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函数三要素及不同类型值域方法求解归纳


函数的三要素
【函数定义域求法】
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得 原函数的定义域。 分式中的分母不为零; 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; 指数式的底数大于零且不等于 1; 0 的 0 次幂没有意义; 对数式的底数大于 0 且不等于 1,真数大于 0。 正

切函数 y ? tan x 余切函数 例1

y ? cot x

?x ? R,且x ? k? , k ? ? ?
例2 求函数

? ? ? ? x ? R,且x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

求函数 y ?

x 2 ? 2x ? 15 的定义域。 | x ? 3 | ?8

y ? 25 ? x 2 ? lg cos x 的定义域。

二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式, 一般有两种情况。 ? 类型一:已知 f ( x ) 的定义域,求 f [g ( x )] 的定义域。

其解法是:已知 f ( x ) 的定义域是[a,b]求 f [g ( x )] 的定义域是解 a

? g( x ) ? b ,即为所求的定义域。

例 1 已知 f ( x ) 的定义域为[-2,2] ,求 f ( x

2

? 1) 的定义域。

?

类型二:已知 f [g ( x )] 的定义域,求 f(x)的定义域。

其解法是:已知 f [g ( x )] 的定义域是[a,b] ,求 f(x)定义域的方法是:由 a

? x ? b ,求 g(x)的值域,即所求 f(x)的定义域。

例 1 已知 f (2 x

,求 ? 1) 的定义域为[1,2] f(x)的定义域。

三、实际问题型
这里函数的定义域除考虑解析式有意义外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制 例 1 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为 2x,求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式, 并求定义域。

四、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R,求参数范围问题通常是转化为恒成立问题来解 决。

例 1 已知函数 y

? mx 2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。

针对练习:

已知函数 f ( x )

?

kx ? 7 的定义域是 R,求实数 k 的取值范围。 kx ? 4kx ? 3
2

【函数值域求法】
一、直接法(从自变量 x 的范围出发,推出
1

y ? f ( x) 的取值范围)

例 1 求函数

y ? 3 2? x 的值域。

二 对称轴法(是求二次函数值域的基本方法,如 F ( x) ? af 例 1 求函数

2

( x) ? bf ( x) ? c 的函数的值域问题,均可使用对称轴法)

y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。

三、判别式法(把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y)

? 0 ,通过方程有实根,判别式 ? ? 0 ,从而求得原函数的值域,形如

y?

a1 x 2 ? b1 x ? c1 ) a2 x 2 ? b2 x ? c2
x 2 ? x ? 3 的值域 x2 ? x ? 1

例 1 求函数 y ?

四、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法) 例 1 求函数 y ? 1 ? x 的值域。 2x ? 5 例 2 求函数 y ? 1 ? 2 的值域。
x

1 ? 2x

五、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,如

y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、

? 0 )的函数常用此法求解。 sin x ? 3 cos x ? 4 例 1 求函数 y ? 的值域。 cos x ? 2

b 、c、d

均为常数,且 a
2

例 2 求函数

y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。

例 3 函数

y ? x ? 1? x2

的值域

针对练习: y ?

1 sin x
2

?

4 cos2 x

★小结: (1)若题目中含有

a ? 1 ,则可设 a ? sin ? ,?
2

?
2

?? ?

?
2

(或设 a ? cos ? ,0 ? ? ? ? )
,其中 0 ? ?

(2)若题目中含有 a

? b2 ? 1

则可设 a

? cos? , b ? sin ?
,其中 0

? 2?

(3)若题目中含有

1? x2

,则可设 x

? cos ?

?? ??

(4)若题目中含有

1? x2

,则可设 x

? tan ? ,其中 ? ? ? ? ? ?
2

2

(5)若题目中含有 x ?

y ? r ( x ? 0, y ? 0, r ? 0) ,则可设 x ? r cos2 ? , y ? r sin 2 ? 其中 ? ? ? 0 , ? ? ? ?
? 2?

六、函数的单调性法(确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域,形如求函数 的值域( 0 ? 例 1 求函数

y ? x?

k ?k ? 0? x

x? k

时为减函数;

x? k

时为增函数) )

y ? x ? 1 ? 2x 的值域。

例 2 求函数 y = 2

x?5

? log3 x ?1

(2 ? x ? 10)的值域

针对练习:求函数 y=

x ? 1 - x ? 1 的值域。

七、数型结合法(函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法) 例 1 求函数

y ? x ? 1 ? x ? 1 的值域。

例2

求函数 y= x2 ? 6x ? 13 ? x2 ? 4x ? 5 的值域

例 3 求函数

y?

sin x ? 2 的值域 cos x ? 1

针对训练:.已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求(1) y 的最大值和最小值; (2)y-x 的最小值; (3)x2+y2
x

的最大值和最小值

【函数解析式求法】
★ 知识点拨: 求解析式常见的方法有:待定系数法、换元法、配凑法、奇偶法、消元法(也叫方程组法)等。

一、待定系数法: 特征:已知函数类型; 对策:设出表达式,由已知列方程,从而解出待定系数。 例 1 设二次函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且

f (x) =0 的两实根平方和为 10,图象过点(0,3),求 f (x) 的解析式

二、 换元法: 特征:当自变量很复杂的时候,换成新元 t,并能解出 x 例2若 f( )?

? f (t )

对策:解出 x

? f (t ) 代入原来的表达式

1 x

x ,求 f (x ) . 1? x

三、 配凑法: 特征:当 f 或 ? x ? 1 ? 充当函数自变量的时候 ? ?

?

x?

对策:通常用用一些等价变形公式构造相同的形式,以便换元求出表达式 例 3 已知

1 1 f ( x ? ) ? x 3 ? 3 ,求 f ( x) x x

针对练习:已知 f ( x ? 1 ) ? x 2 ? 1 , 求 x x2

f (x) 的解析式.

四、 函数性质法:
2 例 4 若 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? ? x ? 1,求当 x ? [1, 3] 时, f ( x ) 的解析式。

例 5 已知函数 f ( x ) 是定义在 [?6, 6] 上的奇函数,它在 [0, 3] 上是一次函数,在 [3, 6] 上是二次函数,且当 x ?[3,6] 时, f ( x) ? f (5)? 3, f (6) ? 2 ,求 f ( x ) 的解析式。

五、 消元法(也叫方程组法) : 特征:已知一个方程两个未知量的时候 对策:再构造出来一个方程包含原来方程的两个变量,解方程组就能求出表达式 例 7、已知 f(x)满足 2 f

1 ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f (x) x

不同函数类型值域求解方法归纳
题型一:二次函数的值域: 配方法(图象对称轴) 例1. 求

f ( x) ? x 2 ? ax ? 6 的值域

解答:配方法:

a? a2 a2 ? f ( x) ? x ? ax ? 6 ? ? x ? ? ? 6 ? ?6? 2? 4 4 ?
2

2

? ? a2 , ?? ? 所以值域为 ?6 ? 4 ? ?
例2. 求

1? f ( x) ? x 2 ? x ? 6 在 ?? 1,上的值域
2 2

1 ? 23 ? 解答:函数图像法: f ( x) ? x ? x ? 6 ? ? x ? ? ? 2? 4 ? 1 23 2 画出函数的图像可知, f ( x) ? x ? x ? 6 在 x ? 时取到最小值 ,而在 2 4
? 23 ? 8 x ? ?1 时取到最大值 8,可得值域为 ? ,? 。 ?4 ?
例3. 求

1? f ( x) ? x 2 ? ax ? 6 在 ?? 1,上的值域

解答:由函数的图像可知,函数的最值跟 a 的取值有关,所以进行分类讨论: ① 当a

? ?2 时,对称轴在 x ? ?1 的左侧,所以根据图像可知,

f max ? f (1) ? 7 ? a , f min ? f (?1) ? 7 ? a , 此时值域为 ?7 ? a,? a ? . 7
② 当?2 ? a

? 0 时,对称轴在 x ? ?1 与 y 轴之间,所以根据图像可知,

f max ? f (1) ? 7 ? a , f min

? a2 ? a a2 7 ? f ( ) ? 6 ? ,此时值域为 ?6 ? ,? a ? . 4 2 4 ? ?

6

③ 当0

? a ? 2 时,对称轴在 y 轴与 x ? 1 之间,所以根据图像可知,

f max ? f (?1) ? 7 ? a , f min

a a2 ? f( ) ?6? , 2 4

? a2 ? 6 ? ,? a ? 7 所以此时值域为 ? 4 ? ?
④ 当2

? a 时,对称轴在 x ? 1 的右侧,所以根据图像可知,

f max ? f (1) ? 7 ? a , f min ? f (?1) ? 7 ? a
所以此时的值域为

?7 ? a,? a ? 7

题型二:指数、对数函数的值域: 采用换元法
例4. 求

f ( x) ? log2 x 2 ? 2x ? 6 的值域
? x 2 ? 2 x ? 6 ,则由例 1 可知, t ? ?5,???

?

?

解答:复合形式用换元:令 t

根据单调性,可求出 log2 t 的值域为 例5. 求

?log2 5,???
x

f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ? 6 的值域
x

?0,??? 2 则原函数变为 t ? 2t ? 6 ,可以根据二次函数值域的求法得到值域为 ?6,???
解答:因为 4

? 2x

? ? ,所以,采用换元法,令 t ? 2
2

,则 t ?

题型三:分式函数的值域
分式函数的值域方法:(1)
分离变量(常数)法;(2) 反函数法(中间变量有界

法);(3) 数形结合(解析几何法:求斜率);(4) 判别式法(定义域无限制为 R);

例6. 求函数

f ( x) ?

2x ? 3 的值域 x ?1

解法一:分离变量法。将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元,令

7

t ? x ? 1 ,原函数变为

2t ? 1 1 ? 2 ? ,由反比例函数的性质可知,值域为 t t

?? ?,2? ? ?2,???
解法二:反函数法。利用原函数的值域就是反函数的定义域,来求值域。令

y ? f ( x) ?

3? y 2x ? 3 ,则 yx ? y ? 2 x ? 3 ,得到 x ? ,可知 y ? 2 y?2 x ?1

解法三:解析几何法。考虑数形结合,联想到分式

y1 ? y2 表示两点间连线的斜 x1 ? x2

率, 则讲原函数写为 其中

2 x ? ?? 3? , 可以看成是 ?? 1,?3?, ?x,2 x ? 两点连线的斜率, x ? ?? 1?

?x,2x? 是动点,构成 y ? 2 x 直线轨迹,则连线必须与 y ? 2 x 相交,所以
f ( x) ? 2x ? 3 1? 在 ?0, 的值域 x ?1
? x ? 1 , t ? ?1,2?,原函数变为

连线斜率不能是 2,得到值域。 例7. 求函数

解法一:分离变量之后采用函数图像法。令 t

1 2t ? 1 1 ? 2 ? ,可以画出 2 ? 的图像,或者根据单调性直接可以得到值域为 t t t

?5 ? 3? ?2, ? ?
解法二:反函数法。将 x

?

3? y 3? y ? 1 不等式,可 1? 代入 ?0, 中,求解 0 ? y?2 y?2

以得到值域范围 ?

?5 ? ,。 3 ?2 ? ?
2 x ? ?? 3? ,可以看成是 ?? 1,?3?, ?x,2 x ? 两点连线的斜 x ? ?? 1?

解法三:解析几何法。 率,其中

?x,2x? 是动点,不再构成直线,而是构成 y ? 2 x 在 ?0,区间的线段, 1?
?5 ? , 3 2 ? ? ?

画出图像后观察可得斜率的范围为 ?

8

x 2 ? 3x ? 3 例8. 求函数 f ( x) ? 的值域 x ?1
t2 ? t ?1 1 ? t ? ?1 解法一:分离变量法,令 t ? x ? 1 ,原函数变为 t t
1 1 t ? 0, t ? ? 2 ,当 t ? 0, t ? ? ?2 ,可以得到原函数 由均值不等式可知当 t t
的值域为

?? ?,?1? ? ?3,???

x 2 ? 3x ? 3 2 解法二:判别式法。令 y ? f ( x) ? ,则 yx ? y ? x ? 3x ? 3 , x ?1
整理得关于 x 的一元二次方程 x 方程的判别式 ? ?
2

? ?3 ? y ?x ? 3 ? y ? 0 ,满足方程有解,该

?3 ? y?2 ? 4?3 ? y? ? 0 可得 y ? ?1或y ? 3 ,即函数的值 域为 ?? ?,?1? ? ?3,???
x 2 ? 3x ? 3 x 2 ? 3x ? 3 ? 0 ? 解法三:解析几何法。 f ( x) ? ,可以看成是 x ?1 x ? (?1)
两点

?

?

?x, x

2

? 3x ? 3 , ?? 1,0? 之间连线的斜率,而 x, x 2 ? 3x ? 3 是动点,恰

?

?

?

好构成

y ? x 2 ? 3x ? 3 的轨迹,由图像可以看出,连线斜率范围为函数值域。

x 2 ? 3x ? 3 1? 例9. 求函数 f ( x) ? 在 ?0, 的值域 x ?1
解答:此题限制了定义域,导致判别式法失效,采用分离变量法,画出函数图 像来求函数的值域。

t2 ? t ?1 1 ? t ? ? 1 画对勾函数图像, 1 令 t ? x ? 1 , t ? ? ,2?,原函数变为 t t
1 ? 5? ? 7? t ? 的值域范围是 ?2, ? ,则函数的值域为 ?3, ? 可得 t ? 2? ? 2?

题型四:三角函数的值域
求三角函数的值域方法: (1)二次换元配方; (2)三角函数有界性; (3)数形结合(单位圆求斜率) 。

9

例:求函数

f ( x) ? 3sinx ? 4cosx ? 2 的值域

解答:使用辅助角公式, 知函数的值域为 例10. 求函数

f ( x) ? 3sinx ? 4cosx ? 2 ? 5 sin?x ? ? ? ? 2 ,可

?3,? 7

f ( x) ? 3sin2x ? 4cos2 x ? 2 的值域

解答:先化简, 再转为一次三角 函数后使用辅助 角公式,

f ( x) ? 3sin2x ? 4cos2 x ? 2 ? 3 sin 2x ? 2 cos2x ? 2 ? 2 ? 13 sin?2x ? ? ? ? 4
可知函数的值域为 例11. 求函数

?4 ?

13 4 ? 13 ,

?

f ( x) ? cos2x ? 4cosx ? 2 的值域

解答:先化为同角的三角函数,再换元为二次函数求解值域。

f ( x) ? cos2x ? 4cosx ? 2 ? 2 cos2 x ? 1 ? 4 cos x ? 2 ? 2 cos2 x ? 4 cos x ? 1
令t

? cos x, t ? ?? 1,1? ,则原函数化为 2t 2 ? 4t ? 1 ? 2?t ? 1? ? 1,则按前面
2

的例题可得函数的值域为 例12. 求函数

?? 1,? , 3
2

f ( x) ? sin2x ? 2cosx ? 2 sin x 值域

?,则原函数化为 ? t 2? 二次函数的值域求法,可得结果 ?? 1 ? 2, 。
令t

f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2?sin x ? cos x? ? 1 ? ?sin x ? cos? ? 2?sin x ? cos x?
? sin x ? cos x, t ? ? 2, 2

?

2

? 2t ? 1 ,同理,按

注意:用

?sin x ? cos x?2 ? 1 ? 1 ? ?sin x ? cos x?2 sin x cos x ?
2 2
sinx 的值域 cosx ? 3 y?

换元。

例13. 求函数 f ( x) ?

解法一:辅助角公式三角函数有界法。令

sin x ,则可得 c ox ? 3 s

y c o s ? 3y ? s i n , 3y ? s i n ? y c o s x x x x

, 利 用 辅 助 角 公 式 后

10

3 y ? 1 ? y 2 sin ?x ? ? ?,
? 2 2? , ? ?? 可解出值域范围 2 2 ? ?

3y 1? y
2

? sin ?x ? ? ? ,则要求

3y 1? y
2

? 1,

解法二:解析几何法。三角分式也可以看为

??

3,0 , ?c o s , s i nx? 连线的斜率,其中 ?cos x, sin x ? 是动点,构成的轨迹是 x

?

sinx ? 0 ,即两点 cosx ? ? 3

?

?

圆心在原点,半径为 1 的圆,根据图像可知,连线与圆相切时分别取到最大值和

? 2 2? , ? ?? 最小值,可得函数的值域 2 2 ? ?
例14. 求函数

f ( x) ?

sinx ? ? ?? 在 ?? , ? 上的值域 cosx ? 3 ? 2 2 ?

解答:此时无法使用辅助角公式法,只能用解析几何法,动点

?cos x, sin x? 构

? 3 3? ? , ? 成的轨迹为右半圆,这样,可得结果 ? 3 3 ? ?

题型五:绝对值函数的值域:
绝对值函数值域: (1)零点分类讨论法(2)数形结合:利用绝对值几何意义。

例15. 求函数

f ( x) ? x ? 5 ? x ? 1 的值域
? 1 时, f ( x) ? 6 ; x ? ?5 时, f ( x) ? ?6 ; 当

解法一: 零点分类讨论法。 x 当 当?5 ?

6? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? 4 。所以函数的值域为 ?? 6,

解法二:利用绝对值的几何意义,画出数轴,

x ? 5与 x ? 1 分别表示 x 到-5

与 1 的距离,根据数轴图像,可以直接得到值域为

?? 6,? 6

11

例16.求函数

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? x 2 ? 2 x ? 3 的值域

解答:零点分类法将十分麻烦,利用换元法,令 t 原函数化为

? x 2 ? 2 x, t ? ?? 1,??? ,则

t ? t ? 3 ,则根据数轴法,可以得到函数的值域为 ?? 3, 3?

题型六:根式函数的值域
根式函数的值域方法: (1)代数换元法; (2)三角换元法; (3)解析几何法: 距离、切距等。 (3)单调性法。 例17. 求函数

f ( x) ? x ? 1 ? x 的值域 ? 1 ? x , t ? ?0,??? ,则原函数化为 ? t 2 ? t ? 1 ,根据
?5 ? ,?? ? 。 ?4 ?

解法一:换元法,令 t

二次函数值域的求法,可得原函数值域为 ? 解法二:解析几何法,令

y ? 1 ? x , y ? ?0,??? , z ? f ( x) ? x ? y ,可得

y ? ?x ? z , 即 函 数 的 值 可 以 看 成 是 直 线 的 截 距 , 而 直 线 必 须 通 过

y ? 1 ? x , y ? ?0,??? 上的点,画出图像可知相切时截距最小,可得函数的
值域 ?

?5 ? ,?? ? ?4 ?

例18. 求函数

f ( x) ? x ? 1 ? x 的值域

解法一、解法二同上一例题,注意换元时的等价性,结果

?? 1,??? ?? 1,??? ,代

解法三:单调性法,题目中函数为单调递增,根据函数的定义域 入可得函数的值域 例19. 求函数

?? 1,??? 。
的值域

f ( x) ? x ? 1 ? x 2

解法一:三角换元法,令 x

? ? ?? ? sin ? , ? ? ?? , ? ,这样换元既可以保证换元 ? 2 2?

的等价性,同时可以使得开方后的表达式去掉绝对值符号,

12

?? ? x ? 1 ? x 2 ? sin ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin ? ? cos? ? sin ? ? cos? ? 2 sin?? ? ? 4? ?
注意 ?

? ? ?? ? ?? , ? ,画出三角函数图像可得值域为 ? 1, 2 。 ? 2 2?

?

?

解法二:解析几何法,令

y ? 1 ? x 2 , y ? ?0,1? , z ? f ( x) ? x ? y ,可得

y ? ?x ? z , 即 函 数 的 值 可 以 看 成 是 直 线 的 截 距 , 而 直 线 必 须 通 过

?? 1, 2 ?

y ? 1 ? x 2 , y ? ?0,1? ,通过作图可以得到截距的范围,也就是函数的值域

例20. 求函数

f ( x) ? x ? 2 1 ? x 2

的值域

? ? ?? x ? tan? , ? ? ? ? , ? ,这样可以 解法一:三角换元,类似于上一道题,令 ? 2 2?
得到

x ? 2 1 ? x 2 ? t an? ? 2 1 ? t an2 ? ? t an? ?

2 s i n? ? 2 ? , co s? co s?

化为三角分式, 在利用解析几何法将其转化为两点的斜率可以做出图像得到值域 为

? 3,???

解法二:解析几何法,类似于上一道题,令

y ? 1 ? x 2 , y ? ?1,??? ,

z ? f ( x) ? x ? 2 y ,可得 y ?
的 2 倍,而直线必须通过

?x?z ,即函数的值可以看成是直线的截距 2

y ? 1 ? x 2 , y ? ?1,??? 即双曲线的上半支,通过作

图可知相切时取得截距的最小值,得到值域

? 3,???。

?x 1 ? ?x 1 ? ? ?? ? ? ?1 进行换元,令 解法三:对勾换元法,利用 ? ? 2 2x ? ? 2 2x ? ? t 1 t 1 ? t 1 ? 3t 1 x ? ? , t ? ?0,?? ? ,则原函数化为 ? ? 2? ? ? ? ? ,根 2 2t 2 2t ? 2 2t ? 2 2t
据均值不等式可得值域 例21. 求函数

2

2

? 3,???

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 5 ? x 2 ? 6 x ? 25 的值域
13

?x ? 1?2 ? 2 2 ? ?x ? 3?2 ? 4 2 ,利用解析几 何法,类比两点距离公式可以转化为 ? x,0? 到 ?? 1,2?, ?? 3,?4? 两点距离和,作
解答:先配方,可得

f ( x) ?

图在利用两点间线段距离最短可以得到函数值域为

?2 10,???。

2 2 例 22 求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。

解:原函数可变形为:

y ? (x ? 3) 2 ? (0 ? 2) 2 ? (x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2 上式可看成 x 轴上的点 P( x,0) 到两定点 A(3,2), B(?2,?1) 的距离之和,
2 2 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, y min ?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 43 ,

故所求函数的值域为 [ 43,?? ]

2 2 例 23. 求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。
2 2 2 2 解:将函数变形为: y ? (x ? 3) ? (0 ? 2) ? (x ? 2) ? (0 ? 1) 上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0)的距离与定点 B( ?2,1) 到点 P( x,0) 的距离之差。

即: y ?| AP | ? | BP | 由图可知:1) ( 当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时, 如点 P' , 则构成 ?ABP' ,
2 2 根据三角形两边之差小于第三边,有 || AP' | ? | BP' ||?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 26

即: ? 26 ? y ? 26 (2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 || AP | ? | BP ||?| AB |? 26 综上所述,可知函数的值域为: (? 26 , 26 ]

注:由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B 两点在 x 轴的两 侧,而求两距离之差时,则要使 A,B 两点在 x 轴的同侧。 如:例 17 的 A,B 两点坐标分别为: (3,2) ( ?2,?1) ,在 x 轴的同侧;例 18 的 A,B , 两点坐标分别为(3,2) (2,?1) ,在 x 轴的同侧。 ,

题型七:对勾函数: y = ax +

b (a > 0,b > 0,x > 0)的 值域。 x
14

均值不等式法:转化成型如 y = ax +

b (a>0,b>0),利用均值不等式求值域 x

注意:利用均值不等式求最值或求值域时要满足:一正 二定 三相等

例2. x > 2时,求y = 当
2

x2 - 4x + 5 的最小值; 2x - 4
x-2 1 ? =1 2 2 ? x - 2?

解:y =

? x - 2 ? +1 x - 2 1 ?2 = + 2 ? x - 2? 2 2 ? x - 2?

当且仅当

x-2 1 = 时 即x = 3时取“=” 2 2 ? x - 2?
2x 的最大值. x - x +1 1 ? 2 当且仅当x = 时 ?即x = 1? 取“=” x
2

变式:若x > 0,y =

解:y =

2 1 x + -1 x

变式2.求f ? x ? = sinx +

1 ?1 7 ? .? x ? ?0, ?? 的值域. ? , ? π sinx + 5 ?5 6 ?

1 变式3.求f ? x ? = x - .? x ? 1? 的值域.?0,∞? + x

题型七:高次函数、超越复杂函数值域
高次函数、超越复杂函数值域:求导法结合单调性。
例 25: y ? x ? 5 x ? 5 x ? 2 , x ?[?1, 2]
5 4 3

部分练习 求下列函数的值域: 1.

f ( x) ? - x 2 ? 2 x ? 2
x2 ? x f ( x) ? 2 x ? x ?1

;2.

f ( x) ? log1 x 2 ? 4x ? 6
2

?

?

3.

;4.

3x ? 1 f ( x) ? 2 ? 3x ? 1

5.

1 ? 3x f ( x) ? 1 ? 31-x

;6.

f ( x) ?

cos 2x ? 6cosx ? 7 cosx ? 1
15

7. 9. 11.

?? ? f ( x) ? ?sinx ? 2??cos x ? 2? ;8. f ( x) ? 2 cos x ? 2 sin? x ? ? 6? ?
f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? x 2 ? 6 x ? 9 ;10. f ( x) ? 3x ? 4 ? 2 ? x
f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 2 x ;12. f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x
f ( x) ? x ? x 2 ? 1
例析求函数值域的方法

13.

常用的方法有:直接法、配方法、判别式法、基本不等式法、逆求法(反函 数) 、换元法、图象法、利用函数单调性等。 (一)方法讲解 1、求值域的常用方法; (1)观察法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围 (2)单调性法:如果 f ( x) 在 [a, b] 上单调递增,则其值域为 [ f (a), f (b)] ;如果 f ( x) 在
a [a, b] 上单调递减,则其值域为 [ f (b), f (a)] 。如一次函数,形如 y ? x ? (a ? 0) 的函数。 x

t ?d (3) 换元法:形如 y ? ax ? b ? cx ? d 的函数,可令 cx ? d ? t (t ? 0) ,则 x ? , c
转化为关于 t 的二次函数求值域;形如含有

2

a ? x 的结构的函数,可用三角换元,令
2

2

2

x ? a cos t 求解。如 f ( x) ? x ? 1 ? x ,可设 t ? 1 ? x ,化为 y ? ?t ? t ? 1(t ? 0) ;又如
y ? x ? 1 ? x ,可设 x ? cos? (0 ? ? ? ? ) 化为 y ? sin ? ? cos ? 。
2

注意:换元

必换限!

(4)反表示法:形如 y ?

cx ? d ( a ? 0) ,可以把 y 关于 x 的函数化为 x 关于 y 的函数。 ax ? b
x

x?2 y?2 e ?1 如y? ,可化为 x ? ,由 1 ? 2 y ? 0 ,可求得 y 的范围;再如 y ? x ,可 2x ?1 1? 2 y e ?1
化为 e ?
x

x 1? y ,利用 e 的有界性可求得 y 的范围。 1? y

(5)配方法:试用于二次函数或可化为二次函数形式的函数。注意:配方、画图、截段!

16

(6)判别式法:如 y ?

a1 x ? b1 x ? c1 a2 x ? b2 x ? c2
2

2

,其中 a1 , a2 不全为 0。

注意:用此方法求值域时函数的定义域一定要求为 R !

k (7)不等式法:利用函数 y ? x ? (k ? 0) 在 ??, ? k ? 和 ? k , ?? 上单调递增,在 ? ? x

?

?

? ? k , 0 和 0, k ? 上单调递减来求解。 ? ?

? ?

(8)求导法:当一个函数在定义域上可导时,可根据其导数求最值,再得值域;高次函
数可用导数求值域。

(9)几何意义法(数形结合法) 由数形结合,转化斜率、距离等求值域。 : (二)方法运用。
一、直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。 例 1:求函数 y ?

x ? 1的值域。
∴函数 y ?

解:∵ x ? 0 ,∴ x ? 1 ? 1 ,

x ? 1的值域为 [1, ??) 。

二、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F ( x) ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的值域问题,均可使用配方法。 例 2:求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。 解: y ? ? x2 ? 4x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 6 , ∵ x ?[?1,1] ,∴ x ? 2 ?[?3, ?1] ,∴ 1 ? ( x ? 2) ? 9
2

∴ ?3 ? ?( x ? 2) ? 6 ? 5 ,∴ ?3 ? y ? 5
2

∴函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域为 [?3,5] 。 练习: (1) y ? 4 ? 3 ? 2 x ? x 2 ; (3) y ? (2) y ?

5x ? 2 ; x
2

? x 2 ? 6x ? 5 ;

(4) y ? 3x ? x ? 2 ;

2 (5)已知函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在 0 ? x ? 1 时,有 max ? 2 ,求 a 的值。 2 (6)已知 f ( x) ? x ? 3x ? 5 , x ? [t , t ? 1] ,若 f (x) 的 min ? h(t ) ,写出 h(t ) 的表

达式。

17

三、 反函数法: 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系, 通过求反函数的定义域, 得到原函数的值域。 例 3:求函数 y ?

1 ? 2x 的值域。 1 ? 2x
解得 2 ?
x

解:由 y ?

1 ? 2x 1 ? 2x

1? y , 1? y
∴函数 y ?

∵ 2 ? 0 ,∴
x

1? y ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 1? y

1 ? 2x 的值域为 y ? (?1,1) 。 1 ? 2x

练习: (1) y ?

2 ? sin 2 x 1 ? sin x 2x ; (2) y ? ; (3) y ? x 2 ? sin 3 x 2 ? cos x 2 ?1

四、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可 以利用反函数法。 例 4:求函数 y ?

1? x 的值域。 2x ? 5 1 7 7 ? (2 x ? 5) ? 1? x 1 2 ?? ? 2 , 解:∵ y ? ? 2 2x ? 5 2x ? 5 2 2x ? 5 7 1 1 1? x ∵ 2 ? 0 ,∴ y ? ? , ∴函数 y ? 的值域为 { y | y ? ? } 。 2 2 2x ? 5 2x ? 5

练习: (1) y ?

3x ? 1 x2 ? x ; (2) y ? 2 x?2 x ? x ?1

五、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的 值域,形如 y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、b 、 c 、 d 均为常数,且 a ? 0 )的函数常用此法求。 例 5:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 解:令 t ? 1 ? 2 x ( t ? 0 ) ,则 x ?
2 2 ∴ y ? ?t ? t ? 1 ? ?(t ? ) ?

1? t2 , 2

1 2

5 4

∵当 t ?

1 3 5 5 , x ? 时, ymax ? , 即 无最小值。 ∴函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。 2 8 4 4

练习: (1) y ? x ? 1 ? x 2 ; (2) y ? x ? 4 1 ? x ;

18

六、判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数根,判别式

? ? 0 ,从而求得原函数的值域,形如 y ?
值域,常用此方法求解。

a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的 a2 x 2 ? b2 x ? c2

x2 ? x ? 3 例 6:求函数 y ? 2 的值域。 x ? x ?1
解:由 y ?

x2 ? x ? 3 变形得 ( y ?1) x2 ? ( y ?1) x ? y ? 3 ? 0 , 2 x ? x ?1

当 y ? 1 时,此方程无解; 当 y ? 1 时,∵ x ? R ,∴ ? ? ( y ?1)2 ? 4( y ?1)( y ? 3) ? 0 , 解得 1 ? y ? ∴函数 y ?

11 11 ,又 y ? 1 ,∴ 1 ? y ? 3 3

11 x2 ? x ? 3 的值域为 { y |1 ? y ? } 2 3 x ? x ?1

练习: y ?

2x 2 ? x ? 2 的值域。 x2 ? x ?1

七、函数的单调性法: 确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 例 7:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 解:∵当 x 增大时, 1 ? 2x 随 x 的增大而减少, ? 1 ? 2x 随 x 的增大而增大, ∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 在定义域 (??, ] 上是增函数。 ∴y?

1 2

1 1 1 ? 1? 2? ? , 2 2 2

∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。

1 2

练习: (1) y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

; (2) y ? 4x ? 1 ? 2x ? 3 ;

(3)设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足如下两个条件: ①对于任意 x, y ? R ,有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ; ②当 x ? 0 时,f ( x) ? 0 , f (1) ? ?2 . 且
19

求函数 f (x) 在 [?3,3] 上的最大值和最小值。 八、利用有界性:利用某些函数有界性求得原函数的值域。 例 8:求函数 y ?

x2 ?1 的值域。 x2 ? 1

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得

( y ?1) x2 ? ?( y ? 1) ,
∵ y ? 1 ,∴ x ? ?
2

y ?1 y ?1 ( x ? R , y ? 1) ,∴ ? ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 y ?1 y ?1

∴函数 y ?

x2 ?1 的值域为 { y | ?1 ? y ? 1} x2 ? 1

九、图像法(数型结合法) :函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据 函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。 例 9:求函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域。

??2 x ? 2 ( x ? ?3) ? 解:∵ y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 |? ?8 (?3 ? x ? 5) , ?2 x ? 2 ( x ? 5) ?
∴ y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的图像如图所示, 由图像知:函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域为 [8, ??) 练习: (1) y ? x ? 1 ? x ? 4 ; y ? x ? 1 ? x ? 4 (2) y ? (3) y ? x 2 ? 4 ? x 2 ? 2 x ? 10 ;

y

8 o

-3

5

x

4 cos x ? 1 ; 2 cos x ? 4

2 (4)对 ?x1、x2 ? R ,若 f ( x) ? 2 ? x , g ( x) ? x ,则 min? f ( x), g ( x)? 的 max ? ?

十、观察法 例 10:求 y ? 十一、不等式法 例 11:求 y ?

1 的值域。 2? x 3x ( x ? 0) 的值域。 x ? x ?1
2

练习: y ?

2x 2 ? x ? 1 1 (x ? ) 2x ? 1 2

20

十二、求导法 例 12:设 y ? x 3 ? 6 x 2 ? 15x ? 8 ,试求 y 在 [0,3] 上的最大值和最小值

函数的奇偶性与周期性 1.奇偶性 奇函数的图象关于______对称, 在_____的两侧具有相同的单调性; 偶函数的图象关于______对称, 在_____的两侧具有相异的单调性. 2 判断或证明奇偶函数的方法: 若________________,则函数 f ( x ) 为奇函数, 若________________,则函数 f ( x ) 为偶函数, 注意:函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称. 3.周期函数 设 函 数 y ? f ( x), x ? R , 如 果 存 在 非 零 常 数 T , 使 得 对 任 何 x ? R , 都 有 __________________,则函数 f (x) 为周期函数,T 为 y ? f (x) 的一个周期。 1.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? 4x ? 2x ? x
5 3

(2) f ( x) ? x ? x ?1
2

(3) f ( x) ?

x2 ? x x ?1
? 2 ?x ? x ? 2 ?? x ? x

(4) f ( x) ?| x ? b | ? x ? b

(5) f ( x) ? ?

( x ? 0) ( x ? 0)

(6) f ( x) ? ( x ? 1)

1? x 1? x

2 2.已知 y ? f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0时, f ( x) ? x ? 2x ,求 f (x) 的表达式。

5 3 3 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? 3 ,若 f (5) ? 8 ,则 f (?5) =_______________

4 已知偶函数 f (x) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x) ,且 f (1) ? ?1 ,则 f (5) ? f (11) ? _________ 5 已知函数 f (x) 是偶函数,它的定义域是 (??, ??) ,且在 (0, ??) 上递减,下列各式正确的是

21

A

C

3 f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4 3 f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4

3 f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4 3 D f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4

B

6 是否存在实数 a, 使函数 f ( x) ? a ?

2 为奇函数. 2 ?1
x

7.奇函数 f (x) 是定义在(-1,1)上的减函数,且 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ,求实数 a 的 取值范围。 练习 1.如果奇函数 f (x) 在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,那么 f (x) 在区间[-7,-3] 上是 A、增函数,且最小值为-5 C、减函数,且最小值为 5 B、增函数,且最大值为-5 D、减函数,且最大值为 5 )

2.若 f (x) 是偶函数,在 [0, ??) 上 f ( x) ? x ? 1 ,则 f ( x ? 1) ? 0 的解集是( A、 (-1,0) B、 (??, 0) ? (1, 2) C、 (0,2) D、 (1,2)

3.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (? x) ? ? f ( x) 当 m>0 时, f ( x ? m) ? f ( x) ,则不等式

f ( x) ? f ( x 2 ) ? 0 的解集是(
A、 (??,?1) ? (0,??)

) B、 (-1,0) C、 (0,1) D、 (-1,1)

4、若 f (x) ( x ? R) 是奇函数,则下列各点中,在曲线 y ? f (x) 上的点是

( (A) a, f (?a))

( ( ( (B) ? sin ?,? f (? sin ?)) (C) ? lg a,? f (lg )) (D) ?a,? f (a)) T )? 2

1 a

5、已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则 f (? (A)0 (B)

T 2

(C) T

(D) ?

T 2

6、已知函数 f (x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数

x 都有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是( 2 1 5 A. 0 B. C. 1 D. 2 2



7、 f (x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f (x) =0 在区间(0, 6)内解的个数的最小值是 A.5 B.4 8、已知函数 f ( x) ? lg A.b

C.3

D.2

1? x .若f (a ) ? b.则f (?a ) ? 1? x 1 1 B.-b C. D.- b b
22

9.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x ) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ). A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

10.已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) f ( x) ,且当 ?

x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1 ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 )





A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2 11 、 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 是 奇 函 数 , 且 是 以 2 为 周 期 的 函 数 , 则

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? f (7) 的值是



12、定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ?

x?m ,则常数 m ? ____, n ? _____ x ? nx ? 1
2

13、已知 f ( x) ? x (

1 1 ? ) ,判断 f (x) 的奇偶性; 2 ?1 2
x

, 14 、 定 义 在 [ ?1 1] 上 的 函 数 y ? f (x) 是 减 函 数 , 且 是 奇 函 数 , 若

f (a 2 ? a ? 1) ? f (4a ? 5) ? 0 ,求实数 a 的范围.

15、设定义在[-2,2]上的偶函数 f (x) 在区间[0,2]上单调递减,若 f (1 ? m) ? f (m) 求实 数 m 的取值范围
23

考题再现】 1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A. y ? ? x , x ? R
3



B. y ? sin x, x ? R D. y ? ( ) , x ? R

C. y ? x, x ? R

1 x 2

2.已知函数 f (x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 ,则当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f (x) ? . 3.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数,则 a= (A)0 (B)1 (C)-1 (D)±1 4.设 f ( x ) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A) f ( x) f (? x) 是奇函数 (B) f ( x) f (? x) 是奇函数 (C) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 (D) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 5.函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

f ? f ?5?? ? __________。

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? x?
( ) (D)2

6.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 (A)-1 (B) 0 (C) 1

7. f (x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数, f (2) ? 0 则方程 f (x) =0 在区间 且 (0, 6) 内解的个数的最小值是( ) A.2 B.3

C.4

D.5

8.若函数 f (x) R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是( ) A. (??,2) B. (2,??) C. (??,?2) ? (2,??) D. (-2,2)

9. 设函数 f ( x)在(??,??)上满足f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区 间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. (1)试判断函数 y ? f (x) 的奇偶性; (2)试求函数的 周期。 【模拟训练】 1 已知函数 f ( x ) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , (1)求证: f ( x ) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12)
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2 已知 f(x)是 R 上的偶函数, x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立, f(1)=2, f(2005)等于 ) 对 若 则 ( A.2005 B.2 C.1 D.0 3 设函数 f ( x ) 是定义在实数集上的以 3 为周期的奇函数,若 f (1) ? 1, f (2) ?
24

2a ? 3 ,则 a ?1

A、 a ?

2 3 2 3

B、 a ?

C、 ?1 ? a ?

2 且 a ? ?1 3 2 D、 a ? 或 a ? ?1 3

4.设周期为 4 的奇函数 f ( x ) 的定义域为 R, 且当 x ? [4, 6) 时, f (x) ? 2 ? x 2 , 则 f ( ?1) 值为 .

5 设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,

______ 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (99) ? f (100) ? __________
6.函数 f (x) 是定义域为 R 的偶函数,且对任意的 x ? R ,均有 f ( x ? 2) ? f ( x) 成立.当

x ?[0, 1] 时, f ( x) ? loga (2 ? x)(a ? 1).
(1)当 x ?[2k ? 1, 2k ? 1](k ? Z ) 时,求 f (x) 的表达式; (2)若 f (x) 的最大值为

1 1 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 4

7. 函数 y=f(x)和函数 y=g(x)的图象如下图所示, y=f(x)· 则 g(x)的图象可能是

( )

8 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
2 2

9.设偶函数 f ( x) ? loga | x ? b | 在(0,??)上单调递减 则f (b ? 2)与f (a ? 1) 的大小关系 , 是(C)
25

A. f (b ? 2) ? f (a ? 1) C. f (b ? 2) ? f (a ? 1)

B. f (b ? 2) ? f (a ? 1) D.不能确定

10 定义在[-2,2]上的偶函数 g(x) ,当 x≥0 时,g(x)单调递减,若 g(1-m)<g(m) , 求 m 的取值范围.

26


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函数的概念_三要素的求法(整理版)

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