n?1 -2) ,而 a 1 -2=1-2=-1, 2 2 1 ∴数列{ a n -2}是以 为公比,-1 为首项的等比数列 2 1 n ?1 1 n ?1 ∴a n -2=-( ) ∴a n =2-( ) 2 2
例 12、数列{a n }满足 a 1 =1,a n = 说明:这个题目通过对常数 1 的分解,进行适当组合,可得等比数列{ a n -2},从而达到解 决问题的目的。 例 13、数列{a n }满足 a 1 =1, 3an?1 ? an ? 7 ? 0 ,求数列{a n }的通项公式。

7 3 7 1 k 7 设 a n ?1 ? k ? ? ( a n ? k ) ,比较系数得 ? k ? ? 解得 k ? ? 4 3 3 3 7 1 7 7 3 ∴{ a n ? }是以 ? 为公比,以 a1 ? ? 1 ? ? ? 为首项的等比数列 4 3 4 4 4 7 3 1 n ?1 7 3 1 n ?1 ∴ a n ? ? ? ? (? ) ? a n ? ? ? (? ) 4 4 3 4 4 3 例 14.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求 an .
解:由 3an?1 ? an ? 7 ? 0 得 a n ?1 ? ? a n ? 解:设 an?1 ? t ? 3(an ? t ) ,则 an?1 ? 3an ? 2t ? t ? 1 ,

1 3

an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) ? ?an ? 1? 是 以 (a1 ? 1) 为 首 项 , 以 3 为 公 比 的 等 比 数 列

? an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? an ? 2 ? 3n?1 ?1

点评:求递推式形如 an?1 ? pan ? q (p、q 为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系 数法构造新数列 an?1 ?

q q ? p(a n ? ) 来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求, p ?1 1? p

这也是近年高考考得很多的一种题型. 例 15.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 3n ? 2an?1 (n ? 2) ,求 an .

an 2a ?1 an 2 a n ?1 ? 1? n ? 1? ? n n n 3 3n ?1 3 3 3 an 2 2 2 1 设 bn ? n ,则 bn ? 1 ? bn ?1 .令 bn ? t ? (bn ?1 ? t ) ? bn ? bn ?1 ? t 3 3 3 3 3 a 2 8 条件可化成 bn ? 3 ? (bn ?1 ? 3) , 数列 ?bn ? 3?是以 b1 ? 3 ? 1 ? 3 ? ? 为首项, ?t ? 3. 3 3 3 an 2 8 2 n ?1 为公比的等比数列. bn ? 3 ? ? ? ( ) .因 bn ? n , 3 3 3 3 8 2 ? a n ? bn 3n ? 3n (? ? ( ) n ?1 ? 3) ? an ? 3n?1 ? 2n?2 . 3 3 n ?1 点评:递推式为 an?1 ? pan ? q n?1 (p、q 为常数)时,可同除 q ,得 an?1 p an a 从而化归为 an?1 ? pan ? q (p、q 为常数)型. ? ? n ? 1 ,令 bn ? n n ?1 q q q qn
解:将 an ? 3n ? 2an?1 两边同除 3n ,得 2 、 通 过 分 解 系 数 , 可 转 化 为 特 殊 数 列 {an ? an?1} 的 形 式 求 解 。 这 种 方 法 适 用 于

an?2 ? pan?1 ? qan 型的递推式,通过对系数 p 的分解,可得等比数列 {an ? an?1} :设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较系数得 h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h, k 。
( 2006. 福 建 . 文 .22 )( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列

?an ?

满 足

a1 ? 1 , a2?

3n?a , ? 2

? n

a 3 ?

1

n

? 2 a

*

n (

N ) .

(I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式; 例 16、数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 5, an?2 ? 3an?1 ? 2 an =0,求数列{a n }的通项公式。 分析:递推式 an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 0 中含相邻三项,因而考虑每相邻两项的组合,即把中 间一项 a n ?1 的系数分解成 1 和 2,适当组合,可发现一个等比数列 {an ? an?1} 。 解:由 an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 0 得 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? 0 即 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an) ,且 a2 ? a1 ? 5 ? 2 ? 3

∴ {an?1 ? an } 是以 2 为公比,3 为首项的等比数列 ∴ an?1 ? an ? 3 ? 2 n?1 利用逐差法可得 an?1 ? (an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 = 3 ? 2 n?1 ? 3 ? 2 n?2 ? ? ? 3 ? 20 ? 2 = 3 ? (2 n?1 ? 2 n?2 ? ? ? 2 ? 1) ? 2 =3?

1 ? 2n ?2 1? 2

= 3 ? 2n ? 1 ∴ an ? 3 ? 2n?1 ? 1 例 17、数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2,3an?2 ? 2an?1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公式。

2 1 a n ?1 ? a n , 设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) 3 3 1 1 2 1 ? kh ? ,解得 k ? 1, h ? ? 或 k ? ? , h ? 1 比较系数得 k ? h ? , 3 3 3 3 1 1 若取 k ? 1, h ? ? ,则有 a n ? 2 ? a n ?1 ? ? ( a n ?1 ? a n ) 3 3 1 ∴ {an?1 ? an } 是以 ? 为公比,以 a2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 1为首项的等比数列 3 1 n ?1 ∴ a n ?1 ? a n ? (? ) 3
解:由 3an?2 ? 2an?1 ? an 得 a n ? 2 ? 由逐差法可得 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
n?2 ? ( ? ) n ?3 ? ? ? ( ? ) 2 ? ( ? ) ? 1 ? 1 = (? )

1 3

1 3

1 3

1 3

1 1 ? (? ) n ?1 3? 1 ? 7 3 1 3 = ? 1 = ?1 ? (? ) n?1 ? ? 1 ? ? ? (? ) n?1 1 4? 3 ? 4 4 3 1? 3 1 1 1 说明:若本题中取 k ? ? , h ? 1 ,则有 a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n 即得 3 3 3 1 1 1 1 {a n ?1 ? a n } 为常数列, a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 ? ? ? a 2 ? a1 3 3 3 3 1 7 ? 2 ? ? 故可转化为例 13。 3 3

例 18.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ? 解:设 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) ?

2 1 a n ?1 ? a n 求 an . 3 3

2 ? 1 s?t ? ?s ? 1 ? ? ? ? ?s ? ? 3 an?2 ? (s ? t )an?1 ? stan ? ? ?? 3 1或? t?? ?st ? ? 1 ? ? 3 ?t ? 1 ? ? 3 ? 1 则条件可以化为 a n ? 2 ? a n ?1 ? ? (a n ?1 ? a n ) ? ?an?1 ? an ?是以首项为 a2 ? a1 ? 1 , 公比为 3 1 1 ? 的等比数列,所以 a n ?1 ? a n ? (? ) n?1 .问题转化为利用累加法求数列的通项的问题,解 3 3 7 3 1 n?1 得 a n ? ? (? ) . 4 4 3 点 评 : 递 推 式 为 an?2 ? pan?1 ? qan ( p 、 q 为 常 数 ) 时 , 可 以 设 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) ,其待定常数 s、t 由 s ? t ? p , st ? ?q 求出,从而化归为上述
已知题型.

五、特征根法
1、设已知数列 {an } 的项满足 a1 ? b, an?1 ? can ? d ,其中 c ? 0, c ? 1, 求这个数列的通项公 式 。 作 出 一 个 方 程 x ? cx ? d , 则 当 x0 ? a1 时 , an 为 常 数 列 , 即

an ? a1;当x0 ? a1时, an ? bn ? x0 , 其 中 {bn } 是 以 c 为 公 比 的 等 比 数 列 , 即
bn ? b1c n?1 , b1 ? a1 ? x0 .
例 19.已知数列 {an } 满足: a n ?1 ? ? a n ? 2, n ? N, a1 ? 4, 求 a n .

1 3

1 3 x ? 2, 则x 0 ? ? . 3 2 3 11 当 a1 ? 4 时, a1 ? x0 , b1 ? a1 ? ? . 2 2 1 数 列 {bn } 是 以 ? 为 公 比 的 等 比 数 3 1 11 1 3 3 11 1 bn ? b1 (? ) n?1 ? (? ) n ?1 , an ? ? ? bn ? ? ? (? ) n?1 , n ? N. 3 2 3 2 2 2 3
解:作方程 x ? ?



.





2 、 对 于 由 递 推 公 式 an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ? 给 出 的 数 列 ?an ? , 方 程

x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方程。若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,当 x1 ? x 2 时,
n?1 n?1 数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1 , 其中 A, B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定 (即把 a1 , a2 , x1 , x2 ? Bx2 n?1 n?1 和 n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1 ,得到关于 A、B 的方程组) ;当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? ? Bx2

n?1 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1 ,其中 A , B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和

。 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B 的方程组) 例 20:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a, a2 ? b,3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,求数列

?an ?的通项公式。
解法一(待定系数——迭加法) 由 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0 ,得

a n ? 2 ? a n ?1 ?

2 (a n ?1 ? a n ) , 3

且 a2 ? a1 ? b ? a 。 则数列 ?an?1 ? an ?是以 b ? a 为首项,

2 为公比的等比数列,于是 3

2 a n ?1 ? a n ? (b ? a )( ) n ?1 。把 n ? 1,2,3,? ? ?, n 代入,得 3

a2 ? a1 ? b ? a ,
2 a3 ? a 2 ? (b ? a ) ? ( ) , 3 2 a 4 ? a3 ? (b ? a ) ? ( ) 2 , 3 ??? 2 a n ? a n ?1 ? (b ? a )( ) n ? 2 。 3
把以上各式相加,得

2 2 2 a n ? a1 ? (b ? a)[1 ? ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) n ? 2 ] ? 3 3 3

2 1 ? ( ) n ?1 3 (b ? a) 。 2 1? 3

2 2 ? a n ? [3 ? 3( ) n ?1 ]( b ? a) ? a ? 3(a ? b)( ) n ?1 ? 3b ? 2a 。 3 3
解法二(特征根法) :数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b
2 的特征方程是: 3x ? 5 x ? 2 ? 0 。

? x1 ? 1, x 2 ?

2 , 3

2 n?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。 ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 3
又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) ? 3 ?
n ?1 故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( )

2 3

3、如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有 a n ?1 ? q、r、h 均为常数,且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? 方程有且仅有一根 x0 时,则 ?

pan ? q (其中 p、 ra n ? h

h px ? q ) ,那么,可作特征方程 x ? ,当特征 r rx ? h

?

1 ? ? 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 ?1 、 ?2 时, ? an ? x0 ?

则?

? an ? x1 ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?

(2006.重庆.文.22). (本小题满分 12 分) 数列 {an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 求数列 {an } 的通项公式. 解:由已知,得 an ?1 ?

2x ? 5 1 5 2an ? 5 ,其特征方程为 x ? ,解之,得 x ? 或x ? 16 ? 8 x 2 4 16 ? 8an

1 5 6(an ? ) 12( an ? ) 1 5 2 ,? a ? ? 4 ? an ?1 ? ? n ?1 2 16 ? 8an 4 16 ? 8an

1 1 1 1 an ? an ? a1 ? 1 2? 2 ,? 2? 2 ? ( 1 )n ?1 ? ? 4 ? 5 2 5 5 5 2 2n an ?1 ? an ? an ? a1 ? 4 4 4 4 an ?1 ?
an ? 2n ?1 ? 5 。 P26 (styyj) 2n ? 4

例 21、已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ? 解 : 数列 {an } 的特征方程为 x ?

an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3

x?4 , 变形得 2x 2 ? 2x ? 4 ? 0, 其根为 ?1 ? 1, ?2 ? ?2. 2x ? 3

故特征方程有两个相异的根,使用定理 2 的第(2)部分,则有

cn ?

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 3 ? 1 1 ? 1 ? 2 n?1 ?( ) ? ?( ) , n ? N. a1 ? ?2 p ? ?2 r 3 ? 2 1? 2 ? 2

∴ cn ?

2 1 n ?1 (? ) , n ? N. 5 5

2 1 ? 2 ? (? ) n?1 ? 1 ? c ? ?1 5 5 ∴ an ? 2 n ? , n ? N. 2 1 n?1 cn ? 1 (? ) ? 1 5 5
(?5) n ? 4 即 an ? , n ? N. 2 ? (?5) n
例 22.已知数列 {an } 满足:对于 n ? N, 都有 an?1 ?

13an ? 25 . an ? 3

(1)若 a1 ? 5, 求 a n ; (2)若 a1 ? 3, 求 a n ; (3)若 a1 ? 6, 求 a n ; (4)当 a1 取哪些值时,无穷数列 {an } 不存在?

13 x ? 25 . 变形得 x 2 ? 10x ? 25 ? 0, x?3 特征方程有两个相同的特征根 ? ? 5. 依定理 2 的第(1)部分解答.
解:作特征方程 x ? (1)∵ a1 ? 5,? a1 ? ?. ?对于 n ? N, 都有 an ? ? ? 5; (2)∵ a1 ? 3,? a1 ? ?. ∴ bn ?

1 r ? (n ? 1) a1 ? ? p ? r?

?

1 1 ? (n ? 1) ? 3?5 13 ? 1 ? 5 1 n ?1 ?? ? , 2 8

令 bn ? 0 ,得 n ? 5 .故数列 {an } 从第 5 项开始都不存在, 当 n ≤4, n ? N 时, a n ?

1 5n ? 17 . ?? ? bn n?5

(3)∵ a1 ? 6, ? ? 5, ∴ a1 ? ?. ∴ bn ?

1 r n ?1 ? (n ? 1) ? 1? , n ? N. a1 ? ? p ? ?r 8

令 bn ? 0, 则 n ? ?7 ? n. ∴对于 n ? N, b n ? 0.

∴ an ?

1 ?? ? bn

1 5n ? 43 ?5? , n ? N. n ?1 n?7 1? 8

(4)、显然当 a1 ? ?3 时,数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,

a1 ? 5 时 , 数 列 {an } 是 存 在 的 , 当 a1 ? ? ? 5 时 , 则 有
bn ?
5n ? 13 1 r 1 n ?1 ,n? N ? (n ? 1) ? ? , n ? N. 令 bn ? 0, 则 得 a1 ? n ?1 a1 ? ? p ? ?r a1 ? 5 8

且 n ≥2. ∴当 a1 ?

5n ? 13 (其中 n ? N 且 N≥2)时,数列 {an } 从第 n 项开始便不存在. n ?1 5n ? 13 : n ? N , 且 n ≥2}上取值时,无穷数列 {an } 都不存 于是知:当 a1 在集合 {?3 或 n ?1

在. 说 明 : 形 如 : an ?

m an?1 递 推 式 , 考 虑 函 数 倒 数 关 系 有 k (a n?1 ? b)

1 1 1 1 1 k 1 则 ?bn ? 可归为 an?1 ? pan ? q 型。(取倒 ? k( ? )? ?k? ? 令 bn ? an an?1 m an an a n?1 m
数法) 例 23: an ?

an?1 , a1 ? 1 3 ? an?1 ? 1
1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

解:取倒数:

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?
六、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析,有时会联 想出一种适当的辅助模型,如某种数量关系,某个直观图形,或者某一反例,以此促成命题 转换,产生新的解题方法,这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递 推公式要求出该数列的通项公式, 此类题通常较难, 但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 1、构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然, 对于一些递推数列问题, 若能构造等差数列或等 比数列,无疑是一种行之有效的构造方法. 例 24:
2

an ? 2an ? 4Sn 成立,求 ?an ?的通项 an.

设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对于任意正整数 n,都有等式:

2 解: an ? 2an ? 4Sn ? an?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ,

2

(an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,∵ an ? an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 . 即 ?an ?是以 2 为公差的
2 等差数列,且 a1 ? 2a1 ? 4a1 ? a1 ? 2 .

2 2 ∴ an ? an ?1 ? 2an ? 2an?1 ? 4(S n ? S n?1 ) ? 4an

∴ an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n 例 25: 解 : ∵

数列 ?an ?中前 n 项的和 S n ? 2n ? an ,求数列的通项公式 an .

a1 ? S1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 1



n



2





a n ? S n ? S n ?1 ? 2n ? a n ? ?2(n ? 1) ? a n?1 ? ? ?a n ? 2 ? a n?1 ? a n ? ? an ? 2 ? 1 (a n ?1 ? 2) 2

1 a n?1 ? 1 2

1 bn ?1 ,且 b1 ? 1 ? 2 ? ?1 2 ?bn ? 是以 1 为公比的等比数列, bn ? ?1? ( 1 ) n?1 ? ?( 1 ) n?1 2 2 2 1 n ?1 ∴ an ? 2 ? ( ) . 2
令 bn ? an ? 2 ,则 bn ? 2、构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差, 然后采用迭加的方法就可求得这 一数列的通项公式. 2 2 例 26: 设 ?an ?是首项为 1 的正项数列,且 an (n∈N*) ,求数列 ? an ?1 ? nan ? nan?1 ? 0 , 的通项公式 an. 解:由题设得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? n) ? 0 . ∵ an ? 0 , an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 0 . ∴ an ? an?1 ? n

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?(an ? an?1 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

?an ?中, a1 ? 1, a2 ? 3 ,且 an?2

n(n ? 1) 例 27 : 数 列 2 (n∈N*) ,求通项公式 an . ? (n ? 3)an?1 ? (n ? 2)an ,

解:? an?2 ? an?1 ? (n ? 2)(an?1 ? an ) ? (n ? 2)(n ? 1)(an ? an?1 )

? ? ? (n ? 2)(n ? 1) ?4 ? 3(a2 ? a1 ) ? (n ? 2)!
∴ an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 2!?3!??n!(n∈N*) 3、构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.

1 ,前 n 项的和 Sn ? n 2 an ,求 a n ?1 . 2 解: an ? Sn ? Sn?1 ? n2 an ? (n ?1) 2 an?1 ? (n 2 ?1)an ? (n ?1) 2 an?1 a n ?1 , ? n ? an?1 n ? 1 a a n ?1 n ? 2 1 1 1 a ? ? ? ? ∴ an ? n ? n?1 ? 2 ? a1 ? n ?1 n 3 2 n(n ? 1) an?1 an?2 a1 1 ∴ an?1 ? (n ? 1)(n ? 2)
例 28: 数列 ?an ?中, a1 ?

4、构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.
2 例 29: 设正项数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , an ? 2an an ?的通项公式. ?1 (n≥2).求数列 ?
n 解:两边取对数得: log2n ? 1 ? 2 log2n?1 , log2n ? 1 ? 2(log2n?1 ? 1) ,设 bn ? loga 2 ? 1,

a

a

a

a

则 bn ? 2bn?1

?bn ? 是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log12 ?1 ? 1 .
n ?1

a n?1 n , log2n ? 2n?1 ?1 , bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1 , loga 2 ?1 ? 2

∴ an ? 2 2

?1

7an?1 ? 3 ,求通项公式. 3an?1 ? 1 4an?1 ? 4 1 1 3 解:∵ an ? 1 ? ,两边取倒数得 ? ? . 3an?1 ? 1 an ? 1 an?1 ? 1 4
例 30: 已知数列 ?an ?中, a1 ? 2 ,n≥2 时 an ? 可化为等差数列关系式.

1 1 3 3n ? 1 ? ? (n ? 1) ? an ? 1 a1 ? 1 4 4


推荐相关:

求数列通项公式的十种方法

数列通项公式的十种方法_数学_自然科学_专业资料。总述:求数列通项的方法:累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法...


数列通项公式常见求法

数列通项公式的常见求法数列在高中数学中占有非常重要的地位, 每年高考都会出现有关数列的方面的试题, 一 般分为小题和大题两种题型, 而数列的通项公式的求法...


数列通项公式求法大全(配练习及答案)

数列通项公式求法大全(配练习及答案)_数学_高中教育_教育专区。个人整理,非常全数列通项公式的几种求法注:一道题中往往会同时用到几种方法求解,要学会灵活运用...


数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法 一、公式法: (能判断所给数列是等差数列或者是等比数列) 例 1 已知数列{ EMBED Equation.3 | {an } 满足, ,求数列的通项公式。 ...


史上最全的数列通项公式的求法15种

最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出 数列的一种形式——通项公式,在求...


史上最全的数列通项公式的求法15种

最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出 数列的一种形式——通项公式,在求...


高中数学必修五 数列通项公式常见求法

高中数学必修五 数列通项公式常见求法_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修五 求数列通项公式的方法 1. 叠加法 an?1 ? an ? f (n) ,且 f (1) ? f...


求数列通项公式的十一种方法

数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细) 总述:一.利用递推关系式求数列通项的 11 种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法(逐差法) ...


求数列通项公式的6种方法

数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细) 总述:一.利用递推关系式求数列通项的 7 种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 倒数变换法、 由和...


数列通项公式的十种求法打印了

数列通项公式的十种求法打印了_数学_高中教育_教育专区。...数列通项公式的十种求法 类型 1 an ?1 ? an ? f (n) ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com