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2014年高中数学平面向量基础练习---附答案


向量练习题(一)
一、选择题 1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( A. a0 ? b0 3.已知下列命题中: (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 , (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 (4)若 a 与 b 平行,则 a b ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.下列命题中正确的是( ) A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a| ) B. a ? b ? 1 0 0 ) A. AB B. DA C. BC ) D. 0 2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( C. | a0 | ? | b0 |? 2

D. | a0 ? b0 |? 2

B.若 a?b=0,则 a∥b D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2 ) A. ?3 B. ? 1 C. 1 D. 3

5.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? (

6.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分别是( 二、填空题 1.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则 )A. 4 2 ,0 B. 4, 4 2 C. 16, 0 D. 4, 0

1 AB =_________ 3

2.平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b =____。 3.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b ?
0



4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。 5.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________。 三、解答题 1.如图, ABCD 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点, G 为交点,若 AB = a , AD = b ,试以 a , b 为基底 表示 DE 、 BF 、 CG .

?

?

?

?

D

F G E B

C

A

2.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。

1

3.已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1,3) ,求 b 在 AB 上的投影。

?

?

?

?

4.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

向量练习(二)
一、选择题 1.下列命题中正确的是( A. OA ? OB ? AB ) B. AB ? BA ? 0 C. 0 ? AB ? 0 D. AB ? BC ? CD ? AD

2.设点 A(2, 0) , B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP , 则点 P 的坐标为( )A. (3,1) B. (1, ?1) C. (3,1) 或 (1, ?1)
o

D.无数多个 )

3.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? ( A. (?3,6) B. (3,?6) C. (6,?3) D. (?6,3)

b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于( )A.?2 4. 向量 a ? (2,3) ,b ? (?1, 2) , 若 ma ?
5.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是( A.

B.2 )

C.

1 2

D.?

1 2

? 6
3 2

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

) ,b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( 6.设 a ? ( ,sin ?
二、填空题 1.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
? ? ?
? ?

1 3

?

)A.30

0

B.60

0

C.75

0

D.45

0


? ?

2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2,3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。 3.若 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ,若 (3a ? 5b) ? (ma ? b) ,则 m 的值为
0



2

4.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。 5.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。 三、解答题 1.求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.
? ? ? ?

2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

3.设非零向量 a, b , c , d ,满足 d ? (a c )b ? (a b )c ,求证: a ? d

4.已知 a ? (cos ?,sin ?) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).
?

?

?

?

平面向量综合练习
1、已知 a ? (cos? ,sin ? ), b ? ( 3, ?1) ,则 | 2a ? b | 的最大值是__________。 2、设向量 a, b 的夹角为 ? ,且 a ? (3,3), 2b ? a ? (?1,1) ,则 cos ? =________。
3

3、已知 A( 3,0), B(0,1) ,坐标原点 O 在直线 AB 上的射影为点 C,则 OA ? OC =________。 4、已知 | OA |? 1,| OB |? 3, OA ? OB ? 0 ,点 C 在线段 AB 上,且 ?AOC ? 30 ,设

m =____________。 n 15 ,| a |? 3,| b |? 5 ,则 a, b 夹角的大小为_______. 5、已知 ?ABC 中, AB ? a, AC ? b, a ? b ? 0, S ?ABC ? 4

OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则

6 、 已 知 非 零 向 量 AB, AC 满 足 ( _____________。

AB AC AB AC 1 ? )? BC ? 0, 且 ? ? , 则 ?ABC 的 形 状 为 | AB | |AC | | AB | | AC | 2

7、已知 A(3,0), B(0,3)C (cos ? ,sin ? ) 。 (1)若 AC ? BC ? ?1 ,求 sin(? ? 大小。

?
4

) 的值; (2)若 | OA ? OC |? 13,? ? (0, ? ) ,求 OB, OC 的夹角的

8、已知锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a, b, c ,向量 m ? (sin B, 3ac) ,

n ? (b2 ? a2 ? c2 ,cos B) ,且 m ? n 。
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3 ,求 AC 边上的高的最大值。

10、已知向量 a ? (cos

3 3 1 1 ? x,sin x), b ? (cos x, ? sin x), x ? [0, ] 2 2 2 2 2 3 ,求实数 ? 的值。 2

(1)求 a ? b 及 | a ? b | ; (2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ?

4

答案解析
向量练习 一、选择题 1.D

AD ? BD ? AB ? AD ? DB ? AB ? AB ? AB ? 0

2.C 因为是单位向量, | a0 |? 1,| b0 |? 1 3.C (1)是对的; (2)仅得 a ? b ; (3) (a ? b ) ? (a ? b ) ? a ? b ? a ? b ? 0
2 2 2 2

(4)平行时分 0 和 180 两种, a b ? a ? b cos ? ? ? a ? b
0 0

4.D 若 AB ? DC ,则 A, B, C , D 四点构成平行四边形; a ? b ? a ? b 若 a // b ,则 a 在 b 上的投影为 a 或 ? a ,平行时分 0 和 180 两种
0 0

a ? b ? a b ? 0,(a b )2 ? 0
5.C 6.D

3x ? 1? (?3) ? 0, x ? 1
2a ? b ? (2 cos ? ? 3, 2sin ? ? 1),| 2a ? b |? (2 cos ? ? 3) 2 ? (2sin ? ? 1) 2

? 8 ? 4sin ? ? 4 3 cos ? ? 8 ? 8sin(? ? ) ,最大值为 4 ,最小值为 0 3
二、填空题 1. (?3, ?2) 2. ( , ? )

?

A B? O B ? OA ? ( ? 9, ? 6)
a ? 5 , c o? s a b ,??
1 4 3 b ? a ? ( ,? ) ? a1b , 方向相同, , 5 5 5 a b

4 5

3 5

ab

3. 7 4.圆 5. ?

a? b ? ( a? b )2

?

2

a ? 2 a b? 2 b ? 9

1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2

4 ?

?7

以共同的始点为圆心,以单位 1 为半径的圆

4 5

4 a ? tb ? (a ? tb )2 ? a 2 ? 2tab ? t 2b 2 ? 5t 2 ? 8t ? 5 ,当 t ? ? 时即可 5

三、解答题 1.解: DE ? AE ? AD ? AB ? BE ? AD ? a ?

1 1 b ?b ? a ? b 2 2 1 1 BF ? AF ? AB ? AD ? DF ? AB ? b ? a ? a ? b ? a 2 2 1 1 1 G 是△ CBD 的重心, CG ? CA ? ? AC ? ? (a ? b ) 3 3 3

2.解: (a ? 2b) (a ? 3b) ? a 2 ? a b ? 6b 2 ? ?72

a ? a b cos 600 ? 6 b ? ?72, a ? 2 a ? 24 ? 0,
5

2

2

2

( a ? 4)( a ? 2) ? 0, a ? 4
3.解:设 A( x, y ) ,

AO ? ?3 ,得 AO ? ?3OB ,即 (? x, ? y) ? ?3(2, ?1), x ? 6, y ? ?3 OB
20 , b cos ? ?

得 A(6, ?3) , AB ? (?4, 2), AB ?

b AB AB

?

5 10

4.解: ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2)

a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , 得 (ka ? b ) (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 k a ? b ? (?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

课后练习 一、选择题 1.D 起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量, OA ? OB ? BA ;

AB, BA 是一对相反向量,它们的和应该为零向量, AB ? BA ? 0
2.C 设 P( x, y ) ,由 AB ? 2 AP 得 AB ? 2 AP ,或 AB ? ?2 AP ,

AB ? (2, 2), AP ? ( x ? 2, y) ,即 (2, 2) ? 2( x ? 2, y), x ? 3, y ? 1, P(3,1) ;
(2, 2) ? ?2( x ? 2, y), x ? 1, y ? ?1, P(1, ?1)
3.A 4.D 设 b ? ka ? (k , ?2k ), k ? 0 ,而 | b |? 3 5 ,则 5k 2 ? 3 5, k ? ?3, b ? (?3,6)

m a? b?( 2 m , 3 m) ? ? ( 1, 2 ?) m (2 ?

m 1,? 3

2)
1 2

a ? 2b ? (2,3) ? (?2, 4) ? (4, ?1) ,则 ?2m ? 1 ? 12m ? 8, m ? ?
ab

5.B

1 2 a 1 2 a ? 2a b ? 0, b ? 2a b ? 0, a ? b , a ? b ,cos ? ? ? 2 ? 2 a b a
2 2 2 2

6.D

3 1 ? ? sin ? cos ? ,sin 2? ? 1, 2? ? 900 , ? ? 450 2 3

二、填空题
6

1. 120

0

a b (a ? b ) a ? 0 , 2 a ? a b? 0 , c ?o s? a b
?

2 ? a ? a b

1 或画图来做 ? ,? 2

2. (2, ?1)

设 c ? xa ? yb ,则 ( x, 2 x) ? (?2 y,3 y) ? ( x ? 2 y, 2 x ? 3 y) ? (4,1)

x ? 2 y ? 4, 2 x ? 3 y ? 1, x ? 2, y ? ?1
3.

23 8

(3 a? 5 b )(ma ? b) ? 3ma 2 ? (5m ? 3)a b ? 5b 2 ? 0
3m ? (5m ? 3) ? 2 ? cos600 ? 5 ? 4 ? 0,8m ? 23

4. 2 5.

A B? C B ? CD ?

A? B

B? C

C? D

A ?C

C ?D 2 ? AD

65 5

a cos ? ?

ab b

?

13 65

三、解答题 1.解:设 c ? ( x, y) ,则 cos ? a, c ?? cos ? b , c ?,

? 2 ? x ? ? ?x ? ? ? x ? 2 y ? 2x ? y ? ? 2 得? 2 ,即 ? 或? 2 ?x ? y ? 1 ?y ? 2 ?y ? ? ? ? ? ? 2
c ?( 2 2 2 2 , ) 或 (? ,? ) 2 2 2 2

2 2 2 2

2.证明:记 AB ? a, AD ? b , 则 AC ? a ? b , DB ? a ? b ,

AC ? DB ? (a ? b )2 ? (a ? b )2 ? 2a 2 ? 2b 2
? AC ? DB ? 2 a ? 2 b
3.证明:
2 2 2 2

2

2

a d ? a [(a c )b ? (a b )c ] ? (a c )(a b ) ? (a b )c a
? (a c )(a b ) ? (a c )(a b ) ? 0
?a ? d

4.(1)证明:

(a ? b ) (a ? b ) ? a 2 ? b 2 ? (cos2 ? ? sin2 ? ) ? (cos2 ? ? sin2 ? ) ? 0
? a ? b 与 a ? b 互相垂直

(2) k a ? b ? (k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ) ;
?

?

?

a ? k b ? (cos ? ? k cos ? ,sin ? ? k sin ? )
7

?

k a ? b ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )
?

?

a ? kb ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )
k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

2 而 k ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ?

cos(? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ?

?
2

8


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