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2016高考


题组层级快练(十三)
1.方程 log3x+x-3=0 的解所在的区间是( A.(0,1) C.(2,3) 答案 C 解析 设 f(x)=log3x+x-3,则 f(2)=log32-1<0,f(3)=log33+3-3=1>0. ∴f(x)=0 在(2,3)内有零点. 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)=0 的零点在(2,3)内. 2.(20

15· 衡水调研卷)方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是( A.1 C.3 答案 B 解析 (数形结合法) B.2 D.4 ) ) B.(1,2) D.(3,4)

∵a>0,∴a2+1>1. 而 y=|x2-2x|的图像如图,

∴y=|x2-2x|的图像与 y=a2+1 的图像总有两个交点.
2 ? ?lnx-x +2x ?x>0?, 3.函数 f(x)=? 的零点个数为( ?2x+1 ?x≤0? ?

)

A.0 C.2 答案 D

B.1 D.3

解析 依题意, 在考虑 x>0 时可以画出 y=lnx 与 y=x2-2x 的图像, 可知两个函数的图像有两个交点, 当 x≤0 时,函数 f(x)=2x+1 与 x 轴只有一个交点,所以函数 f(x)有 3 个零点.故选 D. 4.(2014· 湖北文)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x.则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3} 答案 D 解析 当 x≥0 时,函数 g(x)的零点即方程 f(x) =x-3 的根,由 x2-3x=x-3,解得 x=1 或 3; 当 x<0 时,由 f(x)是奇函数,得-f(x) =f(-x)=x2-3(-x),即 f(x)=-x2-3x.由 f(x)=x-3,得 x=- 2- 7(正根舍去).故选 D. ) B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3}

1 5.(2015· 浙江嘉兴测试)已知函数 f(x)=( )x-cosx,则 f(x)在[0,2π]上的零点个数为( 4 A.1 C.3 答案 C B.2 D.4

)

1 1 1 1 解析 函数 f(x)=( )x-cosx 的零点个数为( )x-cosx=0?( )x=cosx 的根的个数,即函数 h(x)=( )x 与 4 4 4 4 g(x)=cosx 的图像的交点个数.如图所示,在区间[0,2π]上交点个数为 3,故选 C.

6.函数 f(x)=x3-x2-x+1 在[0,2]上( A.有两个零点 C.仅有一个零点 答案 C

) B.有三个零点 D.无零点

解析 由于 f(x)=x3-x2-x+1=(x2-1)(x-1). 令 f(x)=0,得 x=-1,1. 因此 f(x)在[0,2]上仅有一个零点. 7.函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内( A.没有零点 C.有且仅有两个零点 答案 B
1

) B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

解析 原函数 f(x)= x-cosx 可理解为幂函数 x2与余弦函数的差,其中幂函数在区间[0,+∞)上单调 递增、余弦函数的最大值为 1,在同一坐标系内构建两个函数的图像,注意到余弦从左到右的第 2 个最高 点是 x=2π,且 2π>1=cos2π,不难发现交点仅有一个.正确选项为 B. 8.若函数 f(x)=x3-3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( A.(-2,2) C.(-∞,1) 答案 A 解析 只需 f(-1)f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0, 故 a∈(-2,2). 1 9. (2015· 东城区期末)已知 x0 是函数 f(x)=2x+ 的一个零点. 若 x1∈(1, x0), x2∈(x0, +∞), 则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 ) B.[-2,2] D.(1,+∞) )

C.f(x1)>0,f(x2)<0 答案 B

D.f(x1)>0,f(x2)>0

1 1 1 解析 设 g(x)= , 由于函数 g(x)= =- 在(1, +∞)上单调递增, 函数 h(x)=2x 在(1, +∞) 1-x 1-x x-1 上单调递增,故函数 f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数 f(x)在(1,+∞)上只有唯一的零点 x0,且在(1,x0)上 f(x1)<0,在(x0,+∞)上 f(x2)>0,故选 B. 10.若函数 f(x)=2ax2-x-1 在(0,1)内恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是( A.(-1,1) C.(1,+∞) 答案 C 解析 当 a=0 时,函数的零点是 x=-1. 当 a≠0 时,若 Δ>0,f(0)· f(1)<0,则 a>1. 1 若 Δ=0,即 a=- ,函数的零点是 x=-2,故选 C. 8 11.已知函数 f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=log2x-2 的零点依次为 a,b,c,则( A.a<b<c C.c<a<b 答案 A 解析 在同一平面直角坐标系中分别画出函数 y=2x,y=-x,y=log2x 的图像,结合函数 y=2x 与 y =-x 的图像可知其交点横坐标小于 0,即 a<0;结合函数 y=log2x 与 y=-x 的图像可知其交点横坐标大 于 0 且小于 1,即 0<b<1;令 log2x-2=0,得 x=4,即 c=4.因此有 a<b<c,选 A. 12.(2015· 东营模拟)已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数,如[1.8]=1,[-1.2]=-2.x0 是函数 f(x)= 2 lnx- 的零点,则[x0]等于________. x 答案 2
?2x,x≤0, ? 13.设函数 f(x)=? 函数 y=f[f(x)]-1 的零点个数为________. ? ?log2x,x>0,

)

B.[1,+∞) D.(2,+∞)

)

B.c<b<a D.b<a<c

答案 2 解析 当 x≤0 时, y=f[f(x)]-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1, 令 x-1=0, 则 x=1, 表明此时 y=f[f(x)] -1 无零点.当 x>0 时,分两种情况:①当 x>1 时,log2x>0,y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1, 令 log2(log2x)-1=0,即 log2(log2x)=1,log2x=2,解得 x=4;②当 0<x≤1 时,log2x≤0,y=f[f(x)]-1= f(log2x)-1=2log2x-1=x-1,令 x-1=0,解得 x=1,因此函数 y=f[f(x)]-1 的零点个数为 2. 14.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图像 在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为________. 答案 7 解析 当 0≤x<2 时,令 f(x)=x3-x=0, 得 x=0 或 x=1,∵f(x+2)=f(x),

∴y=f(x)在[0,6)上有 6 个零点. 又 f(6)=f(3×2)=f(0)=0, ∴f(x)在[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 2 15.判断函数 f(x)=4x+x2- x3 在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由. 3 答案 有一个零点 2 7 解析 ∵f(-1)=-4+1+ =- <0, 3 3 2 13 f(1)=4+1- = >0, 3 3 ∴f(x)在区间[-1,1]上有零点. 9 1 又 f′(x)=4+2x-2x2= -2(x- )2, 2 2 9 当-1≤x≤1 时,0≤f′(x)≤ , 2 ∴f(x)在[-1,1]上是单调递增函数. ∴f(x)在[-1,1]上有且只有一个零点. 16.已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出零点. 答案 m=-2,零点是 x=0 解析 方法一:令 2x=t,则 t>0,则 g(t)=t2+mt+1=0 Δ=m -4=0, ? ? 仅有一正根,而 g(0)=1>0,故? m ?- 2 >0. ? ∴m=-2. 方法二:令 2x=t,则 t>0. 原函数的零点,即方程 t2+mt+1=0 的根. ∴t2+1=-mt. t2+1 1 ∴-m= =t+ (t>0). t t 有一个零点,即方程只有一根. 1 1 ∵t+ ≥2(当且仅当 t= 即 t=1 时), t t ∴-m=2 即 m=-2 时,只有一根. 注:方法一侧重二次函数,方法二侧重于分离参数.
2

1.在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在区间为( 1 A.(- ,0) 4 1 B.(0, ) 4

)

1 1 C.( , ) 4 2 答案 C

1 3 D.( , ) 2 4

1 1 1 1 1 1 1 1 解析 因为 f( )=e4+4× -3=e4-2<0,f( )=e2+4× -3=e2-1>0,所以 f(x)=ex+4x-3 的零点 4 4 2 2

1 1 所在的区间为( , ). 4 2 2.函数 f(x)=ex+3x 的零点个数是( A.0 C.2 答案 B 解析 由已知得 f′(x)=ex+3>0,所以 f(x)在 R 上单调递增.又 f(-1)=e 1-3<0,f(1)=e+3>0,因


) B.1 D.3

此 f(x)的零点个数是 1,故选 B. 3.(2015· 郑州质检)[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知 f(x)=x-[x](x∈ R),g(x)=log4(x-1),则函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是( A.1 C.3 答案 B 解析 作出函数 f(x)与 g(x)的图像如图所示,发现有两个不同的交点,故选 B. B.2 D.4 )


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