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对数函数图象和性质教学设计


《对数函数的图象和性质》教学设计
北京十八中 王丽敏
一、指导思想和理论依据: 在新课程理念指导下,根据建构主义学习理论,在教学中指导学生利用已有的知识和经 验同化和索引出当前要学习的新知识,实现学生主动地、富有个性的学习,让不同层次的学 生都能领悟,学有所得。 二、教学背景分析: 1、教材分析: 本节课教材是人民教育出版社出版的高中数学(必修)第一册(上)第二章“函数”第 八节。本节教材的内容是,根据对数函数的图象得出对数函数的基本性质,利用对数函数图 象和性质来解决一些和对数有关的简单问题。本节课是指数函数内容的延续和发展,有利于 学生加深对函数、反函数的认识及函数性质的理解,为培养学生利用函数思想来解决数学问 题奠定基础。 2、学生分析: 学习本节内容之前,学生掌握反函数、互为反函数的两函数图象间的关系、指数函数等 知识,为研究对数函数提供了知识上的积累;并且通过前一阶段指数函数的学习,学生已经 具备利用数形结合思想解决问题的意识;但是学生的思维还处在由直观的形象思维向理论的 抽象思维过渡的阶段,思维有一定局限性。 三、教学目标、重点、难点设计: 高中数学教学大纲中明确规定,对数函数为必学内容。教育原则明确强调要将数学思想 教育渗透到数学教学中去, 使学生在获得知识和培养能力同时, 在数学思想上受到良好熏陶。 根据教材要求,学生的认识结构,学生的情况及学生的年龄特点,确定以下教学目标: (1)认知性学习目标:理解对数函数概念,掌握对数函数的图象和性质。 (2)技能性学习目标:通过对数函数的学习,培养学生用类比的方法探索研究数学问 题的素养,树立相互联系,相互转化的观点;渗透数形结合的思想,提高数学发现能力;能 初步利用对数函数的图象和性质解决简单问题。 (3)体验性学习目标:培养学生良好的心理素质,在平等的教学氛围中,通过学生之 间、师生之间的交流、合作,拉近学生之间、师生之间的情感距离,提高学生对数学的兴趣。 根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况确定重点、难点如下: 掌握对数函数的图象,利用对数函数的图象研究对数函数的性质以及对数函数图象的简 单应用是本节课的教学重点。 正确画出对数函数的图象,结合对数函数图象,得出对数函数性质是本节课的难点。研 究函数离不开“形” ,利用 TI 图形计算器得出对数函数图象,围绕图象数形结合,通过和指 数函数类比得出对数函数性质,是掌握重点,突破难点的关键。 四、教学方法设计: 素质教育要求“教师应激发学生学习的积极性,向学生提供充分数学活动的机会,帮助 他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思维和方 法” 。结合本节课内容,以及学生的年龄特点,在教学中采用“有指导的发现法和谈话法”为
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主的教学方法,鼓励学生充分发表自己的见解,引导学生相互启发,共同“发现” 。在教学中 有意识地从以下几个方面对学生进行学法指导: (1)类比联想:学习对数函数处处与指数函数类比,有利于巩固旧知识,理解和掌握 新知识。 (2)数形结合:利用 TI 图形计算器的绘图功能,以形助数,通过对对数图象的分析得 出对数函数的性质,使抽象的问题变得直观,易于理解和掌握。 (3)协作学习:通过小组协商、分析、讨论使模糊不清的知识变得明朗。 具体教学流程是:创设问题情境——小组协作探索——归纳整理——巩固提高。 五、教学媒体设计: 根据本节内容的特点以及本节课的重点和难点, 在教学中指导学生利用 TI 图形计算器辅 助课堂教学。 借助 TI 图形计算器,学生独立地对对数函数 y ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的底数多次 赋值,可以同时观察大量的对数函数图象。根据对数函数图象通过和指数函数类比,加深学 生对对数函数的性质以及对数函数和指数函数的相互关系的认识,逐步培养学生探究问题的 习惯。 六、教学过程设计: 1、教学流程图:

2、教学过程: (1)创设情境,导入新课:
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要求学生在学案上画出指数函数 y ? 2 数函数的图象和性质表对照表。

x

和 y ? ? ? 的图象, 然后对照函数图象完成指

?1? ?2?

x

设计意图: 因为对数函数的图象和性质是利用数形结合思想与指数函数的图象和性质类 比得出的,这样设计能让学生熟悉指数函数的图象、性质以及数形结合思想,为后面对数函 数的教学奠定基础。 接着要求学生思考以下问题:

?1? 问题 1:你能把 y ? 2 和 y ? ? ? 改为对数式形式吗? ?2?
x

x

引导学生从 y ? a x ? x ? log a y ? y ? log a x 过渡,引出对数函数概念,以及本节课的 内容——对数函数的图象和性质。 接着提出新问题:

?1? 问题 2:函数 y ? log 2 x 和 y ? 2 ;函数 y ? log 1 x 和 y ? ? ? 有什么联系? ?2? 2
x

x

结合“问题 1” ,学生很容易得到以上两组函数互为反函数,进而认识到对数函数和指数 函数是互为反函数关系。 问题 3:为何限定底数 a ? 0且a ? 1 ?对数函数的定义域值域分别是什么? “问题 3”是指数函数和对数函数的互为反函数关系的实际应用,加深学生对对数函数 概念的理解。 学生总结对数函数的概念以及对数函数和指数函数的相互关系。 设计意图:由指数函数和反函数得出对数函数概念,这样过渡自然,指数函数和对数函 数的关系明确,不但利于学生理解接受,而且为接下来的内容——画出对数函数图象,通过 图象类比得出对数函数性质做了铺垫。 (2)合作交流,协作探索: 在明确了对数函数概念以及对数函数和指数函数的关系的基础上继续引导学生进行以 下探索。 在课前把学生分成若干组,每组四人,一人任组长。 问题 4:用尽量多的方法画出对数函数 y ? log 2 x 及 y ? log 1 x 的图象。
2

因为有前面学过的指数函数做铺垫,学生易得下面三种画法: (1)描点法; (2)互为反 函数的两函数图象的对称性; (3)TI 图形计算器。 学生用实物投影仪展示自己的成果。 教师点评三种方法的特点,描点法常规,但是不够精确,取值的时候有困难;利用互为 反函数的两函数图象的对称关系,较为直观,准确,但是比较麻烦;利用 TI 图形计算器避免 了复杂的运算,不但方便、快捷而且非常准确。
2

设计意图:本节主要内容都是在观察对数函数图象基础上展的,三种作图方法相对比, 能加深学生对对数函数图象的认识, 激发学生学习的兴趣。 利用 TI 图形计算器作出对数函数 图象,为接下来通过图象研究性质做了准备。 当学生掌握对数函数图象的画法后,继续提出以下问题,让学生讨论: 问题 5:利用图形计算器研究当函数的底数变化时,函数图象如何变化? 当学生在讨论中遇到困难时,教师给予点拨(如提示学生画多个对数函数的图象考察; 类比指数函数图象的特点研究. . . . . . ) 。 选几个小组汇报自己观察得到的结论,教师对 各组的结论进行总结: (1)图象位于 y 轴的右侧; (2)图象经过定点(1,0) ; ( 3 ) 当 a ?1 时 , y ? l o g a x 的 图 象 与

y ? log 2 x 的图象类似;当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? log a x 的图象与函数 y ? log 1 x 类似;
2

(4)当 a ? 1时,底数越大函数的图象越接近 x 轴;当 0 ? a ? 1 ,底数越小越函数的图 象接近 x 轴; . . . . . . 设计意图:利用传统的“纸笔——计算——描点——作图”能完成这一工作。但是存在 两个问题,如果函数图象画得太少,则难发现“数、形”之间的联系;如果画得太多,则大 量冗长的计算和描点操作又会影响学生的观察。 TI 图形计算器强大的图形处理能力却能弥补 这些不足,一方面分组合作交流,为学生提供一个轻松开放的学习环境;另一方利用 TI 图形 计算器绘出的图形,同时对多个对数函数的“形”进行观察,有利于学生把握“形”的特征, 培养学生识图能力,分析概括能力。更重要的是这些案例都是学生自己选择并做出的,学生 能亲自参与知识的发现过程,变被动地接受知识为主动的探究过程。 (3)类比联想,归纳整理: 当学生基本掌握了底数变化时对数函数图象的特点后,要求学生类比指数函数性质,结 合前面讨论的结果,整理对数函数性质,完成对数函数图象和性质对照表。 设计意图:指导学生把观察到的对数函数图象的特点,抽象成一般的对数函数的性质, 符合学生的认知规律; 另外总结对数函数的性质时依据对数函数的图象, 类比指数函数性质, 能培养学生利用类比思想和数形结合思想分析问题解决问题的能力, 符合使用 TI 图形计算器 辅助课堂教学的初衷。 (4)巩固反馈,应用提高: 要求学生独立完成以下练习,并总结解题中用到的对数函数的性质。 比较下列各组数的大小: (1) log 2 3.4 , log 2 8.5 ; (2) log 0.3 1.8, log 0.3 2.7 ;
3

(3) log a 5.1 , log a 5.9(a ? 0, a ? 1) ; 设计意图:通过这个环节让学生初步体会对数函数图象和性质的重要作用,不但可以加 深学生对对数函数图象和性质的理解,而且可以帮助老师了解学生对知识的掌握情况。 完成以上练习后教师提出新的问题:函数 y ? a 和 y ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1 )互为
x

反函数,两函数的图象可能相交吗?若相交,交点个数怎样? 学生在学习完本节内容后,对指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log a x 的图象是否会相交
x

的问题始终存在错觉。因为从课本及其它很多参考书上所给的在同一坐标系内指数函数

y ? a x 与对数函数 y ? log a x 的图象看,当 a ? 1 时,两函数的图象似乎是不相交的。
教师引导学生利用 TI 图形计算器附带的几何画板功能, 绘出可变底数的指数函数和对数 函数的图象,通过对这些函数的图象的研究,讨论得出正确的结论。

设计意图:利用 TI 图形计算器演示图形,使难以理解的结论直观呈现在学生面前,一
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方面加深学生对数函数和指数函数的相互关系的理解,提高利用数形结合思想分析问题解决 问题的能力,另一方面让学生明确多角度,多方位探讨问题的重要性。 最后教师引导学生从知识角度和能力角度对本节内容作小结。 七、教学效果: 在课堂上学生积极的思考、讨论、发言、主动的将原来所学过的知识运用到新的情境中, 知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。TI 图形计算器的使用,使数学问题变 得直观、形象,易于理解,激发了学生的学习兴趣。分小组探讨问题,不但各组内的同学通 力合作,而且组与组之间互相交流,学习,培养了学生的协作能力。 这节课的思路是通过“形”去研究对数函数的性质;通过“形”去研究指数函数和对数 函数的关系;通过“形”研究指数函数和对数函数的交点问题。TI 图象计算器的绘图功能是 这一切顺利实现的保证。传统教学中,教师也会事先做好课件,让学生体会知识的形成过程, 但是 TI 图形计算器的便携性,使学生可以亲自实践,参与到探索活动中,自己动脑设计,自 己动手操作,这是传统教学无论如何都无法比拟的。 八、学习效果评价: 评价 方式 教师 评价 课堂发言思考的积极性 课堂练习的正确性 课堂学习的认真程度 小组 互评 设计解决问题的方法和方案 小组发言的次数和质量 和同学协作的融洽程度 学生 自评 学习中的自我反思 合作交流的意识 本节课在知识和方法等方面 获得的收获程度 多 强 强 一般 一般 中等 本节课学习的满意度 评价项目 A 评价 B C 好 好 好 好 多、好 好 好 一般 一般 一般 一般 一般 一般 一般 差 差 差 差 少、差 差 不满 意 无 弱 弱 A B C 评价内容 说明

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