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江苏省淮阴中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题


江苏省淮阴中学 2015—2016 学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 一、填空题(每小题 5 分,共计 70 分). 1.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为
2



2.双曲线

y2 ? x 2 ? 1的两条渐近线方程为 4



3.某人从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,9,7,则该组数据的方差

s2 ?

. .

4.函数 f ( x) ? 1 ? sin x 在点 ? 0,1? 处的切线方程为 5.观察下列式子:1 ?

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,?,根据 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 1 1 1 ? 以上式子可以猜想 1 ? 2 ? 2 ? … ? . 2 3 20152
6.执行如图所示的流程图,则输出的 k 的值为 .

7.盒中有 3 张分别标有 1,2,3 的卡片,从盒中随机抽取一张记下号码后放回,再 随机抽取一张记下号码,则两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率为 (用分数作答) . 8.“ a ? 1 ”是“直线 x ? y ? 0 与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直”的 条件(在“充要” 、 “充

分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分又不必要”中,选择适当的一种填空) .

? x ? y ? 1 ? 0, ? 9.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是由不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 表示的区域, E 是到原点的 ?y ? 0 ?
距离不大于 1 的点构成的区域,若向 E 中随机投一点,则所投点落在 D 中的概率 是 .

10.已知函数 f ( x) ? 则实数 a 的最小值为
2

1 3 x ? ax 2 ? x ? a ? R? ,若 y ? f ( x) 在区间 ??2, ?1? 上是单调减函数, 3

2

2 2 11.已知圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 的圆心为抛物线 y ? 4 x 的焦点, 且与直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0

相切,则该圆的方程为 12.已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? a ?
2



1 4 a ? 0? , g ( x) ? bx3 ? 2bx 2 ? bx ? ? ?b ? 1? ,则函 3 27

数 y ? g ( f ( x)) 的零点个数为



13.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线” ,已知 F 1 , F2 是一对相关曲线的焦点, P 是它们在第一象限的交点,若 ?F 1 PF2 ? 60? ,则这一对相关曲线 中椭圆的离心率是 .

x 3 x 14.设函数 f ( x) ? e x ? 3 x ? 3 ? ae ? x , e 为自然对数的底数,若不等式 f ( x) ? 0 在

?

?

x ?? ?2, ??? 有解,则实数 a 的最小值为
二、解答题



15.(本题满分 14 分)已知复数 z 满足 z ?1 ? 2i ? ? 5i ( i 为虚数单位) . (1)求复数 z ,以及复数 z 的实部与虚部; (2)求复数 z ?

5 的模. z

16.(本题满分 14 分)已知命题 p : “关于 x , y 的方程 x2 ? 2ax ? y 2 ? 2a2 ? 5a ? 4 ? 0 表 示圆( a ? R ) ” ,

17.(本题满分 14 分)从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生, 将其数学成绩 (均 为整数)分成六段 ?40,50? , ?50,60? ,?, ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图.观察 图形的信息,回答下列命题:

(1)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全这个频率分布直方图;

(2)根据上面补充完整的频率分布直方图用组中值估计出本次考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为 ?40,60? 的学生中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看 成一个总体,从中任取 2 人,求至少 1 人在分数段 ?50,60? 的概率.

18.(本题满分 16 分)为治理雾霾,环保部门加大对企业污染物排放的监管力度,某企业决 定对一条价值 60 万元的老旧流水线进行升级改造,既要减少染污的排放,更要提高该流水线 的生产能力,从而提高产品附加值,预测产品附加值 y (单位:万元)与投入改造资金 x (单 位:万元)之间的关系满足: ① y 与 (60 ? x) x2 成正比例; ②当 x ? 30 时, y ? 90 ; ③改造资金 x 满足不等式 0 ?

x ? t ,其中 t 为常数,且 t ??0,3? . 2(60 ? x)

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式,并求出其定义域; (2)问投入改造资金 x 取何值时,产品附加值 y 达到最大?

19. (本题满分 16 分) 已知椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , 两点 F1 (?1,0) w,F2 (1,0) a 2 b2

为椭圆 C 的焦点,点 P 在椭圆 C 上,且 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2 | F 1F 2 |. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)如图已知椭圆 C 的内接平行四边形 ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦

ABCD 面积的最大值. 点F 1 、 F2 ,求该平行四边形

20.(本题满分 16 分)设函数 f ( x) ? x ? 2(?1) ln x ? k ? N *? , f '( x) 表示 f ( x ) 的导函数.
2 k

(1)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间;
2 (2)当 k 为偶数时,若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) ? (1 ? 2a) x 的上方,求实数 a 的取值

范围;

(3)当 k 为奇数时,设 bn ?

1 f '(n) ? n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,证明不等式 2

(1 ? bn )

1 ? e 对一切正整数 n 均成立,并比较 S2014 ? 2 与 ln 2014 的大小. bn?1

理科附加题 21.(本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? 2 x ? f '(0) x2 ? 2 . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)求 f ( x ) 的减区间.

22.(本题满分 10 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ⊥

AC ,AB ? 2 ,AC ? 4 ,AA1 ? 3 ,D 是 BC 的中点, 求直线 DB1
与平面 AC 1 1 D 所成角的正弦值.

23.(本题满分 10 分)在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 ,且 (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)猜想数列 ?an ? 的通项公式,并用数学归纳法证明.

1 1 . ? ? 2n ? 1 ( n ? N * ) an?1 an

24.(本题满分 10 分)已知抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 上点 T ? 3, t ? 到焦点 F 的距离为 4. (1)求 t , p 值; (2)设 A , B 是抛物线上分别位于 x 轴两侧的两个动点,且 OA ? OB ? 5 (其中

??? ? ??? ?

O 为坐标原点) .求证:直线 AB 过定点,并求出该定点的坐标.

江苏省淮阴中学 2015—2016 学年度第一学期期末考试 高二数学试卷答案 一.填空题(每小题 5 分,共计 70 分) 1.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

2. y ? ?2 x 7.

3.2 8.必要不充分

4. y ? x ? 1 9.

6. 4
2 11. ? x ? 1? ? y ? 1 2

4 9

1

?
1 e

4029 2015 3 10. 4
5.

12. 4

13.

3 3

14. 1 ?

二.解答题 15.解: (1) z ? (2) z ?

5i 5i(1 ? 2i) ? ? i(1 ? 2i) ? 2 ? i ,实部为 2,虚部为 1; 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i)

5 5 5 ? 2?i? ? 4 ? 2i ,∴ | z ? |? 42 ? (?2) 2 ? 2 5 . z 2?i z

2 2 2 16.解: (1)若 p 为真命题,则 ( x ? a) ? y ? ?a ? 5a ? 4 ,

故 ?a ? 5a ? 4 ? 0 ,∴ 1 ? a ? 4 .
2

2 (2)若 q 为真命题,则 ? ? (a ?1) ? 4 ? 0 ,即 a ? 3 或 a ? ?1 .

由题意若命题 p ? q 为真命题,则 p 、 q 都是真命题, ∴?

?1 ? a ? 4, 即3 ? a ? 4, ?a ? 3或a ? ?1,

故若 p , q 都是假命题时, a ? 3 或 a ? 4 . 17.解: (1)分数在 ?70,80? 内的频率 wield 1 ? (0.010 ? 0.015 ? 0.015 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 1 ? 0.7 ? 0.3 , 又

0.3 ? 0.03 ,补出的图形如图所示. 10

(2)平均分为:

x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ?75 ? 0.3 ?85 ? 0.25 ?95 ? 0.05 ? 71 .
答:估计这次考试的平均分是 71 分. (3)由题意, ?40,50? 分数段的人数为 0.10 ? 60 ? 6 人; ?50,60? 分数段的人数为

0.15 ? 60 ? 9 人; 在 ?40,60? 的学生中抽取一个容量为 5 的样本, 在 ?40,50? 分数段抽取 2 人,
分别记为 m , n ; ?50,60? 分数

? a, c ? , ? b, c ? 共 9 种,
所以 P ? A ? ?

9 ? 0.9 . 10 1 1 (60 ? x) x 2 . ,y? 300 300

2 18.解: (1)设 y ? k (60 ? x) x ,则由②可得 k ?

0?

x ? t ,其中 t 为常数,且 t ??0,3? , 2(60 ? x)

∴ x ? ?0,

? 120t ? ,其中 t 为常数,且 t ??0,3? , ? 1 ? 2t ? ?
1 ? 120t ? (60 ? x) x 2 ,其定义域为 ?0, ,其中 t 为常数,且 t ??0,3? . 300 ? 1 ? 2t ? ? 1 ? (120 ? 3 x) ,令 f '( x) ? 0 ,可得 x ? 0 或 x ? 40 , 300

故函数 y ?

(2) f '( x) ? 当

120t ? 40 ,即 1 ? t ? 3 时, x ? ? 0, 40? , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 1 ? 2t 120t x ? (40, ) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 1 ? 2t 320 ∴ x ? 40 时, ymax ? ; 3 120t 120t ? 40 ,即 0 ? t ? 1 时, x ? (0, ] , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 1 ? 2t 1 ? 2t
∴x?

120t 2880t 2 时, ymax ? . 1 ? 2t (1 ? 2t )3 320 ; 3

综上:当 1 ? t ? 3 时,投入改造资金 x ? 40 时,产品附加值 ymax ?

当 0 ? t ? 1 时,投入改造资金 x ?

120t 2880t 2 时,产品附加值 ymax ? . 1 ? 2t (1 ? 2t )3

19.解: (1)依题意,椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? . a 2 b2

∵ 2a ?| PF 1 | ? | PF 2 |? 2 | F 1F2 |? 4 , a ? 2 . 又由焦点 F1 ? ?1,0 ? 、 F2 ?1,0? 知 c ? 1 , ∴ b ? a ? c ? 4 ?1 ? 3 ,
2 2 2

∴椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)当直线 AD 的斜率不存在时,直线 AD 的方程为 x ? 1 ,

? x2 y 2 3 3 ? 1, ? ? 解方程组 ? 4 得 A(1, ) , D (1, ? ) , 3 2 2 ? x ? 1, ?
∴平行四边形 ABCD 的面积 S ? 6 . 当直线 AD 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1) ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 由? 4 整理得 (3 ? 4k ) x ? k x ? 4k ?12 ? 0 , 3 ? y ? k ( x ? 1), ?
8k 2 4k 2 ? 12 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

12 k 2 ? 1 ∴ | AD |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? , 3 ? 4k 2
2 2

又 F1 (?1,0) 到 AD 的距离 d ? ∴平行四边形 ABCD 的面积

2|k | 1? k 2



24 | k | 1 ? k 2 16k 4 ? 16k 2 8k 2 S ?| AD | ?d ? ?6 ? 6 1? ?6, 3 ? 4k 2 16k 4 ? 24k 2 ? 9 (3 ? 4k 2 )2
综上,符合条件的椭圆内接平行四边形 ABCD 的面积最大值为 6. 20.解: (1)函数的定义域为 ? 0, ??? ,

x 2 ? (?1)k ? 1 2? ? ?. 又 y ' ? f '( x) ? 2 x ? 2(?1) ? x x
k

①当 k 为奇数时, f '( x) ?

2( x 2 ? 1) ,∵ x ? ? 0, ??? ,∴ f '( x) ? 0 在 ? 0, ??? 恒成立, x

即 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0, ??? ;

2( x 2 ? 1) 2 ? x ? 1?? x ? 1? ? ②当 k 为偶数时, f '( x) ? ,又 x ? ? 0, ??? ,∴ x ? 1 ? 0 , x x
由 f '( x) ? 0 ,得 x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 1 ,即 f ( x ) 的单调递增区间为 ?1, ?? ? . 综上所述,当 k 为奇数时, f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0, ??? ;当 k 为偶数时, f ( x ) 的单调递 增区间为 ?1, ?? ? . (2)当 k 为偶数时, f ( x) ? x2 ? 2ln x . 由题意知: x ? 2ln x ? (1 ? 2a) x 恒成立,即 a ?
2 2

ln x 恒成立. x2

ln x ,则 a ? ? h( x)?max , x2 1 ? 2 ln x ? 0 ,得 x ? e , h '( x) , h( x) 随 x 的变化情况如下表: 由 h '( x) ? x3
设 h( x ) ?

x
h '( x)
h( x )
∴ h( x ) 在 x ? 即 ? h( x ) ?max ? h

? 0, e ?
?

e
0
极大值

?

e , ??

?

?

e 处取得极大值,也为最大值,

? e ? ? 21e ,故实数 a 的取值范围为 a ? 21e .
1 x

(3)证明:由(1)知,当 k 为奇数时, f '( x) ? 2( x ? ) ,

1 1 1 1 1 f '(n) ? n ? , Sn ? 1 ? ? ? … ? . 2 2 3 n n 1 n ?1 1 1 由已知要证 (1 ? ) ? e ,两边取自然对数,即证 ln(1 ? ) ? , n n n ?1 1 1 1 设 1 ? ? t ,则 n ? ? t ? 1? ,即证不等式 ln t ? 1 ? ? t ? 1? 成立. n t ?1 t
∴ bn ?

构造函数 ? (t ) ? ln t ? ? 1? t ? 1? ,下面证明 ? (t ) 在 ?1, ?? ? 上恒大于 0. ∵ t ? 1 ,∴ ? '(t ) ? ?

1 t

1 1 ?0, t t2

∴ ? (t ) 在 ?1, ?? ? 上单调递增,∴ ? (t ) ? ? (1) ? 0 , 即 ln t ? 1 ? ,∴ ln(1 ? ) ? 即 (1 ? bn ) 由 ln

1 t

1 n

1 1 n ?1 ,∴ (1 ? ) ? e , n ?1 n

1 ? e 成立, bn?1

n ?1 1 1 1 1 2 3 n ?1 ? ? ln ? ln ? … ? ln ? ln(n ? 1) , ,得 ? ? … ? n n ?1 2 3 n ?1 1 2 n

即 Sn?1 ? 1 ? ln(n ? 1) ,当 n ? 2013 时, S2014 ? 1 ? ln 2014 .

理科附加题答案 21.解: (1) f ( x) ?

1 ? 2 ? 2 f '(0) x ,所以 x ? 0 ,得 f '(0) ? ?1 , x ?1

∴ f ( x) ? ln( x ? 1) ? 2 x ? x2 ? 2 . (2) f '( x) ?

1 2x2 ?1 ? 2x ? 2 ? , x ?1 x ?1

由 f '( x) ? 0 ,得 ?

2 2 ?x? , 2 2

2 2 , ). 2 2 ??? ? ???? ???? 22.解:以 AB, AC , AA1 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,
∴ f ( x ) 的减区间为 (?

?

?

则 A? 0,0,0? , B ? 2,0,0? , C ? 0,4,0? , D ?1,2,0? , A 1 ? 0,0,3? , B 1 ? 2,0,3? , C1 (0, 4,3) ,

???? ? ???? ? A1D ? (1,2, ?3) , AC 1 1 ? ? 0, 4,0 ? .
设平面 AC 1 1 D 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , ∵ n? A 1D ? x ? 2 y ? 3z ? 0 , n ? AC 1 1 ? 4y ? 0, ∴ x ? 3 z , y ? 0 ,令 z ? 1 ,得 x ? 3 , n ? ? 3,0,1? .

?

? ???? ?

? ???? ?

?

设直线 DB1 与平面 AC , 1 1 D 所成角为 ? ,∵ DB 1 ? ?1, ?2,3? ∴ sin ? ?| cos ? DB1 , n ?|?

???? ?

???? ? ?

| 3 ?1 ? 0 ? ? ?2 ? ? 1? 3 | 10 ? 14

?

3 35 . 35

∴直线 DB1 与平面 AC 1 1 D 所成角的正弦值为 23.解: (1)由已知得 a2 ? (2)猜想: an ?

3 35 . 35

1 1 1 , a3 ? , a4 ? . 4 9 16

1 ? n ? N *? . n2

下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, a1 ? 1 结论成立; ②假设当 n ? k ( k ? 2 , k ? N * )时,结论成立,即 ak ? 则当 n ? k ? 1 时,

1 , k2

1 1 1 , ?? ? 2k ? 1 ? ?k ? 2k ? 1 ? k ? 1 ,即 ak ?1 ? (k ? 1) 2 ak ?1 ak

故当 n ? k ? 1 时结论轮成立,

1 ? n ? N *? 成立. n2 p 24.(1)由抛物线定义得, 3 ? ? 4 ,即 p ? 2 , 2
根据①②可得, an ? 所以抛物线方程为 y 2 ? 4 x ,代入点 T (3, t ) ,可解得 t ? ?2 3 .

y12 y2 2 , y1 ) , B ( , y2 ) , (2)设直线 AB 的方程为 x ? my ? n , A( 4 4
联立 ?

? y 2 ? 4 x, ? x ? my ? n

,消元得 y 2 ? 4my ? 4n ? 0 ,则 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4n ,

由 OA ? OB ? 5 ,得

??? ? ??? ?

? y1 y2 ?
16

2

, ? y1 y2 ? 5 ,所以 y1 y2 ? ?20 或 y1 y2 ? 4 (舍去)

即 ?4n ? ?20 ,即 n ? 5 ,所以直线 AB 的方程为 x ? my ? 5 , 所以直线 AB 过定点 P ? 5,0? .


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