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《三维设计》2014届高考数学理科一轮复习教师备选作业第六章 第六节 直接证明与间接证明


第六章 第六节 直接证明与间接证明
一、选择题 1.若函数 F(x)=f(x)+f(-x)与 G(x)=f(x)-f(-x),其中 f(x)的定义域为 R,且 f(x)不恒 为零,则 A.F(x)、G(x)均为偶函数 B.F(x)为奇函数,G(x)为偶函数 C.F(x)与 G(x)均为奇函数 D.F(x)为偶函数,G(x)为奇函数 2.设 S 是至少含有两个元素的集合.

在 S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的 a,b ∈S,对于有序元素对(a,b),在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应).若对任意的 a,b∈ S, 有 a*(b*a)=b,则对任意的 a,b∈S,下列等式中不恒成立的 是 A.(a*b)*a=a B.[a*(b*a)]*(a*b)=a C.b*(b*b)=b D.(a*b)*[b*(a*b)]=b 3.函数 y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数 y=f(x+2)是偶函数,则 f(1),f(2.5) ,f(3.5)的 大小关系是 A.f(2.5)<f( 1)<f(3.5) B.f(2.5)>f(1)>f(3.5) C.f(3.5)>f(2.5)>f(1) D.f(1)>f(3.5)>f(2.5) 4. 如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值, 则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 5.不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,并且 x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的等 比中项,则 x2,b2,y2 三数 A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列 6.已知△ABC 的顶点 A(x,y),B(-1,0),C(1,0),若△ABC 满足的条件分别是:(1)△ ( ) ) ( ) ( ) ( )

ABC 的周长是 6;(2)∠A=90° ;(3)kAB· kAC=1;(4)kAB-kAC=-2.下面给出了点 A 的轨迹方 程:(a)x2+y2=1(y≠0);(b)x2-y2=1(y≠0); x2 y2 (c) + =1(y≠0);(d)y=x2-1(y≠0). 4 3 其中与条件(1)(2)(3)(4)分别对应的轨迹方程的代码依次是 A.(a)(b)(c)(d) C.(d)(a)(b)(c) 二、填空题 7.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数 f(x)在[0,1]上有意义,且 f(0)=f(1), 1 如果对于不同的 x1, x2∈[0,1], 都有|f(x1) -f(x2)|<|x1-x2|, 求证: |f(x1)-f(x2)|< .那么他的反 设 2 应该是________. 1 1 1 1 3 8.设 Sn= + + +?+ (n∈N*),且 Sn+1· Sn+2= ,则 n 的值是________. 2 6 12 4 n?n+1? 9.定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质:(1)2] 三、解答题 10.在锐角三角形中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. . B.(c)(a)(d)(b) D.(c)(a)(b)(d) ( )

11.用反证法证明:若 a,b,c,d∈R,且 ad-bc=1,则 a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.

12.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an,an+1)(n∈N*)在函数 y=x2+1 的图 象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+2an, 求证:bn· bn+2<b2 n+1.

详解答案
一、选择题 1.解析:∵f(x)的定义域为 R,∴F(x)=f(x)+f(-x), G(x)=f(x)-f(-x)的定义域也为 R. 又 F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x), G(-x)=f(-x)-f(x)=-G(x), ∴F(x)为偶函数,G(x)为奇函数. 答案:D 2.解析:此题只有一个已知条件:a*(b*a)=b. B 中 a*(b*a)=b 原式变为 b*(a*b)=a,成立. C 中相当于已知条件中 a 替换为 b,明显成立. D 中,b*(a*b)=a,原式变为(a*b)*a=b 成立. 答案:A 3.解析:因为函数 y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数 y=f(x+2)是偶函数,所以 x=2 是 对称轴,在(2,4)上为减函数,由图象知 f(2.5)>f(1)>f(3.5). 答案:B 4.解析:由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角 形,假设△A2B2C2 是锐角三角形.

? ? π 由?sin B =cos B =sin?2-B ? ? -C ? ?sin C =cos C =sin?π 2
2 1 1 2 1 1

π sin A2=cos A1=sin? -A1? 2



? ? π 得?B =2-B ? -C ?C =π 2
2 2

π A 2= - A 1 2
1

.

[来源:Z.xx.k.Com]

1

π 那么 A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为 180° 相矛盾. 2 所以假设不成立,所以△A2B2C2 是钝角三角形.

答案:D a+c=2b, ① ? ?2 ② 5.解析:由已知条件,可得?x =ab 2 ? ③ ?y =bc.

?a= b , 由②③得? y ?c= b .
2

x2

x2 y2 代入①,得 + =2b, b b

即 x2+y2=2b2. 故 x2,b2,y2 成等差数列. 答案:B 6.解析:由△ABC 的周长是 6,|BC|=2,可知点 A 在以 B, C 为焦点的椭圆上,y≠0, 与(c)相对应;由∠A=90° ,可知点 A 在以 BC 为直径的圆 x2+y2=1 上,y≠0;由 kAB· kAC= 1,化简得 x2-y2=1(y≠0);显然(4)与(d)相对应. 答案:D 二、填空题 1 7.答案:“?x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|则|f(x1)-f(x2)|≥ ” 2 1 1 1 8.解析:由 = - 得 n?n+1? n n+1 n+1 n+2 n+1 1 1 1 1 1 1 1 n 到 Sn=(1- )+( - )+( - )+?+( - )= ,S · S = · = = 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1 n+2 n+2 n+3 n+3 3 ,解得 n=5. 4 答案:5
[来源:Z_xx_k.Com]

?2n+2?*2 006 9.解析:由(2n+2)*2 006=3· [(2n)*2 006]得 =3,所以数列{ (2n)* 2 006} ?2n?*2 006 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,故 2 012]答案:31 005 三、解答题 π 10.证明:∵在锐角三角形中,A+B> , 2 π ∴A> -B. 2 π π ∴0< -B<A< . 2 2 π 又∵在(0, )内正弦函数是单调递增函数, 2 π ∴sin A>sin( -B)=cos B. 2
[来源:Z_xx_k.Com]

即 sin A>cos B,同理 sin B>cos C,sin C>cos A. ∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 11.证明:假设 a2+b2+c2+d2+ab+cd=1, ∵ad-bc=1, ∴a2+b2+c2+d2+ab+cd-ad+bc=0. 即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0. ∴必有 a+b=0,c+d =0,a-d=0,b+c=0. 可得 a=b=c=d=0. 与 ad-bc=1 矛盾, ∴a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.
[来源 :Z+xx+k.Com]

12.解:(1)由已知得 an+1=an+1,则 an+1-an=1,又 a1=1,所以数列{an}是以 1 为 首项,1 为公差的等差数列.故 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知,an=n,从而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2-b1)+b1 =2
n-1

+2

n-2

1-2n n +?+2+1= =2 -1. 1-2
+ +

n n 2 因为 bn· bn+2-b2 -1)-(2n 1-1)2 n+1=(2 -1)(2

=(22n 2-2n 2-2n+1)-(22n 2-2· 2n 1+1)
+ + + +

=-2n< 0, 所以 bn· bn+2<b2 n+1.
[来源:学科网]


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