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含绝对值不等式的解法2


期中复习题七
1、若|a+c|<b,则( ) (A)|a|<|b|-|c| (B)|a|>|c|-|b| (C)|a|>|b|-|c| (D)|a|<|c|-|b| )

11、 设函数 值( A.5 ) B.-1

对任意

恒成立, 则 a-b 的最大

2、设 a ? 0 ,不等式 |

ax ? b |? c 的解集是 {x | ?2 ? x ? 1} ,则 a : b : c 等于( (A) 1: 2 : 3 (B) 2 :1: 3 (C) 3 :1: 2 (D) 3 : 2 :1 )

C.-2

D.

12、若关于 x 的不等式 a2-4+4x-x2>0 成立时,不等式|x2-4|<1 成立,则正数 a 的取值范围 是_______.
13、对非零实数 a 和 b , 2a ? b ? 2a ? b ? a ( 2 ? x ? 2 ? x ) 恒成立,实数 x 的取值范围是_____ 14、若 1<a<3,-4<b<2,那么 a-|b|的取值范围是_______ (-3,3)

3、已知 a, b ? R ,若 a ? b ? 1,则下列各式中成立的是( A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1

C. a ? b ? 1

D. a ? b ? 1

2 4、 设 a 、b 、c 是互不相等的正数, 现给出下列不等式 ⑴ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ⑵a ?

1 1 ?a? ; 2 a a


15、使关于 x 的不等式|x+1|+k<x 有解的实数 k 的取值范围是________. 16、已知|a+b|<-c(a、b、c∈R),给出下列不等式: ①a<-b-c;②a>-b+c;③a<b-c;④|a|<|b| -c;⑤|a|<-|b|-c. 其中一定成立的不等式是________(注:把成立的不等式的序号都填上

1 ? 2 ;⑷ a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a ,则其中正确个数是( ⑶ a?b ? a?b
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5、设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与 2 的大小关系是( A.|a+b|+|a-b|>2 C.|a+b|+|a-b|=2 6、若集合 B.|a+b|+|a-b|<2 D.不能比较大小

)
17、设 a>b>0 ,则

a2 ?

1 1 ? ab a ? a ? b ?

的最小值是________ . [?2,1] ? [2,??) (2,+∞)

18、不等式 (| x | ?2)(x ? 1) ? 0 的解集为

A ? x x 2 ? 5x ? 4<0 ; B ? x x ? a <1 ,

?

?

?

?

则“ a ? (2,3) ”是“ B ? A ”的(



19、不等式 | 2x ?1 ? log3 ( x ?1) |?| 2x ?1| ? | log3 ( x ?1) | 的解集是

(A)充分不必要条件 (C)充要条件
A. M ?
1 2

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
) C. M ?
1 2

20、若关于 x 的不等式 | x ? m |? 2 成立的充分不必要条件是 2 ? x ? 3 ,则实数 m 的取值范围是 _______。 (1,4)
2 21、若关于 x 的不等式 x ? a | x | ?4 ? 0 恒成立,则 a 的取值范围是_____________. a ? 4

7、设 a、b 为任意为实数,记 | a ? b |,| a ? b |,| b ? 1| 三者中的最大值为 M,则( B. M ? 1 D. M ? 1

8、已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ | x ? 2 | ? | x |? a 恒成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

22、已知

2x ? 1 5 ? 3x ?1 ? x ? , 求 | x ? 1 | ? | x ? 3 | 的最大值和最小值. 3 2
最小值为 ?

9、 已知 a>0,集合 A={x||x+2|<a},B={x| a x >1},若 A∩B≠ ? , 则实数 a 的取值范围是 ( A.(2,+∞) C.(0,1)∪(2,+∞) 10、若不等式 A. B. 对 C. B.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞) 恒成立,则实数 的取值范围是( D. )



最大值为 4

36 11
2

? 9 ? ? ? ,2? x ? 2? x ?t 23、存在 x ? 0 ,使得不等式 成立,则实数 t 的取值范围为_____________ ? 4 ?

|a| 1 24、设 a+b=2,b>0,则当 a=________时,2|a|+ b 取得最小值.
25、若关于 x 的方程 x2-4x+|a|+|a-3|=0 有实根. (1)求实数 a 的取值集合 A;

(2)若存在 a∈A, 使得不等式 t2-2a|t|+12<0 成立,求实数 t 的取值 范围.

又对任意实数 x 恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5, 于是得 m<5,即 m 的取值范围是(-∞,5).

25、 (1)Δ =16-4(|a|+|a-3|)≥0,即-

≤a≤

.所以 A=[-



].

28、已知函数 f ( x) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) = x ? 3 . (Ⅰ )当 a =2 时,求不等式 f ( x) < g ( x) 的解集;

(2)令 f(a)=t -2a|t|+12,即 f(a)min<0 即可,f( )=t -7|t|+12<0, ∴3<|t|<4.所以-4<t<-3 或 3<t<4.
26、设函数

2

2

a 1 (Ⅱ )设 a >-1,且当 x ∈ [ 2 , 2 )时, f ( x) ≤ g ( x) ,求 a 的取值范围. ?
28、解 当 a =-2 时,不等式 f ( x) < g ( x) 化为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 ,

f ( x) ? x ? 2a , a ? R

.

(1)若不等式 f ( x) ? 1 的解集为 ?x | 1 ? x ? 3? ,求 a 的值; (2)若存在

x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ? 3 ,求 a 的取值范围

26、由题意可得 | x ? 2a |? 1 可化为 2a ? 1 ? x ? 2a ? 1 ,

1 ? x? ??5 x, 2 设函数 y = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 , y = ? , 1 ? ? x ?1 ?? x ? 2, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? ?

? 2a ? 1 ? 1 ,解得 a ? 1 . ? ?2 a ? 1 ? 3 ?2 x ? 2a, x ? 2a (2)令 g ( x) ? f ( x) ? x ?| x ? 2a | ? x ? ? , x ? 2a ? 2a,
所以函数 g ( x) ? f ( x) ? x 最小值为 2 a ,

其图像如图所示 从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, y <0,∴原不等式解集是 {x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ)当 x ∈[ ?

a 1 , )时, f ( x) = 1 ? a ,不等式 f ( x) ≤ g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 2 2 4 a 1 a , )都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ≤ , 3 2 2 2

3 3? ? 根据题意可得 2a ? 3 ,即 a ? ,所以 a 的取值范围为 ? ? ?, ? 2 2? ?
27、已知函数 f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m. (1)解关于 x 的不等式 f(x)+a-1>0(a∈R); (2)若函数 f(x)的图像恒在函数 g(x)的图像的上方,求 m 的取值范围. 27、解:(1)不等式 f(x)+a-1>0, 即|x-2|+a-1>0, 当 a=1 时,解集为 x≠2,即(-∞,2)∪(2,+∞); 当 a>1 时,解集为全体实数 R; 当 a<1 时,解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞). (2)f(x)的图像恒在函数 g(x)图像的上方, 即为|x-2|>-|x+3|+m 对任意实数 x 恒成立, 即|x-2|+|x+3|>m 恒成立,

∴ x ? a ? 2 对 x ∈[ ? ∴a 的取值范围为(-1,

4 ]. 3

29、已知 f(x)=x|x-a|-2. (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)<|x-2|; 1 2 (2)当 x∈(0,1]时,f(x)< x -1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 23.解:(1)a=1 时,f(x)<|x-2|,即 x|x-1|-2<|x-2|.※ ①当 x≥2 时,由※? x(x-1)-2<x-2? 0<x<2. ∴x∈?; ②当 1≤x<2 时,由※? x(x-1)-2<2-x? -2<x<2. ∴1≤x<2; ③当 x<1 时,由※? x(1-x)-2<2-x? x∈R.∴x<1.综上:可知原不等式的解集为{x|x<2}.

1 2 (2)当 x∈(0,1]时,f(x)< x -1, 2 1 2 1 1 3 1 即 x|x-a|-2< x -1 恒成立,也即 x- <a< x+ 在 x∈(0,1]上恒成立, 2 2 x 2 x 1 1 而 g(x)= x- 在(0,1]上为增函数, 2 x 1 3 1 故 g(x)max=g(1)=- ;h(x)= x+ ≥2 2 2 x 3 3 1 6 = 6,当且仅当 x= ,即 x= 时,等号成立. 2 2 x 3

a b? 17、设 m 是|a|,|b|和 1 中最大的一个,当|x|>m 求证:? ?x+x2?<2. 18、已知 x ? a ?

? ? ,0 ? y ? b ? , y ? (0, M ) ,求证 xy ? ab ? ? . 2M 2a

19、已知二次函数 f ?x? ? ax2 ? bx ? c?a, b, c ? R? ,若 f ?? 1? ? 1, f ?0? ? 1, f ?1? ? 1 证明: 当 x ? 1时, f ? x ? ?

37 12

? 1 ? 故 a∈?- , 6?. ? 2 ?
29、解关于 x 的不等式 | ax ? 1 |? a ? 1(a ? ?1). 当 ? 1 ? a ? 0时, x ?

19、证明:由 f ?? 1? ? a ? b ? c, f ?0? ? c, f ?1? ? a ? b ? c 可得

a?

1 1 1 1 f ?1? ? f ?? 1? ? f ?0?, b ? f ?1? ? f ?? 1?, c ? f ?0? 2 2 2 2

a?2 , 或x ? ?1, a

? f ?x ? ? [

当 a ? 0 时,原不等式的解集为 ? . 当 a ? 0时, x ? 30、

a?2 , 或x ? ?1, a

1 1 1 1 f ?1? ? f ?? 1? ? f ?0 ?]x 2 ? [ f ?1? ? f ?? 1?]x ? f ?0 ? 2 2 2 2 1 1 ? x? x ? 1? f ?? 1? ? x? x ? 1? f ?1? ? 1 ? x 2 f ?0 ? 2 2

?

?

? f ?x ? ?

已知函数 f ( x) ? x ? 1 .

1 x?x ? 1? f ?? 1? ? 2

1 x?x ? 1? f ?1? ? 1 ? x 2 f ?0? 2

?

?

又? f ?? 1? ? 1, f ?0? ? 1, f ?1? ? 1, x ? 1

(Ⅰ)解不等式 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) ? 6 ; (Ⅱ)若 a ? 1, b ? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f (ab ) ? a f ( ) . 15、. (I)不等式的解集是 (??,?3] ? [3,??) ------------------------------5 分
2 2 (II)要证 f (ab ) ? a f ( ) ,只需证 | ab ? 1 |?| b ? a | ,只需证 (ab ? 1) ? (b ? a)

b a

? f ?x ? ?

1 1 1 ? 37 37 ? x ?x ? 1? ? x ?x ? 1? ? 3 1 ? x 2 ? ?3x 2 ? x ? 3 ? ?3? x ? ? ? ? 2 2 6 ? 12 12 ?

?

?

2

b a

2、设 a、b∈R,已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=cx2+bx+a,当|x|≤1 时,|f(x)|≤2 ⑴ 求证:|g(1)|≤2;⑵ 求证:当|x|≤1 时,| g(x)|≤4.

而 (ab ? 1) ? (b ? a) ? a b ? a ? b ? 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 , 从 而 原 不 等 式 成
2 2 2 2 2 2 2 2

立.----------------------------------------10 分 16、设 (I)当 a=1 时,解不等式 (Ⅱ)若 16、解: (Ⅰ) [?2, 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2、证明(1) ∵|x|≤1 时,|f(x)|≤2 |g(1)|=|c+b+a|=|f (x)|≤2 2 (2) 当|x|≤1 时,|g(x)|=|cx +bx+a|=|c(x2-1)+bx+a+c| =|c(x2-1)|+|bx+a+c|≤|c|+|a± b+c|≤2+2=4 2、函数 f(x)=ax+b,当|x|≤1 时,都有|f(x)|≤1,时, 求证:|b|≤1,|a|≤1. 6、求证

a 2 ? b2 a

?a?b

10 ]. 3

(Ⅱ)实数 a 的取值范围 ?6, ??? .

1 设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系,它们的相关系数是 r,y 关于 x 的回归直线的斜率是 b, 纵截距是 a,那么必有( ) A. b 与 r 的符号相同 B. a 与 r 的符号相同 C. b 与 r 的相反 D. a 与 r 的符号相反


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