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平面向量基础练习 (1)


基础过关题()----向量的线性运算
一、选择题 1.下列命题中,正确的是( ) B.对于任意向量 a, b ,有 a ? b ? a ? b D.对于任意向量 a, b ,有 a ? b ? a ? b

A.若 a // b, b // c ,则 a // c C.若 a ? b ,则 a ? b 或 a ? ?b

2.已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 , 那么( ) A. AO ? OD B. AO ? 2OD C. AO ? 3OD D. 2 AO ? OD 3.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是( ) (A) AB = DC ;
?? ?
?? ?

??? ? ??? ? ??? ? ????

????

????

????

????

??? ?

??? ?

????

?? ?

?? ?

(B) AD + AB = AC ;
?? ?
?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

D ) A B

C

(C) AB - AD = BD ; (D) AD + CB = 0 . 4.若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是(

?? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? C. EF ? ?OF ? OE
A. EF ? OF ? OE

B. EF ? OF ? OE

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? D. EF ? ?OF ? OE

5.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C) ,则 AP ? ( A. ?( AB ? AD), ? ? (0,1) B. ? ( AB ? BC), ? ? (0,



2 ) 2 2 C. ?( AB ? AD), ? ? (0,1) D. ? ( AB ? BC), ? ? (0, ) 2 ??? ? ??? ? ??? ? 6.已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC ? ( ) ? 1 ??? ? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? 1 ??? A. 2OA ? OB B. ?OA ? 2OB C. OA ? OB D. ? OA ? OB 3 3 3 3
7.已知向量 a 与 b 反向,且 a ? r , b ? R, b ? ? a ,则 ? 的值等于( ).

A.

r R
D.

B. ?

r R

C.

?

R r

R r

二、填空题: 1.给出以下四个条件:⑴ a ? b ;⑵ a ? b ;⑶ a 与 b 方向相反;⑷ a ? 0或 b ? 0 .其中能 使 成立的条件是 . ,则 OA ? OB ? ________.

2.已知 OA ? 3 , OB ? 3 ,

考查目的:考查平面向量加法的三角形法则.

-1-

答案:

.

解析:∵ 长,∴ .

,且



是以

为两邻边的矩形的对角线的

3.已知 x, y 是实数,向量 a , b 不共线,若 ( x ? y ? 1)a ? ( x ? y)b ? 0 ,则 x ? _______, y ? _______. 考查目的:考查平面向量的数乘运算和相等向量的综合应用.

答案:

.

解析:由已知得

,解得

.

4.在平行四边形 ABCD 中, AB ? e1 , AC ? e2 , NC ?

1 1 AC , BM ? MC ,则 4 2

MN ? ________(用 e1 , e2 表示).
考查目的:考查平面向量的加、减法运算及其综合应用能力.

答案:

.

解析:∵

,∴ ,∴

.∵ , .





5.一艘船以 5 km 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶,而船实际的航行方向与水流成 30°, 则船的实际速度的大小为______,水流速度的大小为______.

三、解答题 1.如图,四边形 ABCD 和 BCED 都是平行四边形.
-2-

⑴写出与 ⑵写出与

相等的向量: 共线的向量:

; .

2.若 a , b 都是非零向量,在什么条件下向量 a ? b 与 a ? b 共线? 考查目的:考查平面向量共线定理的向量形式及其运算. 解析:因为 , 则由 且 ,∴ 都是非零向量,向量 与 ,∴ 与 中至少有一个不为零向量,不妨设 , ∴ 时, 与 , ∵ 共线.

共线知, 存在实数 使 ,∴ .由上可知,当

3.已知向量 a,b 满足 (a ? 3b) ?

1 5

1 1 (a ? b) ? (3a ? 2b ) , 2 5

求证:向量 a 与 b 共线,并求|a|∶|b|.

4.如图,已知平行四边形 ABCD,点 M、N 分别是边 DC、BC 的中点,射线 AM 与 BC 相交于点 E.设 AB ? a , AD ? b ,试用 a , b 表示向量 AM 、 AN 、 AE .
E

D

M C N

A

B

-3-

-4-


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