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新课标2010-2011学年高三上学期单元测试(3)理科数学试题


2010—2011 学年度上学期高三一轮复习

数学理单元验收试题(3) 【新人教】
命题范围:三角函数
全卷满分 150 分,用时 150 分钟。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。

[来源:]

sin 1.若点 P(tan? ? sin ?, ? ) 在第三象限,

则角 ? 的终边必在

( D.第四象限 (



A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

2. ? 是第二象限的角, cos

?
2

? 0 ,那么

1 ? sin? 的值等于 cos ? ? sin ? 2 2
C.



A.1

B. ? 1

1 2

D.2

3.在 ?ABC 中,①sin(A+B)+sinC;②cos(B+C)+cosA;③ tan A ? B tan C ;④ cos B ? C sec A ,其中恒为定 2 2 2 2 值的是 A.① ② ( B.② ③ C.② ④ D.③ ④
? ,0)对称 6



[来源:Z§xx§k.Com]

4.给出四个函数,则同时具有以下两个性质的函数是:①最小正周期是 ? ;②图象关于点( ( A. y ? cos( 2 x ? C. y ? sin( )

?
6

)

B. y ? sin( 2 x ? D. y ? tan( x ?

?
6 )

)

x ? ? ) 2 6

?

5.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin( 2 x ?

?
3

3

对称的是





?
3

)

B. y ? sin( 2 x ? ? )
6

C. y ? sin( 2 x ? ? )
6

D. y ? sin( x ? ? ) 2 6

6.若 θ∈ [- A.0 7 .设 a ?

?

12 12

,

?

],则 y=cos(θ+ B.1

?
4

)+sin2θ 函数的最小值是 C.

( D.



9 8

3 1 ? 2 2
( )

1 3 2 tan130 1 ? cos 500 则有 cos 60 ? sin 60 , b ? ,c ? , 2 2 1 ? tan 2 130 2
B. a ? b ? c C. b ? c ? a D. a ? c ? b

A. a ? b ? c

8 .函数 f ( x) ? A.1

cos x ? sin x 的最小正周期为 cos x ? sin x
B.

( D. ?



? 2

C. 2?

9.定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数,若 f (x) 的最小正周期是 ? ,且当 x ? [0, ? ] 时,
2

f ( x) ? sin x ,则 f (
1 2

5? ) 的值为 3





A.—

B.

10.要得到 y ? sin( 2 x ?

) 6 的图象,只需将函数 y ? cos 2 x 的图象 ? ? A.向左平移 个单位 B.向右平 移 个单位 6 6 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 11.在△ABC 中,若 acosA=bcosB,则则此三角形是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
12.使函数 f(x)=sin(2x+ ? )+ 3 cos(2x ? ? ) 是奇函数,且在[0,

?

3 2

C. —

3 2

D.

1 2
( )

[来源:Zxxk.Com]





? ] 上是减函数的? 的一个值 4
( )

4? 2? C. 3 3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。
A.

? 3

B.

D.

5? 3

13.函数 y ? a sin x ?1 的最大值是 3,则它的最小值________ _________ _____ 14.若 f (cos x) ? cos 2 x, 则f (sin 15.把函数 y ? sin( 2 x ? 16.给出下列命题: (1)存在实数 x,使 sinx+cosx=

?
12

) ? ______

?
3

) 先向右平移

? 个单位,然后向下平移 2 个单位后所得的函数解析式为_____ 2

? ; 3

(2)若 ?,? 是锐角△ ABC 的内角,则 sin ? > cos ? ; (3)函数 y=sin(

2 7? x)是偶函数; 3 2

(4)函数 y=sin2x 的图象向右平移

? ? 个单位,得到 y=sin(2x+ )的图象.其中正确的命题的序号 4 4

是 . 三、解答题(本大题 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 2 分) 求值: (1

2 sin 500 ? sin 800 (1 ? 3 tan100 ) 1 ? cos100

[来源:Z§xx§k.Com]

[来源:ZXXK]

18. (12 分) 已知 sinθ+2cosθ=0,求

cos 2? ? sin 2? 的值. 1 ? cos 2 ?

19. (12 分)已知函数 y ? log 1 ? sin 2 x ?. ? ?

1 2 2?

?

[来源:]

(1)求它的定义域、值域以及在什么区间上是增函数; (2)判断它的奇偶性; (3)判断它的周期性。

20. (12 分)

设f ( x)满足2 f (? sin x) ? 3 f (sin x) ? 4 sin x cos x ( ?

?
4

?x?

?
4

),求 f(x)的表达式.

21. (12 分) 在△ABC 中,已 知(a+b+c) (b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC,试确定△ABC 的形状。

[来源:ZXXK]

22. (14 分) 函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选择适当的探究顺序,研究 函数 f(x)= 1 ? sin x ? 1 ? sin x 的性质,并在此基础上,作出其在 [?? , ? ]上的图象。

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 题号 选项
[来源:学_科_

1 D

2 A

3 B

4 D

5 B

6 D

7 D
[来源:学#科#网

8 D

9 B

10 D

11 C

12 B

网]

Z#X#X#K]

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. ymin ? ?1 14. ?

3 2

15. y ? sin( 2 x ?

2? )?2 3

16.正确 的命题的序号是: 、 、 (1)(2)(3) 三、解答题
0 0 0 0 0 2sin 500 ? 2cos500 17.解: 原式= 2sin 50 ? cos10 ? 3 sin10 ? 2sin 50 ? 2sin 40 ? 2 cos50 2 cos50 2 cos50

?

2 2 sin ? 500 ? 450 ? 2 cos 50

?

2 2 sin 950 2 2 cos 50 ? ?2 2 cos 50 2 cos 50

18.解:∵sinθ +2cosθ =0,∴ tan ? ? ?2 , 故

cos 2? ? sin 2? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 1 ? tan 2 ? ? 2 tan ? 1 ? ? 。 = 1 ? cos 2 ? 2cos 2 ? ? sin 2 ? 2 ? tan 2 ? 6

1 19.解: (1)①∵ sin 2 x ? ? 0, ∴ sin 2x? ? 0, , 2x ? ?2k?,? ? 2k? ?? k ? Z ? 2? 1? 2
∴ f ? x ? 定义域为 ? k? , k? ? ? ? , ? k ? Z ? ? ?
? 2?

②∵ x ? ? k? , k? ? ? ? , ? k ? Z ? 时, sin 2x? ? 01? , ? ? 2? ? 1 ∴ 1 sin 2 x ? ? 0, ? ∴ log ? 1 sin 2 x ? ? ?1, ? ? 即 f ? x ? 值域为 ?1, ?? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2? ? 2 ?2 ③设 t ?

1 1 sin 2 x , t ? ? 0, ? 则 y ? log 1 t ;∵ y ? log 1 t 单减 ? 2 ? 2? ? 2 2
1 1 sin 2 x , t ? ? 0, ? 的单减区间, ? 2 ? 2? ?

∴为使 f ? x ? 单增,则只需取 t ?

? ∴ 2 x ? ? ? ? 2k?,? ? 2k? ? ? k ? Z ? ?2 ? ? 故 f ? x ? 在 ?k? ? ? , k? ? ? ? ? k ? Z ? 上是增函数。 ? ?
? 4 2?

(2)∵ f ? x ? 定义域为 ? k? , k? ? ? ? , ? k ? Z ? 不关于原点对称, ? ?
? 2?

∴ f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数。 (3)∵ log 1 [ sin 2( x ? ? )] ? log 1 ( sin 2 x)
2 2

1 2

1 2

∴ f ? x ? 是周期函数,周期 T ? ? . 20.解: 2 f (? sin x) ? 3 f (sin x) ? 4 sin x cos x ①

在①式中用 x 代-x, 得 2 f ?? sin(? x)? ? 3 f ?sin(? x)? ? 4 sin(? x) cos(? x), 即 2 f (sin x) ? 3 f (? sin x) ? ?4 sin x cos x ② 由①*3-②*2,得 5 f (sin x) ? 20sin x cos x, 即 f (sin x) ? 4 sin x cos x. 令 sin x ? t ,? ?

?
4

?x?

?
4

,

? cos x ? 1 ? t 2 , 且 ?

2 2 ?t ? , 2 2 2 2 ?t ? ). 2 2
2

? f (t ) ? 4t 1 ? t 2 (?

因此 f (x) 的表达 式为 f ( x) ? 4 x 1 ? x , x ? ??

? ?

2 2? , ?. 2 2 ?
2

21.解:∵(a+b+c) (b+c-a)=3bc, b ? c ? a ? bc ? cos A ?
2 2

1 ? ? A? 。 2 3

又 sinA=2sinBcosC , 有 sin( B ? C ) ? 0 ? B ? C ,故△ABC 是等边三角形。

22.解:① ∵ ?

?1 ? sin x ? 0 ∴ f ? x ? 的定义域为 R ② ?1 ? sin x ? 0

∵ f ? ? x ? ? 1 ? sin ? ? x ? ? 1 ? sin ? ? x ? ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ? f ? x ? ∴f(x)为偶函数; ③ ∵f(x+ ? )=f(x), ∴f(x)是 周期为 ? 的周期函数; ④ ∵ f ( x) ? ? sin x ? cos x ? ? ? sin x ? cos x ? ?| sin x ? cos x | ? | sin x ? cos x | ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2
? ? ? ?
2 2

? ? x ∴当 x ? [0, ] 时 f ? x ? ? 2 cos x ;当 x ? [ ,? ] 时 f ? x ? ? 2sin 2 2 2 2 ? x (或当 x ? [0, ] 时 f(x)= ( 1 ? sin x ? 1 ? sin x ) 2 ? 2 ? 2 | cos x | ? 2 cos ) 2 2
∴当 x ? [0, ] 时 f ? x ? 单减;当 x ? [ ,? ] 时 f ? x ? 单增; 2 2 又∵ f ? x ? 是周期为 ? 的偶函数 在 [ k? ? ∴f(x)的单调性为:

?

?

?
2

? , k? ? ? ] 上单增,在 [ k? , k? ? ] 上单减。
2

? ? x ⑤ ∵当 x ? [0, ] 时 f ? x ? ? 2 cos x ? ? 2,? ;当 x ? [ ,? ] 时 f ? x ? ? 2sin ? ? 2,? 2? 2? ? 2 2 2 ? 2
∴ f ? x ? 的值域为: [ 2 ,2]

⑥由以上性质可得: f ? x ? 在 ? ??,? ? 上的图象如上图所示:

[来源:]


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