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2012 广东各地 高考二模 (文数) 打包 (二)


2012 广东 各地 高考二模 (文数)打包: 高考二模 文数)打包: 茂名 韶关 湛江 梅州 汕头 东莞 揭阳
广东省茂名市 2012 届高三 4 月第二次高考模拟考试 数学( 数学(文)
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目。 2.选择题每小题选出答案后,用 2

B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求 作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 5.参考公式: V锥体 =

1 S ?h 3 底

S球面积 = 4π R 2

第一部分

选择题(共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.若集合 A= x | x ≤ 1,x ∈ R , B = {x | y = A A.

{

}

x } ,则 A I B =(
C.

) D. ?

{ x | ?1 ≤ x ≤ 1}
1 ≥ 2( x ≠ 0) ; x

B.

{ x | x ≥ 0}
) ②

{ x | 0 ≤ x ≤ 1}

2. 下列三个不等式中,恒成立的个数有( ①x+

c c a+m a < ( a > b > c > 0) ;③ > ( a, b, m > 0, a < b) 。A a b b+m b
D.0 ) D. y = x 2



3

B.2

C.1

( ) 3.下列函数,其中既是偶函数又在区间 0,1 上单调递减的函数为(
A. y =

1 x

B. y = lg x

C. y = cos x

4.在 ?ABC 中, " sin A > A.充分不必要条件 C.充要条件

3 π " 是" ∠A > " 的( 2 3

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. 在一次班级聚会上,某班到会的女同学比男同学多 6 人,从这些同学 中随机挑选一人表演节目.若选到女同学的概率为 会的同学的人数为( ) . )

2 ,则这班参加聚 3

A.12 B. 18 C. 24 D. 32 6.若如右图所示的程序框图输出的 S 是 30 ,则①可以为 (

A. n ≤ 2 ? B. n ≤ 3 ? C. n ≤ 4 ? D. n ≤ 5 ? 7.已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3, 4, x ,且它的 8 个顶点 都在同一个球面上,这个球面的表面积为 125π 则 x 的值为( A.5 B.6 C.8 D.10 )

第6题图

8.已知等比数列{an}的前 n 项和 s n = t ? 2 n ?1 + 1 ,则实数 t 的值为(



A.-2

B.0 或-2

C.2

D.

1 2

9.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2) 时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 011)+f(2 012)的值为( A.-2 B.-1 C.2 D.1 )

10. 在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ > ”为全体实数排了一个“序” .类似的,我们在平面向量集

D = {a | a = ( x, y), x ∈ R, y ∈ R} 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“ f ” .定义如下:
. 对于任意两个向量 a1 = ( x1 , y1 ), a2 = ( x2 , y2 ), , a1 f a2 当且仅当“ x1 > x2 ”或“ x1 = x2且y1 > y2 ” 按上述定义的关系“ f ” ,给出如下四个命题: ①若 e1 = (1,0 ), e2 = (0,1) , 0 = (0,0) 则 e1 f e2 f 0 ; ②若 a1 f a2 , a2 f a3 ,则 a1 f a3 ; ③若 a1 f a2 ,则对于任意 a ∈ D , a1 + a f a2 + a ; ④对于任意向量 a f 0 , 0 = (0,0) ,若 a1 f a2 ,则 a ? a1 > a ? a2 . 其中真命题的序号为( ) A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.②③④

第二部分

非选择题( 非选择题(共 100 分)

小题, 小题给分, 二、填空题(本大题共 5 小题,第 14、15 小题任选一道作答,多选的按第 14 小题给分,共 20 分) 填空题( 、 小题任选一道作答, 11.已知复数 z = x + yi ( x, y ∈ R ) ,且 z ? 2 = 1 ,则 x 、y 满足的轨迹方程是__________. 12.如图是某赛季 CBA 广东东莞银行队甲乙两名篮球运动员每场 比赛得分的茎叶图,则甲乙两人比赛得分的中位数之和是________. 13.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点,焦点 2 在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 ,且它们在第一象限 6 甲 2 2 3 3 4 3 4 5 0 1 2 3 4 乙 2 3 1 0 3 1 4 1 4 9

2

的交点为 P , ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若 | PF1 |= 10 ,双曲线的离心率的值为 2,则该椭圆 的离心率的值为________. 选做题:以下两题任选一道作答, 题正误给分。 选做题:以下两题任选一道作答,两题都答的按第 14 题正误给分。 14. 坐标系与参数方程选做题) (坐标系与参数方程选做题 . 坐标系与参数方程选做题) ( 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x = 1 + cos θ (θ 为参数) 则曲线 C 上的点到直线 x + y + 2 = 0 的距离的最 , ? y = sin θ

P

E O

大值为 。 15. (几何证明选做题) 几何证明选做题) 如图,已知 P 是⊙O 外一点, PD 为⊙O 的切线, D 为切点, 割线 PEF 经过圆心 O ,若 PF = 12 , PD = 4 3 ,则⊙O 的半径长为 .

第15题图

小题, 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 16. (本小题满分 12 分)

对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 100 人,其中女性 60 人,男性 40 人.女性 中有 38 人主要的休闲方式是看电视,另外 22 人主要的休闲方式是运动;男性中有 15 人主要 的休闲方式是看电视,另外 25 人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关.
参考公式: K 2 =

n(ad ? bc)2 ;n = a+b+c+d (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.83

P( K 2 > k )
k

0.50 0.455

参考数据: ×40×53×47=5978400,620×620=384400, 60

384400

÷

59784≈6.4298.

17. 本小题满分 12 分) ( 如 图 , 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 , AB=AD=2 ,

∠BAD = x, ?BCD 是正三角形.
(1)将四边形 ABCD 的面积 S 表示为 x 的函数; (2)求 S 的最大值及此时的 x 值.

第17题图

18. (本小题满分 14 分)

?x > 0 ? (n ∈ N ? ) 表示的平面区域为 Dn , Dn 内的整点 在平面直角坐标系上, 设不等式组 ? y ≥ 0 记 (横 ? y ≤ ?2n( x ? 3) ?
坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 a n . ; (1)求出 a1 , a2 , a3 的值(不要求写过程)

(2)证明数列 {an } 为等差数列; (3)令 bn=

1 (n∈N*) ,求 b1+b2+…+bn. a n a n +1

19.(本小题满分 14 分) ( 如图所示, 圆柱的高为 2,PA 是圆柱的母线, ABCD 为矩形, AB=2, BC=4, E、F、G 分别是线段 PA,PD,CD 的中点。 (1)求证:平面 PDC ⊥ 平面 PAD; (2)求证:PB//面 EFG; (3)在线段 BC 上是否存在一点 M,使得 D 到平面 PAM 的距离为 2?若存 在,求出 BM;若不存在,请说明理由。 20. (本小题满分 14 分)

第19题图

在平面直角坐标系 xoy 中,动点 M 到定点 F (0, ) 的距离比它到 x 轴的距离大 是曲线 E . (1)求曲线 E 的轨迹方程;

1 4

1 ,设动点 M 的轨迹 4

(2) 设直线 l : x ? y + 2 = 0 与曲线 E 相交于 A 、 B 两点,已知圆 C 经过原点 O 和 A、B 两点,求圆 C 的 方程,并判断点 M (0,4) 关于直线 l 的对称点 M ′ 是否在圆 C 上.

21. (本小题满分 14 分)

已知二次函数 f (x ) 满足: 当 x = 2 时有极值; 图象与 y 轴交点的纵坐标为 ?4 ,且在该点 处的切线与直线 4 x + y ? 4 = 0 平行. (1)求 f (-1) 的值; (2)若 m ∈ R ,求函数 y = f ( x ln x +m), x ∈ [1, e] 的最小值; (3)若曲线 y = f (ln x), x ∈ (1,+∞ ) 上任意一点处的切线的斜率恒大于 k 3 ? k ? 4 ,求 k 的取值范 围.

茂名市 2012 年第二次高考模拟考试 数学试试卷(文科) 数学试试卷(文科)参考答案和评分标准
小题, 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 选择题( ) 1 2 3 4 5 6 题号 答案 C B C A B C 7 D 8 A 9 D 10 B

部分试题提示:

7. 因为球的半径为R=

25 + x 2 ,所以有 4π ( 2

25 + x 2 2 ) = 125π , 所以x = 10 2

9. 由 f(x+2)=f(x)知 f(x)是周期为 2 的函数,
∴f(-2 011)+f(2 012)=f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(0)=log22+log21=1. 10.(1)①显然正确 (2)设 a1 = ( x1 , y1 ), a2 = ( x2 , y2 ), a3 = ( x3 , y3 ) 由 a1 由 a2

f a2 ,得“ x1 > x2 ”或“ x1 = x2且y1 > y2 ”
f a3 ,得“ x2 > x3 ”或“ x2 = x3且y2 > y3 ”

若x1 > x2 > x3 ,则 a1 f a3
若“ x1 > x2 ”且“ x2 = x3且y2 > y3 ”,则 x1 > x3 ,所以 a1 f a3 若“ x1 = x2且y1 > y2 ” 且“ x2 > x3 ”,则 x1 > x3 ,所以 a1 f a3 若“ x1 = x2且y1 > y2 ” 且“ x2 = x3且y2 > y3 ”,则 x1 = x3且y1 > y3 ,所以 a1 f a3 综上所述,若 a1 f a2 , a2 f a3 ,则 a1 f a3 所以②正确 (3)设 a1

= ( x1 , y1 ), a2 = ( x2 , y2 ), a = ( x, y ) ,则

a1 + a = ( x1 + x , y1 + y ), a2 + a = ( x2 + x, y2 + y)
由 a1

f a2 ,得“ x1 > x2 ”或“ x1 = x2且y1 > y2 ”

若 x1 > x2 ,则 x1 + x > x2 + x ,所以 a1

+ a f a3 + a + a f a3 + a

若 x1 = x2且y1 > y2 ,则 x1 + x = x2 + x且y1 + y > y 2 + y ,所以 a1 综上所述,若 a1 f a2 ,则对于任意 a ∈ D , a1 + a f a2 + a 所以③正确 (4) a1

= ( x1 , y1 ), a2 = ( x2 , y2 ), a = ( x, y )

由a 由 a1

f 0得

“ x > 0 ”或“ x = 0且y > 0 ”

f a2 得 “ x1 > x2 ”或“ x1 = x 2且 y 1 > y 2 ”

,则 x x1 = xx2 = 0 且yy1 < yy2 , 若“ x = 0且y > 0 ”且“ x1 > x2 且y1 < y2 ” 所以 xx1 + yy1 < xx2 + yy2

所以 a ? a1 < a ? a 2 所以④不正确 综上所述,①②③正确,选 B 小题, 小题给分, 二、填空题(本大题共 5 小题,第 14、15 小题任选一道作答,多选的按第 14 小题给分,共 20 分) 填空题( 、 小题任选一道作答, 11.

( x ? 2)

2

+ y2 = 1

12.120

13.

2 5

14.

3 2 +1 2

15.4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) ( 小题, 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 本小题满分 12 分) ( 解: (1)2×2 列联表如下: 休 闲 看电视 运动 总计 方 性 式 别

女 男 总计

38 15 53

22 25 47

60 40 100

………………………………6 分

(2)假设“休闲方式与性别无关”. 由表中数据计算得, k = 100(38 × 25 ? 22 × 15) 2 ≈ 6.430 60 × 40 × 53 × 47 ..……………………10 分

因为 k≥5.024,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的,即有 97.5%的把 ………………………12 分 握认为“休闲方式与性别有关”. 17.解(本小题满分12分) (1)在?ABD中由余弦定理得 BD 2 = AB 2 + AD 2 ? 2 AB ? AD cos x = 2 2 + 22 ? 2 × 2 × 2 cos x = 8 ? 8cos x.......2分
Q ?BCD的面积为 S1 =
?ABD的面积为 S 2 =

1 π 3 BD 2 sin = (8 ? 8 cos x) = 2 3 ? 2 3 cos x.........3分 2 3 4
………………………………4 分

1 AB ? AD sin x = 2 sin x 2

Q x为?ABD的一内角,∴ x ∈ (0, π )

…………………………………………5 分

∴四边形 ABCD的面积 S = S1 + S 2 = 2 3 ? 2 3 cos x + 2 sin x, x ∈ (0, π ) ……6 分

π (2) Q S = 2 3 ? 2 3 cos x + 2sin x = 4 sin( x ? ) + 2 3, x ∈ (0, π ) 3
Q x ∈ (0, π ),∴ ? ∴ 当x ?

……………9 分

π π 2π < x? < 3 3 3

……………………………………10 分

π π 5π = , 即x = 时, S取得最大, S max = 4 + 2 3 . 3 2 6

……………………12 分

18. (本小题满分 14 分) 解: (1) a1 = 9, a 2 = 15, a3 = 21; (2)由 x > 0, y ≥ 0,?2n( x ? 3) ≥ y ≥ 0得0 < x ≤ 0 …………………………3 分 …………………4 分

所以平面区域为 Dn 内的整点为点(3,0)与在直线 x = 1和x = 2 上, . …………………5 分 直线 y = ?2n ( x ? 3) 与直线 x = 1和x = 2 交点纵坐标分别为 y1 = 4n和y 2 = 2n ………6 分

Dn 内在直线 x = 1和x = 2 上的整点个数分别为 4n+1 和 2n+1, ∴ a n = 4 n + 1 + 2n + 1 + 1 = 6n + 3
Q a n+1 ? a n = 6n + 9 ? (6n + 3) = 6
∴ 数列 {an } 为 以首项a1 = 9, 公差为6的 等差数列.
(3)∵bn= …………………………………7 分 ………………………8 分 . …………………9 分

1 1 1 1 = ( ? ) a n an +1 6 6n + 3 6( n + 1) + 3

………………………10 分

∴ b1+b2+…+bn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = [( ? ? ? ? )+( )+( )+ ??? +( )] 6 6 ×1 + 3 6 × 2 + 3 6× 2 + 3 6×3 + 3 6×3 + 3 6× 4 + 3 6n + 3 6( n + 1) + 3
1 1 1 n = ( ? )= 6 6 × 1 + 3 6(n + 1) + 3 27(2n + 3)
……………………… ………………………14 分

19. (本小题满分 14 分) 证 明 ( 1 ) ∵ PA 是 圆 柱 的 母 线 , ∴ PA ⊥ 圆 柱 的 底 面。……………………………………1 分 ∵CD ? 圆柱的底面,∴PA ⊥ CD 又∵ABCD 为矩形,∴CD ⊥ AD 而 AD I PA=A , ∴ CD ⊥ 平 面 PAD ………………………………………3 分 又 CD ? 平 面 PDC , ∴ 平 面 PDC ⊥ 平 面 PAD 。 ………………………………………4 分 (2)取 AB 中点 H,连结 GH,HE, ∵E,F,G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点, ∴GH//AD//EF, ∴E,F,G,H 四点共面。 ……………………… ………………………6 分 又 H 为 AB 中点,∴EH//PB。 ……………………… ………………………7 分 又 EH ? 面 EFG, PB ? 平面 EFG, ∴PB//面 EFG。 ……………………… ………………………9 分 (3)假设在 BC 上存在一点 M,使得点 D 到平面 PAM 的距离为 2,则以 ? PAM 为底 D 为顶点的三棱锥 的高为 2,连结 AM,则 AM=

AB 2 + BM 2 = 2 2 + BM 2 ,

由(2)知 PA ⊥ AM

∴S ?

PAM=

1 1 3 3 1 1 ∵ S ?AMD = AD ? AB = × 4 × 2 = 4 2 2 1 1 8 ∴ VP ? AMD = S ?AMD ? PA = × 4 × 2 = 3 3 3
∴VD—PAM= ? S ?PAM ? 2 = ? ∵VD—PAM = VP ? AMD ∴

1 1 PA ? AM = × 2 2 2 + BM 2 = 4 + BM 2 2 2 2 4 + BM 2 ? 2 = 4 + BM 2 ……………………11 分 3

…………………12 分

2 8 4 + BM 2 = 3 3

解得: BM = 2 3

∵2 3 < 4 ∴在 BC 上存在一点 M,当 BM = 2 3 使得点 D 到平面 PAM 的距离为 2。. …………14 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知,即动点 M 到定点 F (0, ) 的距离等于它到定直线 x = ?

1 的距离,…2 分 4 1 1 ∴动点 M 的轨迹曲线 E 是顶点在原点,焦点为 F (0, ) 的抛物线和点 (0, ? ) …………4 分 4 4 1 ∴曲线 E 的轨迹方程为 x 2 = y 和 y = ? ( x = 0) . …………………………6 分 4

1 4

(2)由 ?

?x ? y + 2 = 0 ?x = y
2

解得 ?

? x = ?1 ? x = 2 或? ?y =1 ?y = 4

……………………………8 分

即 A(?1,1) , B ( 2,4) 设过原点与点 A 、 B 的圆 C 的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,

?F = 0 ? D = ?2 ? ? 则 ?1 + 1 ? D + E + F = 0 ,解得 ? E = ?4 ?4 + 16 + 2 D + 4 E + F = 0 ?F = 0 ? ?
∴圆 C 的方程为 x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y = 0 即 ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 5 ……………10 分

由上可知,过点 M (0,4) 且与直线 l 垂直的直线 MM ′ 方程为: y = ? x + 4 解方程组 ?

? y = ?x + 4 ?x = 1 ,得 ? ?x ? y + 2 = 0 ?y = 3
……………………………12 分

即线段 MM ′ 中点坐标为 H (1,3)

从而易得点 M (0,4) 关于直线 l 的对称点 M ′ 的坐标为 M ′( 2,2) 把代入 M ′( 2,2) 代入: ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 ≠ 5

∴点 M ′( 2,2) 不在圆 C 上.

…………………………………14 分

21. (本小题满分 14 分) 解:(1)设 f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ,由题意可得:
f (0) = ?4,∴ c = ?4
……………………………………………………………1 分

∴ f ′( x ) = 2ax + b. ∵在 x = 2 处有极值, ∴ f ′(2) = 0,即4a + b = 0.
…………………………………………………………… 2 分

∵ 在点(0, ?4)处的切线与直线4x+y ? 4=0平行, ∴ f ′(0) = ?4,即b = ?4, 故a = 1, ……………………………………………………………3 分 ∴ f ( x) = x 2 ? 4 x ? 4, f (-1) = 1+4 ? 4 = 1 . ………………………………………………4 分 (2)∵ f ( x) = x 2 ? 4 x ? 4 = ( x ? 2) 2 ? 8 ∴ y = f ( x ln x + m) = ( x ln x + m ? 2) 2 ? 8. ………………………………………………5 分 令 t = x ln x ∴ 当x ∈ [1, e ]时,t ′ = 1 + ln x ≥ 1 > 0 ∴ t = x ln x在x ∈ [1, e ] 上单调递增, 0 ≤ t ≤ e, …………………………………………6 分 ∴ ∴ y = g (t ) = (t + m ? 2) 2 ? 8.(0 ≤ t ≤ e) ∵ 函数y = g (t ) = (t + m ? 2)2 ? 8.(0 ≤ t ≤ e)的对称轴为t = 2 ? m .…………………7 分


当2-m ≤ 0,即m ≥ 2时,函数y = g (t )在区间[0,e]单调增, 所以ymin = g (0) = (m ? 2)2 ? 8
…………………………………………………8 分 ② 当0 < 2-m < e, 即2-e < m < 2时,

函数y = g (t )在顶点取得最小值,所以ymin = g (2-m) = ?8 …………………9 分


当2-m ≥ e, 即m ≤ 2 ? e时,函数y = g (t )在区间[0,e]单调递减,所以 ymin = g (e) = (e + m ? 2) 2 ? 8
…………………………………………………………………………10 分

(3) f (ln x) = (ln x) 2 ? 4 ln x ? 4, 令t = ln x, ∵ x ∈ (1,+∞ ) , ∴ t > 0,∴ f (t ) = t 2 ? 4t ? 4,∴ f ′(t ) = 2t ? 4 .…………………………………………11 分 ∵ t > 0 ,∴ f ′(t ) > ?4 .
………………………………………………………12 分

由题意得 k 3 ? k ? 4 < f ′(t )恒成立, ∴ k 3 ? k ? 4 ≤ ?4,∴ k (k + 1)(k ? 1) ≤ 0,∴ k ≤ ?1或0 ≤ k ≤ 1 , ∴ k 的取值范围为 k ≤ ?1或0 ≤ k ≤ 1 .. ………………………………………………14 分

2012 届韶关高考模拟测试数学试题 文科 韶关高考模拟测试数学试题 文科) 高考模拟测试数学试题(文科
本卷分选择题非选择题两部分, 分钟. 本卷分选择题非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试用时间 120 分钟 考试用时间 注意事项: 注意事项: 1. 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上; . 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上; 2. 选择题、填空题每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得分; . 选择题、填空题每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得分; 3.考试结束,考生只需将答题卷交回 .考试结束,考生只需将答题卷交回. 参考公式: 4. 参考公式:

(1)锥体的体积公式 V =

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 是锥体的底面积, 是锥体的高. 3
= 1 n 是这组数据的平均数. ∑ ( xi ? x)2 ,其中 x 是这组数据的平均数. n i =1

(2)样本数据 x1 , x2 , L , xn 的方差, s 2 的方差,

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 选择题 本大题共 小题, 题目要求的) 题目要求的) 1.若复数 i ? (1 + ai ) 是纯虚数,则实数 a 的值是( ) A. 1 B. ?1 C. 0 D. 0 或 ?1

2.已知 R 是实数集, M = x | x 2 ? 2 x > 0 , N 是函数 y =

{

}

x 的定义域,则 N I C R M = (



A. (1, 2)
3.设 a = 2
2 5

B. [0, 2]

C. ?

D. [1, 2]

. , b = 2.50 , c = ( 1 )2.5 ,则 a, b, c 的大小关系是( ) 2 B. c > a > b C. a > b > c D. b > a > c A. a > c > b


4.设 x0 是方程 log 3 x = 3 ? x 的根,且 x0 ∈ (k , k + 1) ,则 k = ( A. (0,1) B. (1,3) C. (3,4)

D. (4,+ ∞ )

5.以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )

A. ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 C. x 2 + ( y ? 1)2 = 1
6.

B. ( x + 1)2 + y 2 = 1 D. x 2 + ( y + 1) 2 = 1

② α ⊥ β ? l // m ;③ l // m ? α ⊥ β ;④ l ⊥ m ? α // β .其中正确的命题有( )个 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7.函数 f ( x ) = cos ( x ?
2

已知直线 l ⊥ 平面 α ,直线 m ? 平面 β ,给出下列四个命题:① α // β ? l ⊥ m

π

A. 周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的奇函数

) ? cos 2 ( x + ) ( x ∈ R )是( ) 4 4

π

B. 周期为 π 的偶函数 D. 周期为 2π 的偶函数

?x + y + 5≥ 0 ? 8. 已知 x, y 满 足约束条件 ? x ? y ≤ 0 , z = 2 x + 4 y 的最小值是 则 ( ?y ≤0 ?



A. ?15
7 15 <P≤ 8 16

B. ?16
B. P >

C. ?17
7 15 ≤P< 8 16

D. ?18
3 7 <P≤ 4 8
图1

9.执行如图 1 所示的程序框图后, 输出的值为 5 , P 的取值范围 则 ( ) A.

15 16

C.

D.

10















?1, x > 0 ? sgn x = ?0, x = 0 ??1, x < 0 ?





1 1 sgn( ? x) + 1 sgn( x ? ) + 1 2 2 f ( x) = ? f1 ( x) + 2 2 1 ? f 2 ( x) , x ∈ [0,1] ,若 f1 ( x) = x + , ? f 2 ( x) = 2(1 ? x) , 则 f ( x) 的最大值等于( ) 2 3 1 A. 2 B. 1 C. D. 4 2
[来 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 填空题: 小题, 11.已知 A 是单位圆上的点,且点 A 在第二象限,点 B 是此圆与 x 轴正半轴的交点,记 ∠AOB = α , 若 点 A 的纵坐标为

3 .则 sin α = _____________; tan 2α = _______________. 5 r r r r r 12. 已知向量 a = (1,1) , b = (1,2) ,且 (k a ? b) ⊥ (b + a ) ,则实数 k 的值为

13.下列四个判断: ①某校高三一班和高三二班的人数分别是 m, n ,某次测试数学平均分分别是 a, b ,则这两个班的数学平均

分为

a+b ; 2

② 从 总 体 中 抽 取 的 样 本 ( x1 , y 2 ), ( x 2 , y2 ),L , ( xn , yn ), 若记 x =

1 n 1 n ∑ xi , y = n ∑ yi , 则 回 归 直 线 n i =1 i =1

y = bx + a 必过点( x, y )
③ 10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 设其平均数为 a ,中位数为

b ,众数为 c ,则有 c > a > b ;
④绘制频率分布直方图时,各个小长方形的面积等于相应各组的频率. 其中正确的序号是_______________ 题是选做题,只能做其中一个,两题全答只计前一题得分) (注意:14、15 题是选做题,只能做其中一个,两题全答只计前一题得分) 注意: 14. 几何证明选讲选做题 ) 如图, AB 是圆 O 的直径, AD = DE , (

AB = 8, BD = 6 ,则

DE = AC

;

15. 坐标系与参数方程选择题)已知直线 l 的方程为 ? (坐标系与参数方程选择题)

?x = 1+ t ,,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极 ? y = t ?1

轴 建 立 极 坐 标 系 , 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 ρ =1 , 则 圆 C 上 的 点 到 直 线 l 的 最 短 距 离 等 于 .

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 16.(本题满分 12 分) ( 数列 {an } 对任意 n ∈ N
*

,满足 an+ 1 = an + 1 , a3 = 2 .

(1)求数列 {an } 通项公式; (2)若 bn = ( ) n + n ,求 {bn } 的通项公式及前 n 项和.
a

1 3

17.(本题满分 12 分) ( 某中学在校就餐的高一年级学生有 440 名,高二年级学生有 460 名,高三年级学生有 500 名;为了解学校 食堂的服务质量情况,用分层抽样的方法从中抽取 70 名学生进行抽样调查,把学生对食堂的“服务满意 度”与“价格满意度”都分为五个等级:1 级(很不满意) 级(不满意) 级(一般) 级(满意) ;2 ;3 ;4 ; 5 级(很满意) ,其统计结果如下表(服务满意度为 x ,价格满意度为 y ). 人数 x 服 务 满 意 度 1 2 3 4 5 y 1 1 2 3 1 0 2 1 1 7 4 1 价格满意度 3 2 3 8 6 2 4 2 4 8 4 3 5 0 1 4 1 1

(1)求高二年级共抽取学生人数; (2)求“服务满意度”为 3 时的 5 个“价格满意度”数据的方差; (3)为提高食堂服务质量,现从 x < 3 且 2 ≤ y < 4 的所有学生中随机抽取两人征求意见,求至少有一人 的“服务满意度”为 1 的概率. 18.(本题满分 14 分) ( 如图(1)在等腰 ?ABC 中, D 、 E 、 F 分别是 AB 、 AC 、 BC 边的中点,现将 ?ACD 沿 CD 翻折,使 得平面 ACD ⊥ 平面 BCD .(如图(2)) (1)求证: AB // 平面 DEF ; (2)求证: BD ⊥ AC ; (3)设三棱锥 A ? BCD 的体积为 V1 、多面体 ABFED 的体积为 V2 ,求 V1 : V2 的值.

19. (本题满分 14 分) 在ΔABC 中,三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,其中 c = 2 , 且

cos A b 3 = = cos B a 1

(1)求证:ΔABC 是直角三角形; ︿ (2)设圆 O 过 A,B,C 三点,点 P 位于劣弧AC上, ∠PAB = θ ,用 θ 的三角函数表示三角形 ?PAC 的面 积,并求 ?PAC 面积最大值.

20.(本题满分 14 分) 本题满分 已知函数 f ( x ) = x ln x . (1)求函数 f ( x ) 的极值; (2)设函数 g ( x ) = f ( x) ? k ( x ? 1) ,其中 k ∈ R ,求函数 g ( x ) 在区间 [1, e] 上的最大值.

21.(本题满分 14 分) ( 在直角坐标系 xOy 中,动点 P 与定点 F (1, 0) 的距离和它到定直线 x = 2 的距离之比是 轨迹为 C1 , Q 是动圆 C2 : x + y = r (1 < r < 2) 上一点.
2 2 2

2 ,设动点 P 的 2

(1)求动点 P 的轨迹 C1 的方程,并说明轨迹是什么图形;

(2)设曲线 C1 上的三点 A( x1 , y1 ), B (1,

2 ), C ( x2 , y2 ) 与点 F 的距离成等差数列,若线段 AC 的垂直平分 2

线与 x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k ; (3)若直线 PQ 与 C1 和动圆 C2 均只有一个公共点,求 P 、 Q 两点的距离 PQ 的最大值.

2012 届韶关高考模拟测试数学试题 文科 韶关高考模拟测试数学试题 文科) 高考模拟测试数学试题(文科 参考答案和评分标准
说明: .参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同, 如果考生的解法与参考答案不同, 可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数. 分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 .对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时, 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. .解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. .只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题:CBCCA BAAAB 二.填空题:11. 15.

3 (2 分) 5

?

24 (3 分)12. 7

8 13.②④ 5

14.

3 4

2 ?1

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 16.(本题满分 14 分) . 解: (1)由已知得 an+ 1 - an = 1 又 a3 = 2 ,得 a1 = 0 ,所以 (2)由(1)得, bn = ( ) 数列 {an } 是等差数列,且公差 d = 1
……………2分

an = n ? 1 ……………………………………………………………4分
n ?1

1 3

+n,
1 3
n ?1

所以 S n = (1 + 1) + ( + 2) + ??? + ( )

1 3

1 1 1 + n = 1 + + 2 + ??? + n ?1 + (1 + 2 + 3 + ??? + n) 3 3 3

…………………………………………………………………………………………………6 分

1 1 ? ( )n 1? n 3 + n(n + 1) = 3 ? 3 + n(n + 1) . ……………………………12 分 Sn = 1 2 2 2 1? 3 17.(本题满分 12 分) . 本题满分 460 解: (1)共有 1400 名学生,高二级抽取的人数为 × 70 = 23 (人)…………3 分 1400 3+ 7 +8+8+ 4 (2) “服务满意度为 3”时的 5 个数据的平均数为 = 6 ,……………4 分 5
所以方差 s 2 =

(3 ? 6)2 + (7 ? 6)2 + 2(8 ? 6)2 + (4 ? 6)2
5

= 4.4 ………………6 分

(3)符合条件的所有学生共 7 人,其中“服务满意度为 2”的 4 人记为 a , b, c, d “服务满意度为 1”的 3 人记为 x, y, z .
……………………8 分

在这 7 人中抽取 2 人有如下情况: (a, b ), (a, c ), (a, d ), (a, x ), (a, y ), (a, z )

(b, c ), (b, d ), (b, x ), (b, y ), (b, z ) (c, d ), (c, x ), (c, y ), (c, z ) (d , x ), (d , y ), (d , z )

(x, y ), (x, z ), ( y, z ) 共 21 种情况. ……………………9 分
其中至少有一人的“服务满意度为 1”的情况有 15 种. ……………………11 分 所以至少有一人的“服务满意度”为 1 的概率为 p =

15 5 = ……………………12 分 21 7

18(本题满分 18(本题满分 14 分)

(1)证明:如图:在△ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF,EF ? 平面 DEF,∴AB∥平面 DEF.………………4 分 (2)∵平面 ACD ⊥ 平面 BCD 于 CD AD⊥CD, 且 AD ? 平面 ACD ∴ AD ⊥ 平面 BCD ,又 BD ? 平面 BCD ,∴ AD ⊥ BD ……………………7 分 又∵ CD ⊥ BD ,且 AD I CD = D ∴ BD ⊥ 平面 ACD ,又 AC ? 平面 ACD ∴ BD ⊥ AC .………………………………………………………………9 分 (3)由(2)可知 AD ⊥ 平面 BCD ,所以 AD 是三棱锥 A ? BCD 的高

1 ? AD ? S? BCD ……………………………………11 分 3 又∵ E 、 F 分别是 AC 、 BC 边的中点, ∴三棱锥 E ? CDF 的高是三棱锥 A ? BCD 高的一半 三棱锥 E ? CDF 的底面积是三棱锥 A ? BCD 底面积的一半 1 ∴三棱锥 E ? CDF 的体积 VE ?CDF = V1 …………………………………12 分 4 1 3 ∴ V2 = V1 ? VE ?CDF = V1 ? V1 = V1 …………………………………13 分 4 4
∴ V1 = ∴ V1 : V2 = 4 : 3. …………………………………14 分 19.(本题满分 14 分) ( (1)证明:由正弦定理得

cos A sin B = ,整理为 sin A cos A = sin B cos B , cos B sin A

即 sin2A=sin2B

π ∴2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= 2



b 3 = ,∴A=B 舍去. a 1

π π 由 A+B= 可知 c= ,∴ΔABC 是直角三角形…………………6 分 2 2 (2)由(1)及 c = 2 ,得 a =

3 , b = 1 …………………………………………………………7分
所以,

在 RtΔ PAB 中, PA = AB ? cos θ = 2 cos θ

S ?PAC =

1 π 1 π π PA ? AC ? sin(θ ? ) = ? 2 ? cos θ ? 3 ? sin(θ ? ) = 3 ? cos θ ? sin(θ ? ) …………………… 2 6 2 6 6

…………………………………………………………………………………9 分

= 3 cos θ (sin θ ?

3 1 ? cos θ ? ) 2 2

=

3 3 ( 3 sin 2θ ? cos 2θ ) + 4 4 3 π 3 π π sin(2θ ? ) ? , < θ < ………………………………………………12 分 2 6 4 6 2

=

π
因为

6
当 2θ ?

<θ <

π
,所以,

π
6

2
,即

< 2θ ?

π

5 < π 6 6 3 .………………………………12 分 4

π
6

=

π
2

θ=

π
3

时, S ?PAC 最大值等于

20.(本题满分 14 分) ( (1) f ′( x ) = ln x + 1( x > 0) .

…………………………………………………………1分
?1 ?1

令 f ′( x ) ≥ 0 ,得 ln x ≥ ?1 = ln e , x ≥ ln e

=

1 ; e

? 1? 令 f ′( x) ≤ 0 ,得 x ∈ ? 0, ? .…………………………………………………………3分 ? e?
1 ?1 ? ? 1? ?1? ∴ f ( x) 的单调递增区间是 ? , +∞ ? ,单调递减区间是 ? 0, ? , f ( x) min = f ? ? = ? . e ?e ? ? e? ?e?
极大值………………………………………………………………………5分 (2) g ( x ) = x ln x ? k ( x ? 1) ,则 g ′( x ) = ln x + 1 ? k ,由 g ′( x ) = 0 ,得 x = e
k ?1

f ( x) 无



所以,在区间 ( 0, e k ?1 ) 上, g ( x ) 为递减函数,在区间 ( e k ?1 , + ∞) 上, g ( x ) 为递增函 数.……………………………………………………………………………………8分 当e
k ?1

≤ 1 ,即 k ≤ 1 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递增函数,

所以, g ( x ) 最大值为 g ( e ) = e ? ke + k . 当1 < e
k ?1

…………………10 分

< e ,即 1 < k < 2 时, g ( x) 的最大值是 g (1) 或 g (e) e g (1) = g (e) ,得 k = e ?1 e 当1 < k < 时, g (e) = e ? ek + k > 0 = g (1) , g ( x ) 最大值为 g ( e ) = e ? ke + k e ?1 e 当 ≤ k < 2 时, g (e) = e ? ek + k < 0 = g (1) , g ( x) 最大值为 g (1) = 0 e ?1
………………………………………………………………………………12分 当e

≥ e ,即 k ≥ 2 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递减函数,所以 g ( x) 最大值为 g (1) = 0 . e e 综上,当 k < 时, g ( x ) 最大值为 e ? ke + k ; 当 k ≥ 时, g ( x ) 的最大值是 e ?1 e ?1 0 ……………………………………………………………………………14分

k ?1

21.(本题满分 14 分) ( 解: (1)由已知,得

( x ? 1) 2 + y 2 2 = ,………………………………………2 分. 2? x 2

将两边平方,并化简得

x2 + y 2 = 1 ,……………………………………………………4 分. 2

故轨迹 C1 的方程是

x2 + y 2 = 1 ,它是长轴、短轴分别为 2 2 、2 的椭圆………………4 分. 2
2 2 2 (2 ? x1 ) , BF = (2 ? 1) , CF = (2 ? x2 ) , 2 2 2 2 2 2 (2 ? x1 ) + (2 ? x2 ) = 2 × (2 ? 1) , 2 2 2

(2)由已知可得 AF =

因为 2 BF = AF + CF ,所以 即得 x1 + x2 = 2 ,



……………………………………………………5 分.

故线段 AC 的中点为 (1,

y + y2 x ?x y1 + y2 ) ,其垂直平分线方程为 y ? 1 = ? 1 2 ( x ? 1) , ② 2 2 y1 ? y2

……………………………………………………………………………………………6 分. 因为 A, C 在椭圆上,故有

x12 x2 + y12 = 1 , 2 + y2 2 = 1 ,两式相减, 2 2

得:

x12 ? x2 2 + y12 ? y2 2 = 0 2



将①代入③,化简得 ?

x1 ? x2 2( y1 + y2 ) = = y1 + y2 , y1 ? y2 x1 + x2

④ ………………………7 分.

将④代入②,并令 y = 0 得, x =

1 1 ,即 T 的坐标为 ( , 0) 。………………………8 分. 2 2

所以 k BT

2 ?0 = 2 = 2 .………………………………………………………………9 分. 1 1? 2

设 P ( x1 , y1 ) 、 Q ( x2 , y2 ) ,直线 PQ 的方程为 y = kx + m

? y1 = kx1 + m ? 因为 P 既在椭圆 C1 上又在直线 PQ 上,从而有 ? x 2 y 2 1 1 =1 ? + ? 2 1
将(1)代入(2)得 2k 2 + 1 x 2 + 4kmx + 2 m 2 ? 1 = 0
2

(1) (2)

(

)

(

)

………10 分.

由于直线 PQ 与椭圆 C1 相切,故 ? = ( 4km ) ? 4 × 2 m ? 1 2k + 1 = 0
2 2

(

)(

)

从而可得 m = 1 + 2k , x1 = ?
2 2

2k m

(3)

同理,由 Q 既在圆 C2 上又在直线 PQ 上,可得

m 2 = r 2 (1 + k 2 ) , x2 = ?
2

2k m

(4)……………………12 分

k (2 ? r2 ) r 2 ?1 由(3)(4)得 k = 、 , x2 ? x1 = 2 ? r2 m
所以 PQ = ( x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 ) = 1 + k
2 2 2 2 2 ( 2 ? r 2 ) ? r 2 ?1 m2 k ( 2 ? r ) = 2 ? = r m2 r2 2 ? r2 2 2

(

2

)( x

2

? x1 )

2

( 2 ? r )( r =
2

2

? 1)

r

2

= 3 ? r2 ?

2 ≤ 3 ? 2 2 = ( 2 ? 1) 2 …………………………13 分. 2 r

即 PQ ≤

2 ? 1 ,当且仅当 r 2 = 2 时取等号,

故 P 、 Q 两点的距离 PQ 的最大值 2 ? 1 . …………………………14 分.

年普通高考测试题( 湛江市 2012 年普通高考测试题(二) 数学(文科)
本试卷共 4 页,共 21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将答 题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号"和“座位号"栏填写试室号、座位号,将 相应的试室号、座位号信息点涂黑。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案,不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位里上;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无 效。 4. 考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合 A= {1,2,3,4},集合 B= {2,4},则 A B = A.{2,4} B. {1,3} C. {1,2,3,4} D.

2. 命题“若 a〉b,则 a(m2+ l)>b(m2 + l)”的逆否命题是 A.若“a>b,则 C.若 ,则 B.若 D.若 ,则 ,则 a〉b

3. 已知向量 m=(1,3),n=(x,1),若 m 丄 n,则 x= A. B. C. 3 D. -3

4. 通过随机询问 110 名大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 由上表算得 ,因此得到的正确结论是 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

A. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为"爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 5. 如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机 取一个点 P,则点 P 取自 AABE 内部的概率等于 A. B.

C. 6. 方程

D. 的一个根所在的区间是

A.(0,1)B. (1,2) C. (2,3)D. (3,4) 7. —个几何体的三视图及其尺寸如下,则该几何体的表面积为 A. C. B. D. 相切的直线方程为

8. 过点(0,2)且与圆 A.y = x + 2 C. B. D.

9. 设有两条直线 m、n 和两个平面 A 若 m 丄 n”,且 m//a,则”n 丄 a C.若 m//a,且 m//n,则 或 n//a

,则下列命题中错误的是 B.若 m//n,且 D若 ,且 ,则 ,则 m//n

10. 对一个定义在 R 上的函数 f(x)有以下四种说法: ① ③对任意 X1>X2>0 满足 则以上说法中能同时成立的最多有 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 ;②在区间(一 ,0)上单调递减;

;④是奇函数.

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11?13 题) 11. 抛物线 的焦点坐标为_________

12. 定义运算

=ad-bc, 若 复 数 x = i(I 为虛数单位) , ,

,则 y=_____

13. 运行如图所示框图,坐标满足不等式组

的点

共有________个. (二)选做题(14? 15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图, 中, ,圆 O 经过 B、C 且与

AB、AC 分别相交于 D、E.若 AE=EC=

’则圆 O 的半径 r =________.

15. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,

直线 l 的参数方程为

(参数

)圆的参数方程为 ,

(参数

) ,则圆心到直线 l 的距离为________

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}中,a2=2,前 4 项之和 S4 = 1O. (1) 求该数列的通项公式; (2) 令 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,面积 .

17. (本小题满分 12 分)在 (1) 求角 C 的大小; (2) 求 18. (本小题满分 14 分)

的最大值,以及取得最大值时角 A 的值.

四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2A 的正方形,各侧棱均与底面边长相等,E、F 分别是 PA、PC 的 中点. (1) 求 证 : PC//平 面 BDE (2) 求 证 : 平 面 BDE 丄 平 面 BDF; (3) 求四面体 E—BDF 的体积.

19. (本小题满分 14 分) 要制作一个如图的框架(单位:米),要求所围成的面积为 6 米 2,其中 ABCD 是一个矩形,E FC D 是 一 个 E 等 腰 梯 形 , EF=3CD, (1) 求 y 关于 x 的表达式; (2) 如何设计 X ,Y 的长度,才能使所用材料最少? , 设 AB = x 米 , BC=y 米 .

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1: 的左、右顶点分别是 A、B,P 是双曲线 =1 右支 x 轴上方的

一点,连结 AP 交椭圆于点 C,连结 PB 并延长交椭圆于点 D. (1) 若 a= 2b,求椭圆 C1 及双曲线 C2 的离心率; (2) 若ΔACD 和ΔPCD 的面积相等,求点 P 的坐标(用 a,b 表示).

21. (本小题满分 14 分) 设 x = 1 是函数 的一个极值点(e 为自然对数的底).

(1) 求 a 的值,并求函数 f(x)的单调区间; (2) 若函数 f(x)在闭区间[m,m+1]上的最小值为 0,最大值为 ,且 m〉一 1.试求 M 的值.

2011 揭阳市 2011 年高中毕业班第二次高考模拟考 数学(文科) 数学(文科)
小题, 分钟. 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 .答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 题卡上. 题卡上. 2.选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中,不能答在试卷上. .选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中,不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置 .非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液. 答案无效. 答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. .考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 参考公式 锥体的体积公式: V =

1 Sh ,其中 S 表示底面积,h 表示高. 3

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 题目要求的. 题目要求的. 1.已知集合 M = {x | ?1 ≤ x ≤ 1, x ∈ Z } , N = {0,1, 2} ,则 M I N 为 A. {1} 2.已知 sin x = B. {0,1, 2} C. {x | 0 ≤ x ≤ 1} D. {0,1}

1 π ,则 cos( + x ) 的值为 3 2
B.-

A.

1 3

1 3

C.

2 3 3

D.-

2 3 3

3.已知复数 z 满足 (1 ? i) z = 2 ,则 | z | 为 A. 1 + i B. 1 ? i C. 2 D.2

4.已知奇函数 f ( x ) 在 R 上单调递增,且 f (2 x ? 1) + f ( ) < 0. 则 x 的取值范围为 A. (?∞, )

1 2

1 4

B. ( , +∞)

1 4

C. (?∞, )

3 4

D. ( , +∞)

3 4

5.已知命题 p : ?x ∈ R , cos x = A.命题 p ∧ q 是真命题 C.命题 ?p ∧ q 是真命题

5 ;命题 q : ?x ∈ R, x 2 ? x + 1 > 0 .则下列结论正确的是 4 B.命题 p ∧ ?q 是真命题 C1 D.命题 ?p ∨ ?q 是假命题
B1 C A B

2

2

6.如图 1,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长和底面边长均为 4,且侧棱 A1

4

主主图 图1

AA1 ⊥ 底面 ABC ,其主视图(又称正视图)是边长为4的正方形,则
此三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为 A.16 B. 2 3 C. 4 3 D. 8 3

7.已知 a,b 是两条不重合的直线, α , β 是两个不重合的平面,下列命题中正确的是 A. a // b , b // α ,则 a // α B. a, b ? α , a // β , b // β ,则 α // β C. a ⊥ α , b // α ,则 a ⊥ b D.当 a ? α ,且 b ? α 时,若 b ∥ α ,则 a ∥ b 8.在 Rt?ABC 中, ∠C=90 , AC=3 ,则 AB ? AC =
0

uuu uuu r r

A. ?9

B.9

C. ?16

D.16

9.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市 居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中 n 位居民的月均用 水量分别为 x1 , L , xn (单位:吨).根据图 2 所示的程序框图,若

n = 2 ,且 x1 , x2 分别为 1, 2 ,则输出的结果 s 为.
A.1 B.

3 2

C.

1 4
2

D.

1 2

10.已知平面区域 ? = {( x, y ) | ?

?y ≥ 0 ?

?y ≤ 4? x ?

} ,直线 y = x + 2 和曲线 y = 4 ? x 2 围成的平面区域为 M,

向区域 ? 上随机投一点 A,则点 A 落在区域 M 内的概率 P ( M ) 为. A.

π ?2 4π

B.

π +2 4π

C.

π +2 2π

D.

π ?2 2π

小题, 小题, 二.填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 填空题: (一)必做题(11~13 题) 必做题(11~ 11.函数 f ( x ) =

1 的定义域为 ln( x ? 2)

.

12.双曲线

x2 y2 - =1 的离心率 e = 9 16

;焦点到渐近线的距离为

.

13.某校共有学生 2000 名,各年级男、女学生人数如右表 高一级 示,已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二级女生的 概率是 0.19,现用分层抽样的方法(按年级分层)在全校 女生 男生 385 375 高二级 高三级

a
360

b c

学生中抽取 64 人,则应在高三级中抽取的学生人数为

.
E D

考生只能从中选做一题, 两题全答的,只计前一题的得分) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题, 两题全答的,只计前一题的得分) 选做题(14、
A

14. 几何证明选做题)如图 3,BD ⊥ AE, ? C (几何证明选做题) AD=3,则 DE= ;CE= .

90 ,AB=4, BC=2,
B C

o

图3

15.(坐标系与参数方程选做题) 设 M 、 N 分别是曲线 ρ + 2 sin θ = 0 和 ρ s in(θ + (坐标系与参数方程选做题) 则 M 与 N 的最小距离是

π
4

)=

2 上的动点, 2

.

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,△ABC 的面积 S 满足 S = (1)求角 A 的值; (2)若 a =

3 bc cos A . 2

3 ,设角 B 的大小为 x, 用 x 表示 c ,并求 c 的最大值.

17.(本小题满分 12 分) 本小题满分 已知集合 A = {?2, 0, 2}, B = {?1,1} ,设 M={ ( x, y ) | x ∈ A , y ∈ B },在集合 M 内随机取出一个元素

( x, y ) .
2 2 (1)求以 ( x, y ) 为坐标的点落在圆 x + y = 1 上的概率;

? x ? y + 2 ≥ 0, ? (2)求以 ( x, y ) 为坐标的点位于区域 D: ? x + y ? 2 ≤ 0, 内(含边界)的概率. ? y ≥ ?1 ?

18. 本小题满分 ( 18. 本小题满分 14 分)
D
o

C
o

已知如图 4, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形, PA=AD=1,AB=2, ∠PAB = 120 , ∠PBC = 90 . 且 (1)求证:平面 PAD ⊥ 平面 PAB ; (2)求三棱锥 D-PAC 的体积.
P A B

图4

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 是首项 a1 = 1 的等差数列,其前n项和为 Sn ,数列 {bn } 是首项 b1 = 2 的等比数列,且

b2 S 2 = 16 , b1b3 = b4 .

(1) 求 an 和 bn ; (2) 令 c1 = 1 , c2 k = a2 k ?1 , c2 k +1 = a2 k + kbk ( k = 1,2,3,? ? ? ) ,求数列 {cn } 的前 2n + 1 项和 T2 n +1 .

20. (本小题满分 20. 本小题满分 14 分) ( , 在平面直角坐标系中,已知向量 a = ( x, y ? 2), b = ( kx, y + 2) ( k ∈ R ) a ⊥ b ,动点 M ( x, y ) 的 轨迹为 T . (1)求轨迹 T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状;

r

r

r

r

1 时,已知点 B ( 0, ? 2 ) ,是否存在直线 l : y = x + m ,使点 B 关于直线 l 的对称点落 2 在轨迹 T 上?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.
(2)当 k =

21. (本小题满分 21. 本小题满分 14 分) ( 已知:函数 f ( x ) = ax 2 ? 2 x + 1 . (1)试讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)若

1 ≤ a ≤ 1 ,且 f ( x) 在 [1,3] 上的最大值为 M (a ) ,最小值为 N (a ) ,令 g (a ) = M (a ) ? N (a ) ,求 3

g (a ) 的表达式;
(3)在(2)的条件下,求证: g (a ) ≥

1 . 2

2011 揭阳市 2011 年高中毕业班第二次高考模拟考 数学(文科) 数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同, 照评分标准制订相应的评分细则. 照评分标准制订相应的评分细则. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 当考生的解答在某一步出现错误时, 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 就不再给分.

三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 只给整数分数 选择题: 一.选择题:DBCAC DCBCD 解析: 解析:5.因命题 p 假,命题 q 真,所以答案选 C. 6.该三棱柱的侧视图是长为 4,宽为 2 3 的矩形,故选 D. 7.注意 A 选项是易错项,由 a / / b, b / /α 也可能 a ? α ,正确答案应选 C. 8. AB ? AC = AC+CB ? AC = AC = 9 ,或 AB ? AC =| AB | ? | AC | cos A

uuu uuu r r

(

uuu uuu uuu r r r

)

uuu 2 r

uuu uuu r r

uuu r

uuu r

uuuu r uuu uuu | AC | uuur 2 r r r =| AB | ? | AC | uuu =| AC | = 9 .选 B. | AB |
9.第一次运行 s1 = 1, s2 = 1, s = 0 ,第二次运行 s1 = 1 + 2 = 3, s2 = 1 + 2 = 5 ,
2

y 2

1 1 1 s = (5 ? × 32 ) = ,故选 C. 2 2 4 π ?2 10.结合右图易得 P ( M ) = ,故选 D. 2π
二.填空题:11. {x | 2 < x < 3 或 x > 3} (或 {x | x > 2, x ≠ 3} );12. 填空题:

X -2

o

2

5 、4; 13. 16;14.5、 2 7 ;15. 3

2 ?1 .
解析: 解析:12.因 a = 3, b = 4 ? c = 5 ,所以 e =

4×5 5 4 ,焦点(5,0)到渐近线 y = x 的距离为 d = =4 3 3 5

13.依题意得 a = 0.19 × 2000 = 380 , b + c = 2000 ? (385 + 375 + 380 + 360) = 500 ,故应在高三级中

64 × 500 = 16 . 2000 AD AB 14.依题意得△ADB∽△ACB ? = ? AD ? AE = AC ? AB ? AD ( AD + DE ) = AC ? AB AC AE 6× 4 ? 9 DB AD DB ? AC ? DE = = 5 , DB = AB 2 ? AD 2 = 7 ,由 = ? EC = =2 7. 3 EC AC AD
抽取的学生人数为 15.将方程 ρ + 2 sin θ = 0 和 ρ s in(θ +

π
4

)=

2 化为普通方程得 x 2 + y 2 + 2 y = 0 x + y = 1 结合图形易得 2

M 与 N 的最小距离是为 2 ? 1 .
三.解答题: 解答题: 解答题 16.解 (1)在 ?ABC 中,由 S = 16.解:

3 1 bc cos A = bc sin A 2 2

得 tan A = 3 -------------------------------------------------------------------------------3 分

∵0 < A <π

∴A=

π
-------------------------------------------5 分

3

(2)由 a = 3, A =

π
及正弦定理得

3

a c = = sin A sin C

3 = 2 ,------------7 分 3 2

∴ c = 2sin C -------------------------------------------------------8 分 ∵ A+ B+C =π ∴ c = 2sin( ∵A= ∴C = π ? A? B =

π
3

∴当 x =

π
6

2π ? x) ---------------------------------------------------10 分 3 2π ∴0 < x < 3

2π ?x 3

时, c 取得最大值, c 的最大值为 2.----------------------------12 分

17.解: (1)集合 M 的所有元素有(-2, -1),(-2, 1),(0, -1),(0, 1),(2, -1),(2, 1)共 6 个-------3 分 17 记“以 ( x, y ) 为坐标的点落在圆 x 2 + y 2 = 1 上”为事件 A,则基本事件总数为 6. 因落在圆 x 2 + y 2 = 1 上的点有(0, -1),(0, 1)2 个,即 A 包含的基本事件数为2,------------4 分 所以 P ( A) =

2 1 = --------------------------------------------------------------6 分 6 3
y x-y+2=0

(2)记“以(x,y)为坐标的点位于区域 D 内”为事件 B. 则基本事件总数为 6.x+y-2=0 由右图知位于区域 D 内(含边界)的点有:(-2, -1),(2, -1), (0, -1),(0, 1)共4个,即 B 包含的基本事件数为 4,---------------10 分
-2 1 o -1

x 2 y=-1

4 2 故 P ( B ) = = .-----------------------------------------12 分 6 3
18. (1)证明:∵ABCD 为矩形 ∴ AD ⊥ AB 且 AD // BC ----------------------------------2 分 ∵ BC ⊥ PB ∴ DA ⊥ PB -------------------------------3 分 又 AB I PB = B

D

C

A

B

P ∴ DA ⊥ 平面 PAB ---------------------------------------------5 分 又∵ DA ? 平面 PAD ∴平面 PAD ⊥ 平面 PAB -----------------------------------------7 分

(2) ∵ VD ? PAC = VP ? DAC 又 S ?ADC = S ?ABC ∴ VD ? PAC = VP ? DAC = VP ? ABC = VC ? PAB -----------------------------------9 分 由(1)知 DA ⊥ 平面 PAB ,且 AD // BC ∴ VC ? PAB = ∴ BC ⊥ 平面 PAB --------------11 分

1 1 1 1 3 3 S ?PAB ? BC = ? PA ? AB ? sin ∠PAB ? BC = × 1× 2 × ×1 = .-----14 分 3 3 2 6 2 6

19.解 19.解:(1)设数列 {a n } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q , 则 an = 1 + ( n ? 1) d , 由 b1b3 = b4 得 q =

bn = 2q n ?1 .

b4 = b1 = 2 ,-------------------------------------2 分 b3

由 b2 S 2 = 2q (2 + d ) = 16 , 解得 d = 2 .------------------------------4 分 ∴ an = 2n ? 1 , bn = 2 .----------------------------------------------6 分
n

(2) T2 n +1 = c1 + a1 + ( a2 + b1 ) + a3 + ( a4 + 2 ? b2 ) + ??? + a2 n ?1 + ( a2 n + nbn ) = 1 + S 2 n + (b1 + 2b2 + ??? + nbn ) ---------------------------------------9 分 令 A = b1 + 2b2 + L + nbn , 则 A = 2 + 2 ? 2 +L + n ? 2
2 n

2 A = 22 + 2 ? 23 + L + (n ? 1)2n + n ? 2n +1 ? A = 2 + 2 2 + L + 2n ? n ? 2n +1 ,∴ A = n ? 2 n +1 ? 2n +1 + 2 ----------------11 分
又 S2 n =

2n(1 + a2 n ) = 4n 2 ,---------------------------------------------12 分 2
2 n +1

∴ T2 n +1 = 1 + 4n + n ? 2 20.解: . (1)∵ a ⊥ b

? 2n +1 + 2 = 3 + 4n 2 + (n ? 1)2n +1 .--------------------14 分
r ur

r

r

∴ a?b = ( x, y ? 2)(kx, y + 2) = 0

得 kx 2 + y 2 ? 2 = 0 即 kx 2 + y 2 = 2 ------------------------------------2 分 当 k = 0 时,方程表示两条与 x 轴平行的直线;----------------------------3 分 当 k = 1 时,方程表示以原点为圆心,以 2 为半径的圆;-----------------------4 分 当 k > 0 且 k ≠ 1 时,方程表示椭圆;-----------------------------------------5 分 当 k < 0 时,方程表示焦点在y轴上的双曲线.---------------------------------6 分 (2) 当 k =

1 x2 y 2 时, 动点 M 的轨迹 T 的方程为 + = 1 -----------------------------------7 分 2 4 2

设满足条件的直线 l 存在,点 B 关于直线 l 的对称点为 B '( x0 , y0 ) ,则由轴对称的性质可得:

y0 + 2 y ? 2 x0 = ?1, 0 = +m, x0 2 2
解得: x0 = ? 2 ? m, y0 = m ,----------------------------------------------------------------------10 分

∵点 B '( x0 , y0 ) 在椭圆上,∴

( ? 2 ? m) 2 m 2 + = 1 ,整理得 3m 2 + 2 2m ? 2 = 0 4 2

解得 m =

2 或 m = ? 2 -----------------------------------------------------------------------------12 分 3 2 或 y = x ? 2 -------------------------------------------------------13 分 3

∴直线 l 的方程为 y = x +

经检验 y = x +

2 和 y = x ? 2 都符合题设 3 2 或 y = x ? 2 .-----------------------------14 分 3

∴满足条件的直线 l 存在,其方程为 y = x +

21.解 (1)当 a = 0 时,函数 f ( x ) = ?2 x + 1 在 ( ?∞, +∞ ) 上为减函数;-----------------1 分 21.解: 当 a > 0 时,抛物线 f ( x ) = ax 2 ? 2 x + 1 开口向上,对称轴为 x =

1 a

∴函数 f ( x ) 在 ( ?∞, ] 上为减函数,在 [ , +∞ ) 上为增函数-----------------------2 分 当 a < 0 ,抛物线 f ( x ) = ax 2 ? 2 x + 1 开口向下,对称轴为 x =

1 a

1 a

1 a

∴函数 f ( x ) 在 ( ?∞, ] 上为增函数,在 [ , +∞ ) 上为减函数.-----------------------3 分 (2)∵ f ( x ) = a ( x ? ) + 1 ?

1 a

1 a

1 2 1 a a 1 1 1 1 由 ≤ a ≤ 1 得 1 ≤ ≤ 3 ∴ N ( a ) = f ( ) = 1 ? .-----------------------5 分 3 a a a 1 1 1 当 1 ≤ < 2 ,即 < a ≤ 1 时, M (a ) = f (3) = 9a ? 5 ,故 g ( a ) = 9a + ? 6 ;-----------7 分 a 2 a 1 1 1 1 当 2 ≤ ≤ 3 ,即 ≤ a ≤ 时, M (a ) = f (1) = a ? 1 ,故 g ( a ) = a + ? 2 .-------------9 分 a 3 2 a

1 1 1 ? ?a + a ? 2, a ∈ [ 3 , 2 ]; ? ∴ g (a) = ? -------------------------------------------------10 分 ?9a + 1 ? 6, a ∈ ( 1 ,1]. ? a 2 ?
(3)∵当 a ∈ [ , ] 时, g '( a ) = 1 ?

1 1 1 < 0 ,∴函数 g (a ) 在 [ , ] 上为减函数;---------11 分 2 a 3 2 1 1 1 当 a ∈ ( ,1] 时, g '( a ) = 9 ? 2 > 0 ,∴函数 g ( a ) 在 ( ,1] 上为增函数,-------------12 分 2 a 2 1 1 1 ∴当 a = 时, g ( a ) 取最小值, g ( a ) min = g ( ) = , 2 2 2 1 故 g (a ) ≥ .-------------------------------------------------------------------14 分 2

1 1 3 2

届高三文科数学模拟试题( 东莞市 2012 届高三文科数学模拟试题(二)
命题人:东莞实验中学隋传胜老师 审稿人:东莞高级中学张志峰老师 参考公式 : 锥体的体积公式 V=

1 sh,其中 S 是锥体的底面积,h 为锥体的高. 3

(本大题共 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: ( 一项是符合要求的。 ) 一项是符合要求的。 1.已知全集 U=R,集合 A. [1, +∞)

A = x | y = 1? x

{

} ,集合 B = { x | 0 < x <2 } ,则 (CU A) ∪ B =
D. ( 0,+∞ )

B. (1, ∞ ) +

C. [ 0,+∞)

2.设复数 z1 = 1 + i,z2 = 2 + bi,若z1 ? z2为实数,则b= A.2 B.-2 C.-1 D.1

3.抛掷两个骰子,则两个骰子点数之和不大于 4 的概率为 A.

1 6

B.

1 9

C.

1 12

D.

1 18

4.在等比数列 {an } 中,如果 a1 + a2 = 40,a3 + a4 = 60,那么 a7 + a8 = A.95 B.100 C.135 D.80
2 2 2

5.在△ ABC 中, a , b , c 分别是 ∠A , ∠B , ∠C 的对边,且 b + c + 3bc = a ,则 ∠A 等于

π
A.

6

B.

π
3

C.

2π 3

D.

5π 6

6.已知直线 l,m,n 及平面 α ,下列命题中是假命题的是 A.若 l ∥ m , m ∥ n ,则 l ∥ n ; C.若 l ⊥ m , m ∥ n ,则 l ⊥ n ; B.若 l ∥ α , n ∥ α ,则 l ∥ n . D.若 l ⊥ α , n ∥ α ,则 l ⊥ n ;

7.在边长为 1 的等边△ ABC 中,设 BC = a, CA = b, AB = c,则a ? b + b ? c + c ? a = A.

uuu r

r uuu r

r uuu r

r

r r r r r r

3 2

B.0

C. ?

3 2

D.3

8.已知函数 f ( x ) = x 2 + x + c ,若 f (0) >0, f ( p ) <0,则必有 A. f ( p + 1) >0 C. f ( p + 1) = 0 B. f ( p + 1) <0 D. f ( p + 1) 的符号不能确定

9.曲线 y = 2 x ? x 3 在横坐标为-1 的点处的切线为 l ,则点 P (3, 2) 到直线 l 的距离为

A.

7 2 2

B.

9 2 2

C.
2

11 2 2

D.

9 10 10

10.对于函数① f ( x ) =| x + 2 | ,② f ( x) = ( x ? 2) ,③ f ( x) = cos( x ? 2) ,判断如下两个命题的真假: 命题甲: f ( x + 2) 是偶函数;命题乙: f ( x) 在 ( ?∞, 2) 上是减函数,在 (2, +∞ ) 上是增函数;能使命 题甲、乙均为真的所有函数的序号是 A.①② B.①③ C.② D.③

(本大题共 小题, 14, 题是选做题,考生只能做一题, 二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分,其中 14,15 题是选做题,考生只能做一题, 填空题: ( 两题全答的, 题的得分. 两题全答的,只计算 14 题的得分.)
开始

(一)必做题(11~13 题) 必做题( ~

n=2
11.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长

S = 0
为 1 的正三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何 体的侧面积为 ... .




S = S +

1 n

输出

S

n = n+2

结束

13 题图

? x + 2 y ≤ 10, ?2 x + y ≥ 3, ? 12.设 D 是不等式组 ? 表示的平面区域,则 D 中 0 ≤ x ≤ 4, ? ? y ≥1 ?
的点 P ( x,y ) 到直线 x + y = 10 距离的最大值是 13 、 如 图 所 示 , 这 是 计 算 是 . A P O C 的面积 直线 PO .

1 1 1 1 + + +L + 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件 2 4 6 20

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 选做题( 、 考生只能从中选做一题) 选做题 14. 几何证明选做题 (几何证明选做题 几何证明选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , 交圆 O 于 B, C 两点 AC = 2 , ∠PAB = 120 ,则圆 O
o

B





15 、 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 极 坐 标 系 内 , 点 (2, ) 关 于 直 线 ρ cosθ = 1 的 对 称 点 的 极 坐 标 ( 2

π





三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 、解答题: 小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、 (本题满分 12 分)已知向量 a = (cos x + sin x,sin x ) , b = (cos x ? sin x, 2 cos x ) , 设 f ( x) = a ? b . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期. (2)当 x ∈ ? ?

r

r

r r

? π π? 时,求函数 f ( x ) 的最大值及最小值. , ? 4 4? ?

17.(本题满分 12 分) 设等比数列{ a n }的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 S n +1 , S n , S n + 2 成等差数列,求 q 的 值。

18. ( 本 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 正 方 形 , 侧 面

PAD ⊥ 底面ABCD ,且 PA = PD =
(1)求证: EF ∥平面 PAD ; (2)求证:平面 PDC ⊥ 平面 PAD .

2 AD ,若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2
P E

(3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积 VP ? ABCD . D F A B C

3 2 19. (本题满分 14 分)已知 f ( x ) = ax + 3 x ? x + 1 , a ∈ R .

(1)当 a = ?3 时,求证: f ( x ) 在 R 上是减函数; (2)如果对 ?x ∈ R 不等式 f ′( x ) ≤ 4 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

20. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 它的一个顶点恰好是抛物线 y =

1 2 x 4

的焦点,离心率为

2 5 . 5

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C 的右焦点作直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,交 y 轴于 M 点, 若 MA = λ1 AF ,

uuur

uuu r

uuur uuu r MB = λ2 BF

,求证: λ1 + λ2 = ?10 .

21. 本题满分 14 分) ( 设函数 f ( x ) =

1 2 1 3 x + x? , 对于正数数列 {an } , 其前 n 项和为 Sn , S n = f ( an ) , 且 4 2 4

(n ∈ N ? ) .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)是否存在等比数列 {bn } ,使得 a1b1 + a2b2 + L + an bn = 2 在,请求出数列 {bn } 的通项公式;若不存在,请说明理由.
n +1

(2n ? 1) + 2 对一切正整数 n 都成立?若存

东莞市 2012 届高三文科数学模拟试题(二) 届高三文科数学模拟试题(

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 选择题( DBACD BCAAC

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 填空题( 11.

1 π 2

;12.; 4 2

; 13. n ≤ 20 (答案不唯一,诸如 n < 21, n ≤ 21, n < 22 等答案也是对的) 14. 4π 15. (2 2, ) ; 4

π

三、解答题 16.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x ) = a ? b = (cos x + sin x )(cos x ? sin x ) + 2 sin x cos x

r r

………2 分

= cos 2 x ? sin 2 x + 2 sin x cos x = cos 2 x + sin 2 x

………3 分

= 2 sin(2 x + ) 4
所以函数 f ( x ) 的最小正周期 T = (2)当Q ? ∴当 2 x + 当 2x +

π

………5 分

π
4

≤x≤

π
4

, ∴?

π
4

2π =π 2

………6 分

≤ 2x +

π
4



π π

4 4

=

π
2

, 即x =

π
8

3π π , ?1 ≤ 2 sin(2 x + ) ≤ 2 4 4
………10 分

时, f ( x ) 有最大值 2 ;

=?

π
4

,即 x = ?

π
4

时, f ( x ) 有最小值 ?1 .

………12 分

17. (本小题满分 12 分) 解:若 q =1,则 (n + 1)a1 + ( n + 2) a1 = 2na1 ,

Q a1 ≠ 0,∴ 2n + 3 = 2n, 不合要求 ………………3 分
若 q ≠ 1则

a1 a a (1 ? q n+1 ) + 1 (1 ? q n+ 2 ) = 2 ? 1 (1 ? q n ) ………………6 分 1? q 1? q 1? q
………………9 分

∴ q n+1 + q n + 2 = 2q n

∴ q 2 + q ? 2 = 0,∴ q = ?2 或 q = 1 (舍去) ,
综上, q = ?2 ………………12 分

18.(本小题满分 14 分)

(1)证明:连结 AC,则 F 是 AC 的中点,在△ CPA 中,EF∥PA, 且 PA ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD …………4 分

…………2 分

(2)证明:因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又 CD⊥AD,所以,CD⊥平面 PAD,…………7 分 又 CD ? 平面 PDC,∴平面 PAD⊥平面 PDC. …………8 分 (3) Q PA = PD =

2 AD = 2 ,∴ PA2 + PD 2 = AD 2 , 2

1 ∴ PA ⊥ PD, S ?PAD = ( 2) 2 = 1, …………10 分 2
又由(2)可知 CD⊥平面 PAD,CD=2,…………11 分

1 2 ∴VP ? ADC = VC ? PAD = ×1× 2 = , …………13 分 3 3 2 4 ∴VP ? ABCD = 2VP ? ADC = 2 × = . …………14 分 3 3
19.(本小题满分 14 分) 解: (1)当 a = ?3 时, f ( x ) = ?3 x 3 + 3 x 2 ? x + 1 ∵ f / ( x ) = ?9 x 2 + 6 x ? 1 = ?(3 x ? 1) 2 ≤ 0 (2)∵ ?x ∈ R 不等式 f ′( x ) ≤ 4 x 恒成立 即 ?x ∈ R 不等式 3ax + 6 x ? 1 ≤ 4 x 恒成立
2

……1 分

∴ f ( x ) 在 R 上是减函数………………6 分

∴ ?x ∈ R 不等式 3ax + 2 x ? 1 ≤ 0 恒成立 ………………7 分
2

当 a = 0 时, ?x ∈ R

2 x ? 1 ≤ 0 不恒成立 ………………8 分
2

当 a < 0 时, ?x ∈ R 不等式 3ax + 2 x ? 1 ≤ 0 恒成立 即 ? = 4 + 12a ≤ 0 ………………10 分 ∴a ≤ ?

1 ………………11 分 3
2

当 a > 0 时, ?x ∈ R 不等式 3ax + 2 x ? 1 ≤ 0 不恒成立………………12 分 综上所述, a 的取值范围是 (?∞, ] ?

1 3

………………14 分

20. (本小题满分 14 分)

x2 y2 (1)解:设椭圆 C 的方程为 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) ,……1 分 a b
抛物线方程化为 x = 4 y ,其焦点为 (0,1) , ………………2 分
2

则椭圆 C 的一个顶点为 (0,1) ,即 b = 1 由e =

………………3 分

c a 2 ? b2 2 5 2 = = ,∴ a = 5 , a a2 5

x2 所以椭圆 C 的标准方程为 + y2 = 1 5

………………6 分

(2)证明:易求出椭圆 C 的右焦点 F (2, 0) , ………………7 分 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), M (0, y0 ) ,由题意,显然直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y = k ( x ? 2) ,代入方程

x2 + y 2 = 1 并整理, 5
………………9 分



(1 + 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x + 20k 2 ? 5 = 0 20k 2 20k 2 ? 5 , x1 x2 = 1 + 5k 2 1 + 5k 2

∴ x1 + x2 =

………………10 分

又 , MA = ( x1 , y1 ? y0 ) , MB = ( x2 , y2 ? y0 ) , AF = (2 ? x1 , ? y1 ) , BF = (2 ? x2 , ? y2 ) , 而

uuur

uuur

uuu r

uuu r

uuur uuu r uuur uuu r MA = λ1 AF , MB = λ2 BF ,
即 ( x1 ? 0, y1 ? y0 ) = λ1 (2 ? x1 , ? y1 ) , ( x2 ? 0, y2 ? y0 ) = λ2 (2 ? x2 , ? y2 ) ∴ λ1 =

x1 x2 , λ2 = , 2 ? x1 2 ? x2

……………………12 分

所以 λ1 + λ2 =

x1 x 2( x1 + x2 ) ? 2 x1 x2 + 2 = = ?10 ………14 分 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 + x2 ) + x1 x2

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 f ( x ) =

1 2 1 3 x + x ? , S n = f ( an ) , ( n ∈ N ? ) 4 2 4 1 2 1 3 得 S n = an + an ? (n ∈ N ? ) ① ………2 分 4 2 4 1 2 1 3 S n +1 = an +1 + an +1 ? , ② 4 2 4



1 2 1 1 2 an +1 = S n +1 ? S n = (an +1 ? an ) + an +1 ? an , 4 2 2 1 2 1 2 即 (an +1 ? an ) ? (an +1 + an ) = 0 , 4 2

………4 分



(an +1 + an )(an +1 ? an ? 2) = 0

∵ an > 0 ,∴ an +1 ? an = 2 ,即数列 {an } 是公差为 2 的等差数列,……7 分 由①得, S1 = a1 =

1 2 1 3 a1 + a1 ? ,解得 a1 = 3 , 4 2 4
………9 分

因此 ,数列 {an } 的通项公式为 an = 2n + 1 . (2)假设存在等比数列 {bn } ,使得对一切正整数 n 都有

a1b1 + a2b2 + L + an bn = 2n +1 (2n ? 1) + 2
n



当 n ≥ 2 时,有 a1b1 + a2b2 + L + an ?1bn ?1 = 2 (2n ? 3) + 2 ③-④,得



an bn = 2n (2n + 1) ,
n

由 an = 2n + 1 得, bn = 2
1

………………13 分

又 a1b1 = 6 = 2 (2 ×1 + 1) 满足条件, 因 此 , 存 在 等 比 数 列 2n , 使 得 a1b1 + a2b2 + L + an bn = 2 立.

{ }

n +1

(2n ? 1) + 2 对 一 切 正 整 数 n 都 成

…………………14 分

汕头市 2012 年普通高中高三教学质量测评试题

文 科 数 学
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡 指定位置填写自己的学校、姓名和坐号. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位 置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多涂的答 案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式: 锥体的体积公式 V =

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3
2

圆柱的表面积 S = 2π r + 2π rl ,其中 r 是底面圆的半径, l 是母线的长.

第一部分
符合题目要求的. 1.复数 z = (2 + i )i 的虚部是( ※ ) A. 2 B. ? 2 C. 2i

(选择题 满分50分)

一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

D. ? 2i

2.已知全集 U = R, 集合 A = {1, 2,3, 4,5} , B = [ 2, +∞ ) ,则图中阴影 部分所表示的集合为( ※ A. {0,1, 2} C. {1, 2} ) B. {0,1} D. {1}
题图) (第 2 题图)

A

B

3.设曲线 y = ax 2 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 = 0 平行,则 a = ( A.1 D. ?1 4.对某校 400 名学生的体重(单位: kg )进行统计, 得到如图所示的频率分布直方图,则学生体重在 60 kg 以 上的人数为( ※ ) 0.010 0 B.



1 2

C .

?

1 2
0.060 0.056 0.040 0.034

频率 组距

45 50 55 60 65 70 体重 kg ) (
题图) (第 4 题图)

A. 300

B. 100

C. 60 D. 20 5.下列各式中错误的是( ※ ) .. A. 0.83 > 0.73 C. 0.75?0.1 < 0.750.1 B. log 0..5 0.4 > log 0..5 0.6 D. lg1.6 > lg1.4

6.已知正项组成的等差数列 {an } 的前 20 项的和为 100,那么 a6 ?a15 的最大值为( ※ ) A. 25 C. 100 B. 50 D. 不存在

7.如图所示,一个空间几何体的主视图和俯视图都是边长为 1的正方形,侧视图是一个直径为 1的 圆,那么这个几何体的表面积为( ※ ) A. 4π C. 2π B. 3π D.

3 π 2
主视图 侧视图

?2 x ? y ≥ 0 ? 8.实数 x, y 满足不等式组 ? x + y ? 2 ≥ 0 ,且 z = ax + y ( a > 0 ) 取得最小 ?6 x + 3 y ≤ 18 ?
优解有无穷多个, 则实数 a 的取值范围是( ※ ) A. ?

值的最

4 5

俯视图 题图) (第 7 题图)

B. 1

C. 2 D. 无法确定 9.已知函数 f ( x ) 的部分图象如图所示,则 f ( x ) 的解析式可能为( ※ ) A. f ( x ) = 2 sin ?

?x π? ? ? ?2 6? π? ? B. f ( x ) = 2 cos ? 4 x + ? 4? ? ?x π? C. f ( x ) = 2 cos ? ? ? ?2 3? π? ? D. f ( x ) = 2 sin ? 4 x + ? 6? ?

题图) (第 9 题图)

10.已知函数 f ( x + 1) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1 、 x2 ,不等式

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] < 0 恒成立,则不等式 f (1 ? x) < 0 的解集为( ※ )
A. (1, +∞ ) B. ( ?∞, 0 ) C. ( 0, +∞ ) D. ( ?∞,1)

开始

第二部分

(非选择题 满分100分)
x = 1, y = 0, n = 1

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.已知 f ( x ) = ?
输出 ( x, y )

x≤0 ?sin πx 5 ,则 f ( ) 的值为 6 ? f (x -1)+1 x >0





n = n+2 x = 3x
y = y?2

12. ?ABC 中,如果 (a + b + c )(b + c ? a ) = 3bc ,那么 A 等于





13. 已 知 某 算 法 的 流 程 图 如 图 所 示 , 若 将 输 出 的 ( x, y ) 值 依 次 记 为

( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) , L , ( x n , y n ), L
(1)若程序运行中输出的某个数组是 (t , ? 6) ,则 t = (2)程序结束时,共输出 ( x, y ) 的组数为 ※ . ※ ;



n > 2012
是 结束 题图) (第 13 题图)

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)过点 (2,

15. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是 ? O 的切线,切点为 A ,直线 PO 交 ? O 于 B 、C 两点, AC = 2 , ∠PAB = 120° ,则 ? O 的面积为 ※ .

π ) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为 3





三.解答题:本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤. B 16. (本小题满分 12 分) 已知集合 A = x x + 2 x ? 3 < 0 , B = x ( x + 2)( x ? 3) < 0 ,
2

A P O C

{

}

{

}

(1)在区间 ( ?3,3) 上任取一个实数 x ,求“ x ∈ A I B ”的概率;

题图) (第 15 题图)

(2)设 ( a, b ) 为有序实数对,其中 a 是从集合 A 中任取的一个整数,b 是从集合 B 中任取的一个整数, 求“ a ? b ∈ A U B ”的概率. 17. (本小题满分 14 分) 已知向量 m = ?2 sin (π ? x ) , cos x , n = ? 3 cos x, 2sin( (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ∈ [ 0, π ] 时,求 f ( x ) 的单调递增区间; (3)说明 f ( x ) 的图象可以由 g ( x ) = sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 18. (本题满分 12 分)

u r

(

)

r

? ?

π

u r r ? ? x) ? ,函数 f ( x) = 1 ? m ? n . 2 ?

某商店经销一种洗衣粉,年销售总量为 6000 包,每包进价为 2.8 元,销售价为 3.4 元,全年分 若干次进货, 每次进货均为 x 包, 已知每次进货的运输劳务费为 62.5 元, 全部洗衣粉全年保管费为 1.5 x 元. (1)将该商店经销洗衣粉一年的利润 y (元)表示为每次进货量 x (包)的函数; (2)为使利润最大,每次应进货多少包?

19. (本小题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB ∥ EF ,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的 平面互相垂直,且 AB = 2 , AD = EF = 1 . (1)求证: AF ⊥ 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM ∥平面 DAF ; (3)求三棱锥 F ? CBE 的体积.
O
A F
D

C

B

M
E

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = xlnx , (1)求 f ( x ) 的最小值; (2)若对所有 x ≥ 1 都有 f ( x ) ≥ ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

题图) (第 19 题图)

21. (本小题满分 14 分) 已知一非零向量列 an 满足: a1 = (1,1) , an = ( xn , yn ) = (1)证明: an 是等比数列; (2)设 θ n 是 an ?1 , an 的夹角 ( n ≥ 2 ) , bn = 2nθ n ? 1 , S n = b1 + b2 + LL + bn ,求 Sn ; (3)设 cn = an log 2 an ,问数列 {cn } 中是否存在最小项?若存在,求出最小值;若不存在,请说明 理由.

{ }
ur u

{ }
ur u

u r

uu r

1 ( xn?1 ? yn?1 , xn ?1 + yn?1 ) ( n ≥ 2 ) . 2

uuu ur r u

ur u

ur u

汕头市 2012 年普通高中高三教学质量测评

文科数学参考答案和评分标准

说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查 内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.

一.选择题:
题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 A 7 D 8 B 9 C 10 B

二.填空题:
11.

1 . 2

π
12. .

3

13. 27 , 1006 .

14. ρ sin θ =

3.

15. 4π .

说明:第 13 题填对一空得 3 分,填对 2 空得 5 分.

解答过程分析:
1.选 A.解析: z = (2 + i )i = ?1 + 2i ,虚部是 2 .特别提醒:不是 2i . 2.选 D.解析:阴影部分的元素 x ∈ A 且 x ? B ,即 A ∩ ? B ,选项 D 符合要求. U 3.选 A.解析:由 y′ = 2ax ,又点(1, a )在曲线 y = ax 2 上,依题意得 k = y′ 解得 a = 1 . 4.选 B.解析:60 kg 以频率为 0.040 × 5 + 0.010 × 5 = 0.25 ,故人数为 400 × 0.25 = 100 (人) . 5.选 C.解析:构造相应函数,再利用函数的性质解决,对于 A,构造幂函数 y = x3 ,为增函数, 故 A 是对;对于 B、D,构造对数函数 y = log 0.5 x 为减函数, y = lg x 为增函数,B、D 都正确;对 于 C,构造指数函数 y = 0.75x ,为减函数,故 C 错. 6.选 A.解析: S 20 =
x =1

= 2a = 2 ,

20 ( a1 + a20 ) = 10 ( a1 + a20 ) = 100 ,故 a1 + a20 = 10 , a6 ?a15 = a1 ?a20 2

?a +a ? ≤ ? 1 20 ? = 25 . ? 2 ?
2

7.选 D.解析:这是一个横放的圆柱体,其底面半径 r = 积 S侧 = 2π rh = π ,故 S表 = 2 S底 + S侧 =

3π . 2

1 π ,高 h = 1 ,底面面积 S底 = π r 2 = ,侧面 2 4

8. B. 选 解析: 要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个, ax+y=0 令



平移使之与过点 C(

2 4 (可行域中最左侧的点)的边界重合即可,注意到 a>0,只能和 AC 重合,∴a=1 , ) 3 3 T 2π 1 , ω = ,排除 B、D,又点 ( 0,1) 9.选 C.解析:由点 A、点 C 的横坐标可知 = π ,∴ T = 4π = 4 ω 2

在图象上,代入 f ( x ) = 2 sin ?

?x π? ? π? ? ? 得 1 = 2 sin ? ? ? 不成立,排除 A,只有 C 合适.说明,本题得出的 ?2 6? ? 6?

是最佳选项,由图象无法确定振幅的值. 10.选 B.解析: f ( x + 1) 是奇函数,即其的图象关于点 (0, 0) 对称,将 f ( x + 1) 向右平移 1 个单位长度, 得 f ( x ) ,故 f ( x ) 的图象关于点 (1, 0) 对称,由 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] < 0 恒成立,知 ?

x1 ? x2 > 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 ?

或?

x1 ? x2 < 0 , f ( x ) 为 R 上的减函数;又将 f (1) = 0 ,不等式 f (1 ? x ) < 0 即 f (1 ? x ) < f (1) , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ?
1 1 1 ?5? ?5 ? ? 1? ? π? .解析: f ? ? = f ? ? 1? + 1 = f ? ? ? + 1 = sin ? ? ? + 1 = ? + 1 = . 2 2 2 ?6? ?6 ? ? 6? ? 6?

有 1 ? x > 1 ,故 x < 0 . 11.填

π
12 . 填

3

. 解 析 : ( a + b + c )(b + c ? a ) ?( b + c ) + a ? ?( b + c ) ? a ? = ( b + c ) ? a = 3bc , 得 ? ?? ?
2 2

b 2 + c 2 ? a 2 = bc ,由余弦定理得 cos A =

b 2 + c 2 ? a 2 bc 1 π = = ,又 0 < A < π ,∴ A = . 2bc 2bc 2 3

13.填 27,1006.解析: (1)按框图, x 是公比为 2 的等比数列的项, y 是公差为-2 的等差数列的项, 当 y = ?6 时,为第 4 项,这时 x 是等比数列的第 4 项,即 t = 27 ; (2) n 是公差为 2 的等差数列的项,当

n > 2012 时,最大的项数为 1006,即输出 ( x, y ) 共 1006 组.
14.填 ρ sin θ =

3 .解析:先将极坐标化成直角坐标表示, (2, ) 化为 (1, 3) ,过 (1, 3) 且平行于 x 3 3. 3。

π

轴的直线为 y = 3 ,再化成极坐标表示,即 ρ sin θ =

法二:在极坐标系中直接构造直角三角形由其边角关系得方程 ρ sin θ =

15 . 填 4π . 解 析 : 由 弦 切 角 定 理 , ∠PAC = ∠ABC , 由 ∠PAB = 120° , ∠CAB = 90° 得

∠PAC = ∠ABC = 30° ,在 Rt ?ABC 中, 2 R = BC = 2 AC = 2 × 2 = 4 , R = 4 , S = π R 2 = 4π .

三.解答题:
16. (1)由已知 A = x ? 3 < x < 1 , B = x ? 2 < x < 3 ,…………………………2 分 设事件“ x ∈ A I B ”的概率为 P , 1 这是一个几何概型,则 P = 1

{

}

{

}

3 1 = 。………………………………………5 分 6 2

(2)因为 a, b ∈ Z ,且 a ∈ A, b ∈ B , 所以, a ∈ {?2, ?1, 0} , b ∈ {?1, 0,1, 2} 基本事件由下表列出,共 12 个:

a ? b 共有 12 个结果,即 12 个基本事件:

? 1, ? 2, ? 3, ? 4,0, ? 1, ? 2, ? 3,1,0, ? 1, ? 2
又因为 A U B = ( ?3,3) ,

…………………9 分

设事件 E 为“ a ? b ∈ A U B ”,则事件 E 中包含 9 个基本事件,………………11 分 事件 E 的概率 P ( E ) =

9 3 = 。………………………………………… 12 分 12 4

17.解: (1)∵m?n = ?2sin (π ? x ) 3 cos x + 2 cos x sin ?

?π ? ? x? ?2 ?

= ?2 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = ? 3 sin 2 x + cos 2 x + 1 ………………2 分
∴ f ( x ) = 1 ? m?n =

3 sin 2 x ? cos 2 x ,…………………………………………3 分

∴ f ( x ) = 2 sin ? 2 x ? (2)由 ?

? ?

π?
π π
6 3

? 。………………………………………………………4 分 6?


π
2

+ 2k π ≤ 2 x ?

π
2

+ 2k π

(k ∈ Z ) ,

解得 ?

π
6

+ kπ ≤ x ≤

+ kπ

(k ∈ Z ) ,……………………………………6 分

∵取 k=0 和 1 且 x ∈ [ 0, π ] ,得 0 ≤ x ≤ ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 ?0, 法二:∵ x ∈ [ 0, π ] ,∴ ?

π


3

11π ≤ x ≤π , 6

? π ? ?11π ? 和 , π ? 。……………………………8 分 ? 3? ? 6 ? ? ?
≤ 2x ?

11π , 6 6 6 π π π 3π π 11π ∴由 ? ≤ 2 x ? ≤ 和 , …………………………6 分 ≤ 2x ? ≤ 6 6 2 2 6 6 π 11π 解得 0 ≤ x ≤ 和 ≤ x ≤π , 3 6 ≤
∴ f ( x ) 的单调递增区间为 ?0,

π

π

? π ? ?11π ? 和 , π ? 。……………………………8 分 ? 3? ? 6 ? ? ? ? ?

(3) g ( x ) = sin x 的图象可以经过下面三步变换得到 f ( x ) = 2 sin ? 2 x ?

π?

? 的图象: 6?
1 倍(纵坐标 2

g ( x ) = sin x 的图象向右平移

π
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

6

不变) ,最后把所得各点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变) ,得到 f ( x ) = 2 sin ? 2 x ?

? ?

π?

? 的图象. 6?

…………………………………………14 分(每一步变换 2 分)

18. 解: (1)Q 平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF , CB ⊥ AB , 平面 ABCD I 平面 ABEF = AB ,

∴ CB ⊥ 平面 ABEF , ∵ AF ? 平面 ABEF ,∴ AF ⊥ CB ,………………………………… 2 分 又 AB 为圆 O 的直径,∴ AF ⊥ BF , ∴ AF ⊥ 平面 CBF . ………………………………………… 4 分 // 1 // 1 (2)设 DF 的中点为 N ,则 MN CD ,又 AO CD , 2 2
则 MN

//

AO ,四边形 MNAO 为平行四边形,
C

∴ OM / / AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF , ∴ OM / / 平面 DAF . ……………… 8 分 (3)∵ BC ⊥ 面 BEF ,∴ VF ?CBE = VC ? BEF =

1 × S ?BEF × BC , 3

D

B

M

B 到 EF 的距离等于 O 到 EF 的距离, 过点 O 作 OG ⊥ EF 于 G ,连结 OE 、 OF , ∴ ?OEF 为正三角形, ∴ OG 为正 ?OEF 的高,
∴ OG =

E

O
A F

3 3 OA = ,…………………………………………………… 11 分 2 2 1 × S ?BEF × BC 3
……………………………………… 12 分

∴ VF ?CBE = VC ? BEF =

1 1 1 1 3 3 = × × EF × OG × BC = × × 1× ×1 = 。………………… 14 分 3 2 3 2 2 12

19.解: (1)由题意可知:一年总共需要进货 ∴ y = 3.4 × 6000 ? 2.8 × 6000 ?

6000 ? 次( x ∈ N 且 x ≤ 6000 ) ,………2 分 x

6000 ? 62.5 ? 1.5 x ,………………………………5 分 x 375000 3 x ? ( x ∈ N ? 且 x ≤ 6000 ).……………………6 分 整理得: y = 3600 ? x 2

(2) y = 3600 ?

375000 3x ? 375000 3x ? , ? = 3600 ? ? + ? ( x ∈ N ? 且 x ≤ 6000 ) 2 2? x ? x

375000 3x 375000 3 x + ≥2 ? = 2 562500 = 2 × 750 = 1500 , x 2 x 2 375000 3x (当且仅当 = ,即 x = 500 时取等号)…………………………………9 分 x 2 ∴当 x = 500 时, ymax = 3600 ? 1500 = 2100 (元) ,
∵ 答:当每次进货 500 包时,利润最大为 2100 元。……………………………………12 分

20.解: (1) f ( x) 的定义域为 ( 0, +∞ ) , f ( x) 的导数 f ′( x) = 1 + ln x . 令 f ′( x) > 0 ,解得 x >

……………2 分

1 1 ;令 f ′( x) < 0 ,解得 0 < x < . e e

从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? , +∞ ? 单调递增. 所以,当 x =

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 1 1 时, f ( x ) 取得最小值 f ( ) = ? . ……………………… 6 分 e e e

(2)解法一:依题意,得 f ( x ) ≥ ax + 1 在 [1, +∞ ) 上恒成立, 即不等式 a ≤ ln x + 令 g ( x ) = ln x +

1 对于 x ∈ [1, +∞ ) 恒成立 . ……………………………………8 分 x
则 g ′( x ) =

1 , x

1 1 1? 1? ? = ?1 ? ? . x x2 x ? x ?

………………………10 分

当 x > 1 时,因为 g ′( x ) =

1? 1? ?1 ? ? > 0 , x? x?
所以 g ( x ) 的最小值是 g (1) = 1 ,…………… 13 分 ……………………………………………………14 分

故 g ( x ) 是 (1, +∞ ) 上的增函数, 所以 a 的取值范围是 ( ?∞,1] .

解法二:令 g ( x ) = f ( x ) ? ( ax + 1) ,则 g ′( x ) = f ′( x ) ? a = 1 ? a + ln x , ① 若 a ≤ 1 ,当 x > 1 时, g ′( x ) = 1 ? a + ln x > 1 + a ≥ 0 , 故 g ( x ) 在 (1, +∞ ) 上为增函数, 所以, x ≥ 1 时, g ( x ) ≥ g (1) = 1 ? a ≥ 0 ,即 f ( x ) ≥ ax ? 1 ;…………………… 10 分 ② 若 a > 1 ,方程 g ′( x ) = 0 的根为 x0 = e
a ?1



此时,若 x ∈ (1, x0 ) ,则 g ′( x ) < 0 ,故 g ( x ) 在该区间为减函数.

所以 x ∈ (1, x0 ) 时, g ( x ) < g (1) = 1 ? a < 0 , 即 f ( x ) < ax ? 1 ,与题设 f ( x ) ≥ ax ? 1 相矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ( ?∞,1] . ………………………………… 14 分 21.解: (1) an =

uu r

1 2

( xn?1 ? yn?1 ) + ( xn ?1 + yn?1 )
2

2

=

2 2

2 2 xn ?1 + yn ?1 =

2 uuur an ?1 ( n ≥ 2 ) ……3 分 2

∴数列 an 是以公比为 (2)∵ an ?1 ?an = ( xn ?1 , yn ?1 ) ∴ θn =

{ }
uu r

uuur uu r

π
4

ur 2 ,首项为 a1 = 2 的等比数列;……………………4 分 2 1 1 2 1 uuur 2 2 ? ( xn ?1 ? yn ?1 , xn ?1 + yn ?1 ) = ( xn ?1 + yn ?1 ) = an ?1 , 2 2 2

,……………………………………………………………………………………6 分

∴ bn = 2n × ∴ Sn = ?

π
4

?1 =

nπ ? 1 ,……………………………………………………………7 分 2

?π ? ? 2π ? ? nπ ? π ? 1? + ? ? 1? + LL + ? ? 1? = ( n 2 + n ) ? n …………………9 分 ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? 4 。

(3)假设存在最小项,设为 cn ,

uu r ? 2? ∵ an = 2 ? ? 2 ? ? ? ?
∴ cn =

n ?1

=2

2? n 2

,……………………………………………………10 分

2 ? n 2? n × 2 2 ,………………………………………………………………11 分 2

由 cn < cn +1 得当 n ≥ 5 时, c5 < c6 < c7 < LL ; 由 cn < cn +1 得当 n ≤ 5 时, c5 < c4 < LL < c1 ;……………………………………13 分 故存在最小项为 c5 = ?

3 ?3 ×2 2 …………………………………………………14 分 2 。

梅州市高三总复习质检试卷( 梅州市高三总复习质检试卷(2012.5) )

数学(文科) 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多 涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 选择题: 个小题, 在每小题给出的四个选项中, 合题目要求的. 合题目要求的. 1.设 a, b ∈ R ,若复数 z = A.第一象限 2.已知集合 M = {x

1 + 2i ,则 z 在复平面上对应的点在 1+ i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

x+3 < 0}, N = {x x ? ?3} ,则集合 {x x …1} 等于 x ?1 A. M I N B. M U N C. ?R ( M I N ) D. ?R ( M U N ) 3.设 b, c 表示两条直线, α , β 表示两个平面,下列命题中的真命题是 b ?α? b ?α? A. B. ??b ? c ??c ? α b? c? c?α? c? α? c?α? C. D. ??α ⊥ β ??c ⊥ β c⊥β? α ⊥β? π 4π 4.设 ω > 0 ,函数 y = sin(ω x + ) 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 的最小值为 3 3
A.

2 3

B.

4 3

C.

3 2

D.3

5.平面向量 a , b 共线的充要条件是 A. a , b 方向相同 C. ?λ ∈ R,b = λ a 6.以双曲线 B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 D.存在不全为零的实数 λ1 , λ2 , λ1a + λ2 b = 0

x2 ? y 2 = 1 的左焦点为焦点,顶点在原点的抛物线方程是 3
B. y 2 = ?4 x C. y 2 = ?4 2 x D. y 2 = ?8 x

A. y 2 = 4 x

7.函数 y =

e x + e? x 的图象大致为 e x ? e? x
y y y

y

1
O

1 1
x

1 1
x

1 1
x

O

O

O

1

x

A. 8.在区间 [ ?

B.

C.

D.

1 , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于于 0 到 之间的概率为 2 2 2 1 2 1 2 开始 A. B. C. D. 3 π 2 3 9.己知函数 f ( x ) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的偶函数,若对于 x …0 ,都有 输入x f ( x + 2) = f ( x) ,且当 x ∈ 0, 2) [ 时, f ( x) = log 2 ( x + 1) ,则 f (?2008) + f (2009) 的值为 1 y = x ?1 A. ?2 B. ?1 C.1 D.2 2 10.设 G 是一个至少含有两个数的数集,若对任意 a, b ∈ G ,都有

π π

x= y
理 数 数域; 中 正
第9题图

a a + b, a ? b, ab, ∈ G (除数 b ≠ 0 ) ,则称 G 是一个数域,例如有 b 集 Q 是数域.有下列命题:①数域必含有 0,1 两个数;②整数集是 ③若有理数集 Q ? M , 则数集 M 必为数域; ④数域必为无限集. 其
确命题的个数是

| y ? x |< 1 否

输出y

结束

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 填空题: 小题, 小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 必做题( 小题) (一)必做题(11~13 小题) 11.若 x > 0 ,则 x +

12.执行如图所示的程序框图,若输入 x = 10 ,则输出 y 的值为 13.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 = 72 ,则 a2 + a4 + a9 = 考生只能从中选做一题) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(14、 14. 坐标系与参数方程选做题) ( 在极坐标系中, 直线 ρ cos(θ ?

2 的最小值为 x

. . .

π
4

) = 2 与圆 ρ = 4 的交点个数为
交于



15. (几何证明选讲选做题) 如图所示, ? O 外一点 P 作一条直线与 ? O 过 A, B 两点,己知弦 AB = 6 ,点 P 到 ? O 的切线长 PT = 4, 则

PA = . 个小题, 解答应写出文字说明, 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证 解答题: 或演算步骤. 或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 己知点 A(1, 0), B (0,1), C (2 sin θ, θ ) . cos
(1)若 (OA + 2OB )? OC = 1 ,其中 O 为坐标原点,求 sin 2θ 的值; (2)若 | AC |=| BC | ,且 θ 在第三象限.求 sin(θ + 17. (本小题满分 13 分)

P O? B
第15题图

A
明过程

uuu r

uuu uuuu r r

uuur

uuu r

π

3

) 值.

一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了 并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图). (1)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方
0.0005

10 000 人,

频率 组距
面的关系,
0.0004 0.0003 0.0002

要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进 求月收入在 [1500, 2000) (元)段应抽出的人数; (2)估计该社区居民月收人的平均数; (3) 为了估计该社区 3 个居民中恰有 2 个月收入在

一步调查,

0.0001

O

100015002000250030003500 4000 月 入 ) 收 (元

[2000,3000) (元)的概率,采用随机模拟的方法:先
算出 0 到 9 之间取整数值的随机数,我们用 0,1,2,

第17题图
由计算器 3,…表示

收入在 [2000,3000) (元)的居民,剩余的数字表示月收入不在 [2000,3000) (元)的居民;再以每三个 随机数为一组,代表统计的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数如下: 907 569 966 191 925 271 932 812 458 683 431 257 393 027 556 488

730 113 537 989 据此估计,计算该社区 3 个居民中恰好有 2 个月收入在 [2000,3000) (元)的概率.

18. (本小题满分 14 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的三视图如图所示; (1)求此三棱柱的体积和表面积;

a

a

正视图
(2)画出此三棱柱,并证明: AC1 ⊥ AB1 19.(本小题 14 分)

A

a

2 a 2 C 侧视图 a
第18题图

x y 己知椭圆 C : 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的离心率为 a b |x| | y| + ? 1 所表示的平面区域的面积为 16 2 . a b

2

2

B 俯视图

2 ,不等式 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左项点为 A ,上顶点为 B ,圆 M 过 A 、B 两点.当圆心 M 与原点 O 的 距离最小时,求圆 M 的方程.

20. (本小题 14 分) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f (x + y ) = f ( x ) f ( y ) ,且当 x > 0 时, f ( x ) > 1 . (1)求 f (0) 的值,并证明 f ( x ) 是定义域上的增函数: (2)数列 {an } 满足 a1 = a ≠ 0 , f ( an +1 ) = f ( aan ) f ( a ? 1)( n = 1, 2,3, …) ,求数列 {an } 的

通项公式及前 n 项和 Sn .

21. (本小题 14 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ? ax . (1)当 a = 1 时,求 f ( x ) 的最大值; (2)试讨论函数 y = f ( x) 的零点情况; ( 3 ) 设 ak , bk ,L ( k = 1, 2,L , n) 均 为 正 数 , 若 a1b1 + a2b2 + L + an bn ? b1 + b2 + L + bn , 求 证 :

a1b1 ? a2b2 L an bn ? 1 .


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