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放缩法证明数列不等式的基本策略


放缩法证明数列不等式的基本策略
姜海涛 广外外校 放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对不等 式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化,其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式,因 其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这 一难点,我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。

一、常见的放缩方法
1.“添舍”放缩:对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果; 2.分式放缩:分别放缩分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果; 3.利用重要的不等式或结论放缩:把欲证不等式变形构造,然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩, 例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质等。 4.单调性放缩:挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数,利用单调性、值域产 生的不等关系进行放缩。

二、常见的放缩控制
当我们选择了正确的放缩方法后, 却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控, 导致放缩的过大或过小, 达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢? 求证:
1 1
2

?

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1 n
2

?

7 4

分析 1:不等式左边不能直接求和,我们希望通过合适的放缩后可以求和。 若采取“
1 n
2

? 1

1 n ( n ? 1) ? 1 2?3

?

1 ( n ? 1) 1

?

1 n

( n ? 2 ) ”的方法向右端放大,

则左边 ? 1 ?

1? 2

??

1 1 1 1 1 1 1 7 ?1? ( ? ) ? ( ? )?? ? ( ? ) ? 2? ? 2 ? 1 2 2 3 n ?1 n n 4 ( n ? 1) ? n

很明显,放得有点大了,导致传递性失败,不等式链中断,放缩失败。那怎么办呢? 1.调整放缩的“量”的大小 分析 2:分析 1 中“放”的有点过大,因为
1 2
2

?

1 1? 2

,放大了

1

1 1 , 2 ? ,放大了 4 3 2? 3

1 18

, ?

所以可以

通过调整放大的“量”来控制放缩的效果。在 减少 1,即 证明:左边<1 ?
1 2 1 n
2

1 n
2

?

1 n ( n ? 1)

分母减少了 n,我们可以把分母只

?

1 n ?1
2

?

1

2 n ?1

(

1

?

( n ? 2),这样放的量就少了。 ) n ?1

1

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) +? ? ( ? ) ? =1+ (1 ? ? ? ) ? <1+ (1 ? ) = 4 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 2 2 n n ?1 2 2

2.调整放缩的“项”的起点 分析 3:分析 1 中从第二项开始放缩,放的最终有点大。可以调整放缩的项数,从第三项开始放缩。 证明:左边 ? 1 ?
1 4 ? 1 2?3 ?? 1 ( n ? 1) ? n
?1? 1 4 ?( 1 2 ? 1 3 )?? ? ( 1 n ?1 ? 1 n ) ?? 7 4 ? 1 n ? 7 4

由此可见,调整成功。显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小 些。以此类推,当放缩的项数越少,放缩后的结果就会越来越精细,越来越逼近目标。 除此之外,还可以调整放缩的次数,通过多次放缩的调整来达到效果;有时也可以根据欲证式子 的结构特点,把相邻的项分组捆绑后进行放缩,也可以达到控制放缩合理和尺度的效果。

三、常见的问题类型
数列型不等式的一边常与求和有关,所以可以通过放缩后求和(或求和后放缩)来达到欲证的目标。 一.放缩与“公式法求和” 二.放缩与“裂项法求和” 三.放缩与“并项法求和” 四.利用“累加法”构造和数列 五.利用递推关系放缩 如果不等式的一边与求和没有直接的关系,也可以辨析题目的结构特征选择合适的方法进行处理。 六.利用单调性放缩 七.利用二项展开式放缩 八.利用换元法放缩


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