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2008高考海南宁夏数学理科试卷含详细解答(全word版)080629


年普通高等学校招生全国统一考试 2008 年普通高等学校招生全国统一考试

年普通高等学校统一考试(海南,宁夏卷) 2008 年普通高等学校统一考试(海南,宁夏卷) 数学(理科) 数学(理科)
第Ⅰ卷
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一,选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 目要求的. 目要求的. 1.已知函数 y = 2sin(ω x + )(ω > 0) )在区间 [ 0, ] 的图像如下:那么 ω =( 2π y 1 O 1 A.1 B.2 C. )

1 2

D.

1 3 2π 2 T



x

解:由图象知函数的周期 T = π ,所以 ω =

2.已知复数 z = 1 i ,则 A. 2i B. 2i

z 2 2z =( z 1
C. 2

) D. 2

解:∵ z = 1 i ,∴

z 2 2 z (1 i ) 2 2(1 i ) 2 = = = 2i ,故选 B z 1 1 i 1 i
)

3.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A.

5 18

B.

3 4

C.

3 2

D.

7 8

开始 输入 a,b,c

解:设顶角为 C,因为 l = 5c,∴ a = b = 2c ,由余弦定理

a 2 + b 2 c 2 4c 2 + 4c 2 c 2 7 cos C = = = 2ab 2 × 2c × 2c 8

x=a
b>x
) 否 是 是

S 4.设等比数列 {an } 的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 4 =( a2
A. 2 B. 4 C.

x=b

15 2

D.

17 2

否 输出 x 结束

x=c

a1 (1 q 4 ) S 1 24 15 1 q 解: 4 = = = a2 a1q 2 2
5.右面的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三 个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选

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2008.6.29

年普通高等学校招生全国统一考试 2008 年普通高等学校招生全国统一考试
项中的( ) A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c 解:变量 x 的作用是保留 3 个数中的最大值,所以第二个条件结构的判断框内语句为" c > x " , 满足"是"则交换两个变量的数值后输出 x 的值结束程序,满足"否"直接输出 x 的值结束程序. 6.已知 a1 > a2 > a3 > 0 ,则使得 (1 ai x ) < 1(i = 1, 3) 都成立的 x 取值范围是( 2,
2

)

A. 0,



1 a1

B. 0,



2 a1

C. 0,



1 a3

D. 0,



2 a3

解: (1 ai x ) < 1 ai x 2ai x < 0 ai x ( x
2 2 2 2

2 2 ) < 0 ,所以解集为 (0, ) , ai ai



2 2 2 < < ,因此选 B. a1 a2 a3
) A.

7.

3 sin 70o =( 2 cos 2 10o

1 2

B.

2 2

C. 2

D.

3 2

3 sin 70o 3 cos 20o 3 (2 cos 2 20o 1) 解: = = = 2 ,选 C. 2 cos 2 10o 2 cos 2 10o 2 cos 2 10o
8.平面向量 a,b 共线的充要条件是( A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为零向量 C.λ ∈ R , b = λ a )

D.存在不全为零的实数 λ1 , λ2 , λ1a + λ2 b = 0 解:注意零向量和任意向量共线. 9.甲,乙,丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且 每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有( ) A.20 种 B.30 种 C.40 种 D.60 种 解:分类计数:甲在星期一有 A4 = 12 种安排方法,甲在星期二有 A3 = 6 种安排方法,
2 2

甲在星期三有 A2 = 2 种安排方法,总共有 12 + 6 + 2 = 20 种
2

10.由直线 x = A.

15 4

1 1 ,x=2,曲线 y = 及 x 轴所围图形的面积为( 2 x 17 1 B. C. ln 2 D. 2 ln 2 4 2

)

解:如图,面积 S =



2

1 2

1 1 = ln x |2 = ln 2 ln = 2 ln 2 1 x 2 2

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11.已知点 P 在抛物线 y = 4 x 上,那么点 P 到点 Q (2, 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和
2

取得最小值时,点 P 的坐标为( A. , 1

) C. (1, 2) D. (1 2) ,

1 4



B. , 1

1 4

解:点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离,如图

PF + PQ = PS + PQ ,故最小值在 S , P, Q 三点共线时取得,
此时 P, Q 的纵坐标都是 1 ,所以选 A. (点 P 坐标为 ( , 1) ) 12.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段,在 该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段, a+b 的最大值为 则 ( A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 )

1 4

解:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算.如图 设长方体的高宽高分别为 m, n, k ,由题意得

m2 + n2 + k 2 = 7 , m2 + k 2 = 6 n = 1 1 + k = a , 1 + m = b ,所以 (a 1) + (b 1) = 6
2 2 2 2

k n m

a 2 + b 2 = 8 ,∴ (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 = 8 + 2ab ≤ 8 + a 2 + b 2 = 16 a + b ≤ 4 当且仅当 a = b = 2 时取等号.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 题为选考题,考生根据要求做答. 填空题: 小题, 二,填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

, 1, 13.已知向量 a = (0, 11) , b = (4,0) , λa + b =

29 且 λ > 0 ,则 λ =

.

解:由题意 λa + b = (4,1 λ, λ ) 16 + (λ 1) 2 + λ 2 = 29(λ > 0) λ = 3

14.设双曲线

x2 y 2 = 1 的右顶点为 A,右焦点为 F.过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与 9 16
.

双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为

解:双曲线的右顶点坐标 A(3, 0) ,右焦点坐标 F (5, 0) ,设一条渐近线方程为 y =

4 x, 3

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4 y = 3 ( x 5) 32 建立方程组 2 ,得交点纵坐标 y = ,从而 S 2 15 x y =1 9 16
9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8

AFB

1 32 32 = × 2× = 2 15 15

15.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 .

解:令球的半径为 R ,六棱柱的底面边长为 a ,高为 h ,显然有

h a 2 + ( )2 = R , 且 2

3 2 9 a = 1 4 4 a ×h = V = 6 × 2 R = 1 V = π R3 = π 4 8 3 3 6a = 3 h = 3
16.从甲,乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下: 甲品种:271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种:284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图 甲 3 7 5 5 5 4 8 7 3 3 9 4 8 5 5 7 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6 乙

5 6 3 2 3

7 5 5 6 8 8 2 4 7 9 6 7

根据以上茎叶图,对甲,乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ① ;② . 解:1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长度 普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . 2.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长度较 甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花 的纤维长度的分散程度更大) . 3.甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. 4.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种棉花 的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀.

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三,解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是一个等差数列,且 a2 = 1 , a5 = 5 . (Ⅰ)求 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值.

解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,由已知条件, 所以 an = a1 + ( n 1) d = 2n + 5 . (Ⅱ) S n = na1 +

a1 + d = 1 ,解出 a1 = 3 , d = 2 . a1 + 4d = 5

n(n 1) d = n 2 + 4n = 4 (n 2)2 . 2

所以 n = 2 时, Sn 取到最大值 4 . 18. (本小题满分 12 分) 如图,已知点 P 在正方体 ABCD A′B′C ′D′ 的对角线 BD′ 上, ∠PDA = 60° . (Ⅰ)求 DP 与 CC ′ 所成角的大小; D′ (Ⅱ)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小. 解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D xyz . 则 DA = (1, 0) , CC ′ = (0,1) .连结 BD , B′D′ . 0, 0, 在平面 BB′D′D 中,延长 DP 交 B′D′ 于 H . 设 DH = ( m,m, m > 0) ,由已知 < DH, >= 60 , 1)( DA
o

A′

C′
P

B′
C B

uuu r

uuuu r

D A z

uuuu r

uuuu uuu r r

D′ A′
D A x

H P

C′ B′
C B y

uuu uuuu uuu uuuu r r r r uuu uuuu r r 由 DA DH = DA DH cos < DA DH > ,
可得 2m =

2m2 + 1 .解得 m =

2 , 2

2 2 ×0 + × 0 + 1× 1 uuuu uuuu r r uuuu 2 2 r 2 2 所以 DH = CC = , , ,. 1 (Ⅰ)因为 cos < DH, ′ >= 2 2 2 2 1× 2
所以 < DH, ′ >= 45 .即 DP 与 CC ′ 所成的角为 45 . CC
o
o

uuuu uuuu r r

(Ⅱ)平面 AA′D′D 的一个法向量是 DC = (0,0) . 1,

uuur

2 2 ×0 + × 1 + 1× 0 uuuu uuur r uuuu uuur r 1 2 2 因为 cos < DH, >= DC = , 所以 < DH, >= 60o . DC 2 1× 2

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可得 DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30 .
o

19. (本小题满分 12 分) A,B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2.根据市场分析,X1 和 X2 的分布列分别为 X1 P 5% 0.8 10% 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3

(Ⅰ)在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,求 方差 DY1,DY2; (Ⅱ)将 x (0 ≤ x ≤ 100) 万元投资 A 项目, 100 x 万元投资 B 项目, f ( x ) 表示投资 A 项目所 得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f ( x ) 的最小值,并指出 x 为何值时, f ( x ) 取到最小值. (注: D ( aX + b) = a DX )
2

解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 P 5 0.8 10 0.2 Y2 P 2 0.2 8 0.5 12 0.3

EY1 = 5 × 0.8 + 10 × 0.2 = 6 ,
DY1 = (5 6) 2 × 0.8 + (10 6) 2 × 0.2 = 4 , EY2 = 2 × 0.2 + 8 × 0.5 + 12 × 0.3 = 8 , DY2 = (2 8) 2 × 0.2 + (8 8)2 × 0.5 + (12 8) 2 × 0.3 = 12 .
(Ⅱ) f ( x ) = D
2

x 100 x Y1 + D Y2 100 100
2

x 100 x = DY1 + DY2 100 100
4 x 2 + 3(100 x) 2 2 100 4 = (4 x 2 600 x + 3 × 100 2 ) , 2 100 600 当x= = 75 时, f ( x) = 3 为最小值. 2× 4 =

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20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:
2

x2 y2 + =1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.F2 也是抛 a2 b2
5 . 3

物线 C2: y = 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且|MF2|= (Ⅰ)求 C1 的方程;

直线 l‖MN, 且与 C1 交于 A, 两点, OA OB = 0 , B 若 (Ⅱ) 平面上的点 N 满足 MN = MF1 + MF2 , 求直线 l 的方程. 20.解: (Ⅰ)由 C2 : y 2 = 4 x 知 F2 (1, . 0) 设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 =

uuu uuu r r

5 5 2 2 6 ,所以 x1 + 1 = ,得 x1 = , y1 = . 3 3 3 3

8 4 2 + 2 = 1, M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c = 1 ,于是 9a 3b b 2 = a 2 1.
消去 b 并整理得
2

1 9a 4 37 a 2 + 4 = 0 , 解得 a = 2 ( a = 不合题意,舍去) . 3 x2 y 2 + = 1. 4 3

故椭圆 C1 的方程为

(Ⅱ)由 MF1 + MF2 = MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 因为 l ‖ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,

uuuu uuuu r r

uuuu r

2 6 故 l 的斜率 k = 3 = 6 .设 l 的方程为 y = 6( x m) . 2 3

3 x 2 + 4 y 2 = 12, 2 2 由 消去 y 并化简得 9 x 16mx + 8m 4 = 0 . y = 6( x m),
设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) , x1 + x2 =

16m 8m 2 4 , x1 x2 = . 9 9

因为 OA ⊥ OB ,所以 x1 x2 + y1 y2 = 0 .

uuu r

uuu r

x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + 6( x1 m)( x2 m) = 7 x1 x2 6m( x1 + x2 ) + 6m 2

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=7 8m 2 4 16m 1 6m + 6m 2 = (14m 2 28) = 0 . 9 9 9

所以 m = ± 2 .此时 = (16m) 2 4 × 9(8m 2 4) > 0 , 故所求直线 l 的方程为 y =

6 x 2 3 ,或 y = 6 x + 2 3 .

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = ax +

1 (a,b ∈ Z) ,曲线 y = f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 y=3. x+b

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式: (Ⅱ)证明:函数 y = f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线 y = f ( x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并 求出此定值. 21.解: (Ⅰ) f ′( x ) = a

1 , ( x + b) 2

1 9 2a + 2 + b = 1, a = 4 , a = 1, 于是 解得 或 b = 1, b = 8 . a 1 = 0, (2 + b) 2 3 1 . x 1 1 (Ⅱ)证明:已知函数 y1 = x , y2 = 都是奇函数. x 1 所 以 函 数 g ( x) = x + 也 是 奇 函 数 , 其 图 像 是 以 原 点 为 中 心 的 中 心 对 称 图 形 . 而 x 1 f ( x) = x 1 + + 1 .可知,函数 g ( x) 的图像按向量 a = (11) 平移,即得到函数 f ( x) 的 , x 1
因 a,b ∈ Z ,故 f ( x ) = x + 图像,故函数 f ( x ) 的图像是以点 (11) 为中心的中心对称图形. , (Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 x0,x0 +



1 . x0 1

由 f ′( x0 ) = 1

1 知,过此点的切线方程为 ( x0 1) 2

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y
2 x0 x0 + 1 1 = 1 ( x x0 ) . 2 x0 1 ( x0 1)

令 x =1得 y =

x +1 x0 + 1 ,切线与直线 x = 1 交点为 1,0 . x0 1 x0 1

令 y = x 得 y = 2 x0 1 ,切线与直线 y = x 交点为 (2 x0 1,x0 1) . 2

, 直线 x = 1 与直线 y = x 的交点为 (11) .
从而所围三角形的面积为

1 x0 + 1 1 2 1 2 x0 1 1 = 2 x0 2 = 2 . 2 x0 1 2 x0 1

所以,所围三角形的面积为定值 2 .

题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时, 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A ,过 A 点作直线 AP 垂直直线 OM ,垂足为 P. (Ⅰ)证明: OM OP = OA ;
2

(Ⅱ)N 为线段 AP 上一点, 直线 NB 垂直直线 ON , 且交圆 O 于 B 点. B 点的切线交直线 ON 过 于 K .证明:∠OKM = 90 .
o

B A N P

解: (Ⅰ)证明:因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA ⊥ AM . 又因为 AP ⊥ OM .在 Rt△OAM 中,由射影定理知,

K M

O

OA = OM OP .
2

(Ⅱ)证明:因为 BK 是圆 O 的切线, BN ⊥ OK . 同(Ⅰ) ,有 OB = ON OK ,又 OB = OA ,
2

所以 OP OM = ON OK ,即 又 ∠NOP = ∠MOK ,

ON OM = . OP OK
o

所以 △ONP ∽△OMK ,故∠OKM = ∠OPN = 90 .

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23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程

x = x = cos θ, ( θ 为参数) ,曲线 C2: 已知曲线 C1: y = sin θ y =

2 t 2, 2 (t 为参数) . 2 2

(Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (Ⅱ)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1′,C2′ .写出 C1′,C2′ 的参数方程. C1′ 与 C2′ 公共点的个数和 C 1 与C 2 公共点的个数是否相同?说明你的理由. 解: (Ⅰ) C1 是圆, C2 是直线.

C1 的普通方程为 x 2 + y 2 = 1 ,圆心 C1 (0, ,半径 r = 1 . 0)
C2 的普通方程为 x y + 2 = 0 .
因为圆心 C1 到直线 x y + 2 = 0 的距离为 1 , 所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为

x = cos θ, x = ′: ′ : C1 ( θ 为参数) C2 ; 1 y = 2 sin θ y =

2 t 2, 2 (t 为参数) . 2 t 4

化为普通方程为: C1′ : x 2 + 4 y 2 = 1 , C2′ : y = 联立消元得 2 x + 2 2 x + 1 = 0 ,
2

1 2 x+ , 2 2

其判别式 = (2 2) 2 4 × 2 × 1 = 0 , 所以压缩后的直线 C2′ 与椭圆 C1′ 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同.

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24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = x 8 x 4 . (Ⅰ)作出函数 y = f ( x) 的图像; (Ⅱ)解不等式 x 8 x 4 > 2 . 解: 1 O 1 x y

4, (Ⅰ) f ( x) = 2 x + 12, 4
图像如下:

x ≤ 4, 4 < x ≤ 8, x > 8.
y

4 2 1

-2 -1 -2 -4

O1 2 3 4

8

x

(Ⅱ)不等式 x 8 x 4 > 2 ,即 f ( x ) > 2 , 由 2 x + 12 = 2 得 x = 5 . 由函数 f ( x ) 图像可知,原不等式的解集为 ( ∞, . 5)

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