2015年高三数学(文科)周练(八)试题

2015 年高三数学（文科）周练（八）试题
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．复数

a－2i （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 1＋2i

A．4 B．－4 C．1 D．－1 2．直线 2x＋my＝2m－4 与直线 mx＋2

y＝m－2 平行的充要条件是 A．m＝2 B．m＝±2 C．m＝0 D．m＝－2 3．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2 3 ，它的三视图 中的俯视图如图所示,左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是 A．4 B．2 3 C．2 D． 3 4．设函数 f（x）＝Asin（ω x＋ ? ） （A≠0，ω ＞0，－ 的图像关于直线 x＝

2? 对称，它的周期是π ，则 3 1 A．f（x）的图象过点（0， ） 2 ? 2? B．f（x）在[ ， ]上是减函数 12 3 5? C．f（x）的图像一个对称中心是（ ，0） 12
D．f（x）的最大值是 4

? ? ＜? ＜ ） 2 2

5．已知圆 x2＋y 2＝4 ，则以点 P（1，1）为中点的 弦所在直线方程为 A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0 C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0 6．某程序的流程图如图所示，若使输出的结果不大于 38， 则输入的整数 i 的最大值为 A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知△ABC 中，C＝45°，则 sin A＋sin B － 2 sinAsinB＝ A．
2 2

1 4

B．

1 2

C．

2 2

D．

3 4

8．已知双曲线

x 2 y2 a2 － ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的右焦点 F （ c ， 0 ） ，直线 x ＝ 与其 a 2 b2 c
B． （1， 3 ） C． （1， 2 ） D． （ 2 ，＋∞）

渐近线交于 A，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 A． （ 3 ，＋∞）

1

9．若｜a｜＝1，｜b｜＝2，c＝a＋b 且 c⊥a，则向量 a 与 b 的夹角为 A．30° B．60° C．120° D．150° 10．函数 y＝

x －2sinx 的图象大致是 2

11．点 A、B、C、D 在同一个球的球面上，AB＝BC＝ 2 ，AC＝2，若四面体 ABCD 体积的最大值为 A．

125? 6

2 ，则这个球的表面积为 3
B．8π C．

25? 4

D．

25? 16

12．已知函数 f（x）在 R 上可导，下列四个选项中正确的是 A．若 f ( x) ? f ' ( x) 对 x∈R 恒成立，则 e f（1）＜f（2） B．若 f ( x) ? f ' ( x) 对 x∈R 恒成立，则 e f（－1）＞f（1）
2

C．若 f ( x) ? f ' ( x) ? 0 对 x∈R 恒成立，则 e f（2）＜f（1） D．若 f ( x) ? f ' ( x) ? 0 对 x∈R 恒成立，则 f（－1）＞ e f（1）
2

二.填空题：本大题共 4 小题．每小题 5 分，共 20 分．把正确答案填在题中横线上.

? x＋y－4≤0 ? 13．实数 x，y 满足条件 ? x－2y＋2≥0 ，则 z＝2x－y 的最小值为___________． ? x≥0, y≥0 ? uuu r uur 2 14．已知以 F 为焦点的抛物线 y ＝4x 上的两点 A、B 满足 AF ＝3 FB ，则弦 AB 的中点
到准线的距离为______________． 15．已知函数 f（x）＝a x －bx＋1，其中 a，b∈[0，2]，则此函数在[1，＋∞）上递 增的概率为_______________． 16．若 a＞1，设函数 f（x）＝ a ＋x－4 的零点为 m，g（x）＝ log a x ＋x－4 的零点为 n，则
x
2

1 1 ＋ 的取值范围是______________． m n

2

2015 年高三数学（文科）周练（八）试题答题卷
二.填空题：本大题共 4 小题．每小题 5 分，共 20 分．把正确答案填在题中横线上. 13._______________. 14.___________________.

15._______________. 16.___________________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分 12 分） 已知公差不为 0 的等差数列{ an }的首项 a1＝2，且 （Ⅰ）求数列{ an }的通项公式； （Ⅱ） 若数列{ bn }满足 b1＋2b2＋ 22 b3 ＋…＋ 2n－1 bn ＝ an ， 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn ．

1 1 1 ， ， 成等比数列． a1 a2 a4

18． （本小题满分 12 分） 为预防某种流感病毒爆发，生物技术科研所研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗 的有效性（若疫苗有效的概率小于 90％，则认为测试没有通过） ，公司选定 2000 个流感样本分成三组，测试结果如下表： 分组 A组 B组 C组 疫苗有效 673 a b 疫苗无效 77 90 c 已知在全体样本中随机抽取 1 个，抽到 B 组疫苗有效的概率是 0．33． （Ⅰ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果，问应在 C 组抽取样 本多少个? （Ⅱ）已知 b≥465，c≥30，求通过测试的概率．

3

19． （本小题满分 12 分） 如图， 四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是矩形， 侧面 PAB 是正三角形， AB＝2， BC＝ 2 ， PC＝ 6 , E、H 分别为 PA、AB 的中点． （Ⅰ）求证：PH⊥AC； （Ⅱ）求三棱锥 P－EHD 的体积．

20． （本小题满分 12 分） 已知中心在原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为

3 2 的椭圆过点（ 2 ， ） ． 2 2

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P，Q 两点，直线 OP，PQ，OQ 的 斜率依次成等比数列， 求△OPQ 面积的取值范围．

4

21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)＝a x －x（a∈R，a≠0） ，g(x)＝lnx （Ⅰ）讨论函数 f(x)－g(x)在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图像有交点，求 a 的最大值．
2

5

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。 做答时请写清题号。 22． （本小题满分 10 分）选修 4－1：平面几何 已知 AB 为半圆 O 的直径，AB＝4，C 为半圆上一点，过点 C 作半圆的切线 CD， 过点 A 作 AD⊥CD 于 D，交圆于点 E，DE＝1． （Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD； （Ⅱ）求 BC 的长．

23． （本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ?

? ? x＝－2－t （t 为参数） ， ? ? y＝2－ 3t

直线 l 与曲线 C： ( y－2)2－x2＝ 1 交于 A，B 两点 （Ⅰ）求｜AB｜的长； （Ⅱ）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标 为（2 2 ，

3? ）求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离． 4

24． （本小题满分 10 分）选修 4－5；不等式选讲． 已知关于 x 的不等式｜2x－a｜＋｜x＋3｜≥2x＋4，其中 a∈R． （Ⅰ）若 a＝1，求不等式的解集； （Ⅱ）若不等式的解集为 R，求 a 的取值范围．

6

2015 年高三数学（文科）周练（八）试题答案
一、选择题:

1—5 ADBCA
二、填空题

6—10
8 3

ABCCA
3 4

11—12 CD
16、[1， +?）

13、-1

14、

15、

7

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9