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2014年陕西省高考数学试卷(文科)


2014 年陕西省高考数学试卷(文科)

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2014 年陕西省高考数学试卷(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分) (2014?陕西)设集合 M={x|x≥0,x∈R},N={x|x <1,x∈R},则 M∩ N=( ) A.

[0,1] B.(0,1) C.(0,1] D.[0,1) 2. (5 分) (2014?陕西)函数 f(x)=cos(2x+ A. B.π )的最小正周期是( C.2π ) D.4π
2

3. (5 分) (2014?陕西)已知复数 z=2﹣i,则 z? 的值为( ) A .5 B. C .3

D. )

4. (5 分) (2014?陕西)根据如图框图,对大于 2 的正数 N,输出的数列的通项公式是(

A.an=2n

B.an=2(n﹣1)

C.an=2n

D.an=2n

﹣1

5. (5 分) (2014?陕西)将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( A.4π B.3π C.2π D.π



6. (5 分) (2014?陕西)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,则这 2 个点的距离小于该正方形边长 的概率为( ) A. B. C. D.

7. (5 分) (2014?陕西)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) 3 x A.f(x)=x B.f(x)=3 C. D. x f(x)=( ) f(x)=x

8. (5 分) (2014?陕西)原命题为“若 题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真、真、真 B.假、假、真

<an,n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命

C.真、真、假
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D.假、假、假

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www.jyeoo.com 9. (5 分) (2014?陕西)某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为 和 s , 若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为( ) 2 2 2 2 2 A. ,s +100 B. +100,s +100 C. ,s D. +100,s2 10. (5 分) (2014?陕西)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切) ,已知环湖弯曲 路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
2

A.

y= x ﹣ x ﹣x

3

2

B.

y= x + x ﹣3x

3

2

C.

y= x ﹣x

3

D. 3 2 y= x + x ﹣2x

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分) (2014?陕西)抛物线 y =4x 的准线方程是
a 2

_________ .

12. (5 分) (2014?陕西)已知 4 =2,lgx=a,则 x= _________ . 13. (5 分) (2014?陕西) 设 0<θ< , 向量 = (sin2θ, cosθ) , = (1, ﹣cosθ) , 若 ? =0, 则 tanθ= _________ .

14. (5 分) (2014?陕西)已知 f(x)= 的表达式为 _________ .

,x≥0,若 f1(x)=f(x) ,fn+1(x)=f(fn(x) ) ,n∈N+,则 f2014(x)

选考题(请在 15-17 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)不等式选做题 15. (5 分) (2014?陕西)设 a,b,m,n∈R,且 a +b =5,ma+nb=5,则
2 2

的最小值为 _________ .

几何证明选做题 16. (2014?陕西)如图,△ ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F,若 AC=2AE,则 EF= _________ .

坐标系与参数方程选做题 17. (2014?陕西)在极坐标系中,点(2, )到直线 ρsin(θ﹣ )=1 的距离是 _________ .

三、解答题(共 6 小题,共 75 分) 18. (12 分) (2014?陕西)△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. (Ⅰ )若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ )若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值.
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www.jyeoo.com 19. (12 分) (2014?陕西)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD,BC 的平面分别交四面体的棱 AB、 BD、DC、CA 于点 E、F、G、H. (Ⅰ )求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ )证明:四边形 EFGH 是矩形.

20. (12 分) (2014?陕西)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) ,点 P(x,y)在△ ABC 三边围成的区域(含边界)上,且 (Ⅰ )若 m=n= ,求| |; =m +n (m,n∈R)

(Ⅱ )用 x,y 表示 m﹣n,并求 m﹣n 的最大值. 21. (12 分) (2014?陕西)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结 果统计如下: 0 1000 2000 3000 4000 赔付金额(元) 130 100 150 120 车辆数(辆) 500 (Ⅰ )若每辆车的投保金额均为 2800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (Ⅱ )在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4000 元的样本车辆中,车主是新司机的占 20%,估计 在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4000 元的概率.

22. (13 分) (2014?陕西)已知椭圆 c,0) ,F2(c,0) . (Ⅰ )求椭圆的方程;

+

=1(a>b>0)经过点(0,

) ,离心率为 ,左右焦点分别为 F1(﹣

(Ⅱ )若直线 l:y=﹣ x+m 与椭圆交于 A、B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C、D 两点,且满足 直线 l 的方程.

=

,求

23. (14 分) (2014?陕西)设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R. (Ⅰ )当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (Ⅱ )讨论函数 g(x)=f′ (x)﹣ 零点的个数;

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www.jyeoo.com (Ⅲ )若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围.

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2014 年陕西省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分) (2014?陕西)设集合 M={x|x≥0,x∈R},N={x|x <1,x∈R},则 M∩ N=( ) A.[0,1] B.(0,1) C.(0,1] D.[0,1) 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 集合. 先解出集合 N,再求两集合的交即可得出正确选项.
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解:∵ M={x|x≥0,x∈R},N={x|x <1,x∈R}={x|﹣1<x<1,x∈R}, ∴ M∩ N=[0,1) . 故选 D. 点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键.

2

2. (5 分) (2014?陕西)函数 f(x)=cos(2x+ A. B.π

)的最小正周期是( C.2π

) D.4π

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意得 ω=2,再代入复合三角函数的周期公式
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求解.

解答:

解:根据复合三角函数的周期公式 函数 f(x)=cos(2x+ 故选:B.

得,

)的最小正周期是 π,

点评:

本题考查了三角函数的周期性,以及复合三角函数的周期公式

应用,属于基础题.

3. (5 分) (2014?陕西)已知复数 z=2﹣i,则 z? 的值为( ) A .5 B. C .3 考点: 专题: 分析: 解答: 复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数.

D.

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由 z 求出 ,然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解. 2 解:由 z=2﹣i,得 z? =(2﹣i) (2+i)=4﹣i =5. 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘法运算,是基础的计算题. 4. (5 分) (2014?陕西)根据如图框图,对大于 2 的正数 N,输出的数列的通项公式是( )

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A.an=2n 考点: 专题: 分析: 解答:

B.an=2(n﹣1)

C.an=2n

D.an=2n

﹣1

程序框图. 算法和程序框图. 根据框图的流程判断递推关系式,根据递推关系式与首项求出数列的通项公式.
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解:由程序框图知:ai+1=2ai,a1=2, n ∴ 数列为公比为 2 的等边数列,∴ an=2 . 故选:C. 点评: 本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键. 5. (5 分) (2014?陕西)将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( A.4π B.3π C.2π D.π 考点: 专题: 分析: 解答: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 计算题;空间位置关系与距离. 边长为 1 的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,从而可求圆柱的侧面积. 解:边长为 1 的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱, 则所得几何体的侧面积为:1×2π×1=2π, 故选:C. 点评: 本题是基础题,考查旋转体的侧面积的求法,考查计算能力.
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6. (5 分) (2014?陕西)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,则这 2 个点的距离小于该正方形边长 的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 设正方形边长为 1,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度为 1,
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4 条长度为

,两条长度为

,即可得出结论.

解答: 解:设正方形边长为 1,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度 为 1,4 条长度为 ,两条长度为 ,

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www.jyeoo.com ∴ 所求概率为 = .

故选:B. 点评: 本题考查概率的计算,列举基本事件是关键. 7. (5 分) (2014?陕西)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) 3 x A.f(x)=x B.f(x)=3 C. D. x f(x)=( ) f(x)=x 考点: 专题: 分析: 解答: 抽象函数及其应用. 函数的性质及应用. 对选项一一加以判断,先判断是否满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,然后考虑函数的单调性,即可得到答案.
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解:A.f(x)=x ,f(y)=y ,f(x+y)=(x+y) ,不满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,故 A 错; x y x+y B.f(x)=3 ,f(y)=3 ,f(x+y)=3 ,满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,且 f(x)在 R 上是单调增函数, 故 B 正确; C.f(x)= D.f(x)= ,f(y)= ,f(x+y)= ,不满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,故 C 错; ,满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,但 f(x)在

3

3

3

,f(y)=

,f(x+y)=

R 上是单调减函数,故 D 错. 故选 B. 点评: 本题主要考查抽象函数的具体模型,同时考查幂函数和指数函数的单调性,是一道基础题.

8. (5 分) (2014?陕西)原命题为“若 题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真、真、真 B.假、假、真

<an,n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命

C.真、真、假

D.假、假、假

考点: 四种命题. 专题: 阅读型;简易逻辑. 分析: 先根据递减数列的定义判定命题的真假,再判断否命题的真假,根据命题与其逆否命题同真性及四种命题 的关系判断逆命题与逆否命题的真假. 解答: 解:∵ <an?an+1<an,n∈N+,∴ {an}为递减数列,命题是真命题;
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其否命题是:若

≥an,n∈N+,则{an}不是递减数列,是真命题;

又命题与其逆否命题同真同假,命题的否命题与逆命题是互为逆否命题, ∴ 命题的逆命题,逆否命题都是真命题. 故选:A. 点评: 本题考查了四种命题的定义及真假关系,判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键. 9. (5 分) (2014?陕西)某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为 和 s , 若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为( ) 2 2 2 2 2 A. ,s +100 B. +100,s +100 C. ,s D. +100,s2 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 根据变量之间均值和方差的关系和定义,直接代入即可得到结论.
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2

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www.jyeoo.com 解答: 解:由题意知 yi=xi+100, 则 =
2

(x1+x2+…+x10+100×10)=
2

(x1+x2+…+x10)= +100,
2 2

方差 s =

[(x1+100﹣( +100) +(x2+100﹣( +100) +…+(x10+100﹣( +100) ]=
2 2 2

[(x1﹣ ) +

2

(x2﹣ ) +…+(x10﹣ ) ]=s , 故选:D. 点评: 本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系,利用均值和方差的定义是解决本题的关键,要求熟练掌 握相应的计算公式. 10. (5 分) (2014?陕西)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切) ,已知环湖弯曲 路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )

A.

y= x ﹣ x ﹣x

3

2

B.

y= x + x ﹣3x

3

2

C.

y= x ﹣x

3

D. 3 2 y= x + x ﹣2x

考点: 导数的几何意义;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由题设,“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直 线,由此规律验证四个选项即可得出答案. 解答: 解:由函数图象知,此三次函数在(0,0)上处与直线 y=﹣x 相切,在(2,0)点处与 y=3x﹣6 相切,下 研究四个选项中函数在两点处的切线.
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A 选项, B 选项, C 选项, D 选项,

,将 0,2 代入,解得此时切线的斜率分别是﹣1,3,符合题意,故 A 对; ,将 0 代入,此时导数为﹣3,不为﹣1,故 B 错; ,将 2 代入,此时导数为﹣1,与点(2,0)处切线斜率为 3 矛盾,故 C 错; ,将 0 氏入,此时导数为﹣2,与点(0,0)处切线斜率为﹣1 矛盾,故 D 错.

故选 A 点评: 本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用,导数的几何意义是导数主要应用之一 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分) 2 11. (5 分) (2014?陕西)抛物线 y =4x 的准线方程是 考点: 专题: 分析: 解答:

x=﹣1 .

抛物线的简单性质. 计算题. 先根据抛物线的标准方程形式,求出 p,再根据开口方向,写出其准线方程. 解:∵ 2p=4, ∴ p=2,开口向右, ∴ 准线方程是 x=﹣1. 故答案为 x=﹣1.
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www.jyeoo.com 点评: 根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程, 一定要先化为标准形式, 求出 的值, 再确定开口方向, 否则, 极易出现错误. 12. (5 分) (2014?陕西)已知 4 =2,lgx=a,则 x=
a



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 化指数式为对数式求得 a,代入 lgx=a 后由对数的运算性质求得 x 的值. 解答: a 解:由 4 =2,得 ,
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再由 lgx=a= , 得 x= . 故答案为: . 点评: 本题考查了指数式与对数式的互化,考查了对数的运算性质,是基础题.

13. (5 分) (2014?陕西)设 0<θ<

,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(1,﹣cosθ) ,若 ? =0,则 tanθ=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos2θ=0,再利用同角三角函数的基本关系求得 tanθ 解答: 2 2 解:∵ =sin2θ﹣cos θ=2sinθcosθ﹣cos θ=0,0<θ< ,
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∴ 2sinθ﹣cosθ=0,∴ tanθ= , 故答案为: . 点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题. ,x≥0,若 f1(x)=f(x) ,fn+1(x)=f(fn(x) ) ,n∈N+,则 f2014(x)

14. (5 分) (2014?陕西)已知 f(x)= 的表达式为 .

考点: 归纳推理;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 简易逻辑. 分析: 由题意,可先求出 f1(x) ,f2(x) ,f3(x)…,归纳出 fn(x)的表达式,即可得出 f2014(x)的表达式 解答: 解:由题意 .
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故 f2014(x)= 故答案为: 点评: 本题考查逻辑推理中归纳推理,由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征. 选考题(请在 15-17 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)不等式选做题 15. (5 分) (2014?陕西)设 a,b,m,n∈R,且 a +b =5,ma+nb=5,则
2 2

的最小值为



考点: 专题: 分析: 解答:

基本不等式. 不等式的解法及应用.
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根据柯西不等式(a +b ) (c +d )≥(ac+bd) 当且仅当 ad=bc 取等号,问题即可解决. 解:由柯西不等式得, (ma+nb) ≤(m +n ) (a +b ) 2 2 ∵ a +b =5,ma+nb=5, 2 2 ∴ (m +n )≥5 ∴ 的最小值为
2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

故答案为: 点评: 本题主要考查了柯西不等式,属于中档题. 几何证明选做题 16. (2014?陕西)如图,△ ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F,若 AC=2AE,则 EF= 3 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;几何证明. 分析: 证明△ AEF∽ △ ACB,可得
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,即可得出结论.

解答: 解:由题意,∵ 以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F, ∴ ∠ AEF=∠ C, ∵ ∠ EAF=∠ CAB, ∴ △ AEF∽ △ ACB, ∴ ,

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www.jyeoo.com ∵ BC=6,AC=2AE, ∴ EF=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查三角形相似的判定与运用,考查学生的计算能力,属于基础题. 坐标系与参数方程选做题 17. (2014?陕西)在极坐标系中,点(2, )到直线 ρsin(θ﹣ )=1 的距离是 1 .

考点: 专题: 分析: 解答:

点的极坐标和直角坐标的互化. 坐标系和参数方程. 把极坐标化为直角坐标的方法,利用点到直线的距离公式求得结果. 解:根据极坐标和直角坐标的互化公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ,
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可得点(2,

)即(

,1) ; x﹣ y=1,即 x﹣ y﹣2=0, =1,

直线 ρsin(θ﹣ 故点(

)=1 即

,1)到直线 x﹣

y﹣2=0 的距离为

故答案为:1. 点评: 本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 三、解答题(共 6 小题,共 75 分) 18. (12 分) (2014?陕西)△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. (Ⅰ )若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ )若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值. 考点: 余弦定理;等差数列的通项公式;等差关系的确定. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )由 a,b,c 成等差数列,利用等差数列的性质得到 a+c=2b,再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证; (Ⅱ )由 a,b,c 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,将 c=2a 代入表示出 b,利用余弦定理表示 出 cosB,将三边长代入即可求出 cosB 的值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a,b,c 成等差数列, ∴ a+c=2b, 由正弦定理得:sinA+sinC=2sinB, ∵ sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C) , 则 sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ )∵ a,b,c 成等比数列, 2 ∴ b =ac, 2 2 将 c=2a 代入得:b =2a ,即 b= a,
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∴ 由余弦定理得:cosB=

=

= .

点评: 此题考查了余弦定理,等差、等比数列的性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 19. (12 分) (2014?陕西)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD,BC 的平面分别交四面体的棱 AB、 BD、DC、CA 于点 E、F、G、H. (Ⅰ )求四面体 ABCD 的体积;
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www.jyeoo.com (Ⅱ )证明:四边形 EFGH 是矩形.

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )证明 AD⊥ 平面 BDC,即可求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ )证明四边形 EFGH 是平行四边形,EF⊥ HG,即可证明四边形 EFGH 是矩形. 解答: (Ⅰ )解:由题意,BD⊥ DC,BD⊥ AD,AD⊥ DC,BD=DC=2,AD=1, ∴ AD⊥ 平面 BDC,
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∴ 四面体 ABCD 的体积 V=

= ;

(Ⅱ )证明:∵ BC∥ 平面 EFGH,平面 EFGH∩ 平面 BDC=FG,平面 EFGH∩ 平面 ABC=EH, ∴ BC∥ FG,BC∥ EH, ∴ FG∥ FH. 同理 EF∥ AD,HG∥ AD, ∴ EF∥ HG, ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形, ∵ AD⊥ 平面 BDC, ∴ AD⊥ BC, ∴ EF⊥ HG, ∴ 四边形 EFGH 是矩形. 点评: 本题考查线面垂直,考查线面平行性质的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 20. (12 分) (2014?陕西)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) ,点 P(x,y)在△ ABC 三边围成的区域(含边界)上,且 (Ⅰ )若 m=n= ,求| |; =m +n (m,n∈R)

(Ⅱ )用 x,y 表示 m﹣n,并求 m﹣n 的最大值. 考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ )由点的坐标求出向量 和
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的坐标,结合 m=n= ,再由

=m

+n

求得

的坐标,然后由模

的公式求模; (Ⅱ )由 =m +n 得到 ,作差后得到 m﹣n=y﹣x,令 y﹣x=t,然后利用线性规划知识求得 m

﹣n 的最大值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) , ∴ 又 m=n= , ,

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www.jyeoo.com ∴ ∴ (Ⅱ )∵ ∴ ,两式相减得,m﹣n=y﹣x. ; , .

令 y﹣x=t,由图可知,

当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1, 故 m﹣n 的最大值为 1. 点评: 本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算,考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法, 是中档题. 21. (12 分) (2014?陕西)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结 果统计如下: 0 1000 2000 3000 4000 赔付金额(元) 130 100 150 120 车辆数(辆) 500 (Ⅰ )若每辆车的投保金额均为 2800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (Ⅱ )在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4000 元的样本车辆中,车主是新司机的占 20%,估计 在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4000 元的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ ) 设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元, ”B 表示事件“赔付金额为 4000 元”, 以频率估计概率, 求得 P (A) , P(B) ,再根据投保额为 2800 元,赔付金额大于投保金额得情形是 3000 元和 4000 元,问题得以解决. (Ⅱ )设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元”,分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额 为 4000 元的车辆中车主为新司机人数,再求出其频率,最后利用频率表示概率. 解答: 解: (Ⅰ )设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元,”B 表示事件“赔付金额为 4000 元”,以频率估计概率得
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P(A)=

,P(B)=



由于投保额为 2800 元,赔付金额大于投保金额得情形是 3000 元和 4000 元,所以其概率为 P(A)+P(B) =0.15+0.12=0.27. (Ⅱ ) 设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元”, 由已知, 样本车辆中车主为新司机的有 0.1×1000=100, 而赔付金额为 4000 元的车辆中车主为新司机的有 0.2×120=24, 所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为 4000 元的频率为 由频率估计概率得 P(C)=0.24. 点评: 本题主要考查了用频率来表示概率,属于中档题.
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22. (13 分) (2014?陕西)已知椭圆 c,0) ,F2(c,0) . (Ⅰ )求椭圆的方程;

+

=1(a>b>0)经过点(0,

) ,离心率为 ,左右焦点分别为 F1(﹣

(Ⅱ )若直线 l:y=﹣ x+m 与椭圆交于 A、B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C、D 两点,且满足 直线 l 的方程.

=

,求

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )由题意可得 ,解出即可.

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(Ⅱ )由题意可得以 F1F2 为直径的圆的方程为 x +y =1.利用点到直线的距离公式可得:圆心到直线 l 的距 离 d 及 d<1,可得 m 的取值范围.利用弦长公式可得|CD|=2 线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,进而得到弦长 |AB|= 解答: 解: (Ⅰ )由题意可得 , .由 = ,即可解得 m. .设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .把直

2

2

解得

,c=1,a=2. .
2 2

∴ 椭圆的方程为

(Ⅱ )由题意可得以 F1F2 为直径的圆的方程为 x +y =1. ∴ 圆心到直线 l 的距离 d= 由 d<1,可得 , . (*)

∴ |CD|=2

=

=



设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .
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联立
2 2



化为 x ﹣mx+m ﹣3=0, 可得 x1+x2=m, ∴ |AB|= . = .



=

,得



解得

满足(*) . .

因此直线 l 的方程为

点评: 本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基 础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题. 23. (14 分) (2014?陕西)设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R. (Ⅰ )当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (Ⅱ )讨论函数 g(x)=f′ (x)﹣ 零点的个数; (Ⅲ )若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;函数的零点. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )m=e 时,f(x)=lnx+ ,利用 f′ (x)判定 f(x)的增减性并求出 f(x)的极小值;
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(Ⅱ )由函数 g(x)=f′ (x)﹣ ,令 g(x)=0,求出 m;设 φ(x)=m,求出 φ(x)的值域,讨论 m 的 取值,对应 g(x)的零点情况; (Ⅲ )由 b>a>0, <1 恒成立,等价于 f(b)﹣b<f(a)﹣a 恒成立;即 h(x)=f(x)

﹣x 在(0,+∞)上单调递减;h′ (x)≤0,求出 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ )当 m=e 时,f(x)=lnx+ ,

∴ f′ (x)=



∴ 当 x∈(0,e)时,f′ (x)<0,f(x)在(0,e)上是减函数; 当 x∈(e,+∞)时,f′ (x)>0,f(x)在(e,+∞)上是增函数; ∴ x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=lne+ =2; (Ⅱ )∵ 函数 g(x)=f′ (x)﹣ = ﹣ ﹣ (x>0) ,

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www.jyeoo.com 令 g(x)=0,得 m=﹣ x +x(x>0) ; 设 φ(x)=﹣ x +x(x≥0) , ∴ φ′ (x)=﹣x +1=﹣(x﹣1) (x+1) ; 当 x∈(0,1)时,φ′ (x)>0,φ(x)在(0,1)上是增函数, 当 x∈(1,+∞)时,φ′ (x)<0,φ(x)在(1,+∞)上是减函数; ∴ x=1 是 φ(x)的极值点,且是极大值点, ∴ x=1 是 φ(x)的最大值点, ∴ φ(x)的最大值为 φ(1)= ;
2 3 3

又 φ(0)=0,结合 y=φ(x)的图象,如图 可知: ① 当 m> 时,函数 g(x)无零点; ② 当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; ③ 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; ④ 当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 综上,当 m> 时,函数 g(x)无零点; 当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; (Ⅲ )对任意 b>a>0, 等价于 f(b)﹣b<f(a)﹣a 恒成立; 设 h(x)=f(x)﹣x=lnx+ ﹣x(x>0) , ∴ h(x)在(0,+∞)上单调递减; ∵ h′ (x)= ﹣ ∴ m≥﹣x +x=﹣ ∴ m≥ ;
2



<1 恒成立,

﹣1≤0 在(0,+∞)上恒成立, + (x>0) ,

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www.jyeoo.com 对于 m= ,h′ (x)=0 仅在 x= 时成立; ∴ m 的取值范围是[ ,+∞) . 点评: 本题考查了导数的综合应用问题,解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值, 应用分类讨论法,构造函数等方法来解答问题,是难题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有: caoqz; 清风慕竹; 刘长柏; maths; whgcn; gongjy; 742048; xintrl; sxs123; sllwyn; 孙佑中;minqi5;jj2008(排名不分先后)
菁优网 2014 年 6 月 12 日

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