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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第四章 数系的扩充 复数的概念要点解读素材 北师大版选修1-2


复数的概念要点解读
一、复数的基本概念: 为了解决 ?1 有解这一问题,引进了新数 i; 1)虚数单位:i 叫做虚数单位,并规定: ①它的平方等于?1,即 i ? ?1 ;
2

②和无理数相似,虚数单位 i 可与实数进行四则运算,进行四则运算时,原有的加,乘 运算律仍然成立。 规定: 0 ? i ? 0 ,这时任何一个实数 a 都可以写成

a ? a ? 0 ? i 的形式。 2)复数:形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数( z ? a ? b ? i(a, b ? R) ) a 和 b 分别叫做复数 z 的实部和虚部,分别用 Rez(Real)和 Imz(Imaginary)表示。 全体复数所成的集合称为复数集一般用字母 C 表示(Complex numbers) 。 当 b=0 时,就是实数;当 b≠0 时叫虚数;当 a=0,b≠0 时,叫做纯虚数。 引入新数 i(虚数单位)后,我们将数系由实数集扩充到了复数集,从而完成了数系的 最后一次扩展。 二、几个基本要点 1、正确认识复数的实部与虚部 对于复数 a ? bi(a, b ? R) ,实部是 a ,虚部是 b .注意在说复数 a ? bi 时,一定有

a, b ? R ,否则,不能说实部是 a ,虚部是 b ,复数的实部和虚部都是实数.
说明:对于复数的定义,特别要抓住 a ? bi 这一标准形式以及 a , b 是实数这一概念,这 对于解有关复数的问题将有很大的帮助. 2、关于复数能否比较大小分析 教材最后指出:“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小”,要注意: ①根据两个复数相等地定义,可知在 a ? c,

b ? d 两式中,只要有一个不成立,那么

a ? Bi ? c ? di .两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大
小. ②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指: “不论怎样定义两个复数间的一 个关系‘<’,都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”:

(i)对于任意两个实数 a, b 来说,a<b, a=b, b<a 这三种情形有且仅有一种成立; (ii)如果 a<b,b<c,那么 a<c; (iii)如果 a<b,那么 a+c<b+c; (iv)如果 a<b,c>0,那么 ac<bc.(不必向学生讲解) 3、在讲复数集与复平面内所有点所成的集合对应时注意事项 ①任何一个复数 z ? a ? bi 都可以由一个有序实数对( a, b )唯一确定.这就是说,复 数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对( a, b )叫做复数的. ②复数 z ? a ? bi 用复平面内的点 Z( a, b )表示.复平面内的点 Z 的坐标是( a, b ), 而不是( a,

b i ),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是 1,而不是 i .由于 i =0

+1· i ,所以用复平面内的点(0,1)表示 i 时,这点与原点的距离是 1,等于纵轴上的单位 长度.这就是说,当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 i 时,不能以为这一点到原点的距离 就是虚数单位 i ,或者 i 就是纵轴的单位长度. ③当 a ? 0 时,对任何 b ? 0 , a ? bi ? 0 ? bi ? bi 是纯虚数,所以纵轴上的点 ( 0,

b )( b ? 0 )都是表示纯虚数.但当 a ? b ? 0 时, a ? bi ? 0 是实数.所以,纵轴去掉

原点后称为虚轴. 由此可见, 复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平 面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点. ④复数 z=a+bi 中的 z,书写时小写,复平面内点 Z(a,b)中的 Z,书写时大写.要学 生注意. 4、正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系 分类要求不重复、 不遗漏, 同一级分类标准要统一. 根据上述原则, 复数集的分类如下:

注意分清复数分类中的界限:

①设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 z 为实数 ? b ? 0. ② z 为虚数 ? b ? 0. ③ z ? 0 ? a ? 0 且b ? 0 . ④ z 为纯虚数 ? a ? 0 且 b ? 0. 5、关于共轭复数的概念 设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 z ? a ? bi ,即 z 与 z 的实部相等,虚部互为相反数(不能 认为 a ? bi 与 ? a ? bi 或 ? a ? bi 是共轭复数) . 教师可以提一下当 b ? 0 时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:5 和 -5 也是互为共轭复数.当 b ? 0 时, a ? bi 与 a ? bi 互为共轭虚数.可见,共轭虚数是共 轭复数的特殊情行.


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