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福建省三明市第一中学2015-2016学年高二上学期第二次月考数学(理)试题(平行班)


三明一中 2015~2016 学年高二理科数学第二次月考 (总分 150 分,时间:120 分钟)

一、选择题(本题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个选项符合题意,请将正确 答案填入答题卷中。) 1.向量 a=(2x ,1, 3),b=(1,-2y, A.x=1,y=1 1 1 B.x= ,y=- 2 2 9),若 a 与 b 共线,

则( 1 3 C.x= ,y=- 6 2 ) 1 2 D.x=- ,y= 6 3 )

2.已知 a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,则 x 等于( A.4 B.-4 1 C. 2 D.-6

3.已知△ABC 的三个顶点 A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则 BC 边上的中线长为( A.2 B.3 64 C. 7 65 D. 7 )

)

4..若两个不同平面 α ,β 的法向量分别为 u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3),则( A.α ∥β B.α ⊥β

C.α ,β 相交但不垂直

D.以上均不正确 )

→ → → 5.已知向量 a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的是( A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D )
2

D.A、C、D

6.准线方程为 x ? 1 的抛物线的标准方程是( A. y ? ?2 x
2

B. y ? ?4 x
2

C. y ? 2 x

D. y ? 4 x
2

7.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ? 曲线的离心率 e 等于( A. 2 ? 1
2

?
2

,则双

) C. 2 ? 1 D. 2 ? 2 )

B. 2

8.若抛物线 y ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为( A. ( , ?

1 4

2 ) 4

B. ( , ?

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 2 ) 4 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4

9.与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 4



A.

x2 x2 y2 x2 y2 ? y 2 ? 1 B. ? y 2 ? 1 C. ? ? 1 D. x 2 ? ?1 2 4 2 3 3

→ → → 10.如图所示,空间四边形 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,点 M → 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 中点,则MN等于 1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 1 1 1 C. a+ b- c 2 2 2 2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2 2 2 1 D.- a+ b- c 3 3 2
2

(

)

11 .若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使

MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为(
A. ?0,0? B. ? ,1?

) D. ?2,2?

?1 ? ?2 ?

C. 1, 2

?

?

12.椭圆焦点在 x 轴上,A 为该椭圆右顶点,P 在椭圆上一点, ?OPA ? 90 ,则该椭圆的离 心率 e 的范围是( A. ? ,1? )

?

?1 ? ?2 ?

? 2 ? ,1? B. ? ? 2 ? ? ?

C. ? ,

?1

6? ? ? ?2 3 ?
? ?

? 2? ? 0, D. ? ? 2 ? ? ?

二、填空题(本题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a ? (1 ? t ,1 ? t ,1), b ? (2, t , t ) ,则 b ? a 的最小值为

?

?

14.椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为______________。 2 k ?8 9

15.在△ABC 中,已知 AB =(2,4,0), BC =(-1,3,0),则∠ABC=________.

16.已知 P 为抛物线 C: y 2 ? 4 x 上的一点, F 为抛物线 C 的焦点,其准线与 x 轴交于点 N ,直

线 NP 与抛物线交于另一点 Q ,且 PF ? 3 QF ,则点 P 坐标为



三、解答题(共 6 题,70 分) ,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分) → → 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC. (1)求 a 和 b 的夹角 θ 的余弦值; (2)若向量 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k 的值. 18.(本题满分 12 分) 如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4,点 E 在 C1C 上,且 C1E=3EC. (1)证 明

A1C ⊥ 平 面

BED ; (2) 求 二 面 角

A1 - DE - B

的 余 弦

值. 19.(本题满分 12 分) 设 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 600 , 9 16

求△ F 1 PF 2 的面积。

20.(本题满分 12 分) 已知动圆 M 经过点 A(?2, 0) ,且与圆 C : ( x ? 2) ? y ? 32 内切.
2 2

(1)求动圆圆心 M 的轨迹 E 的方程; (2)求轨迹 E 上任意一点 M ( x, y ) 到定点 B(1,0) 的距离 d 的最小值,并求 d 取得最小值时的点 M 的坐标.

21.(本题满分 12 分) 如图,正四棱柱 ABCD ? A?B?C ?D? 中,底面边长为 2,侧棱长为 3,E 为 BC 的中点,F、G 分 别为 CC ? 、 DD ? 上的点,且 CF=2GD=2.求:
A' C' D' B' F

G

(1) C ? 到面 EFG 的距离; (2)DA 与面 EFG 所成的角的正弦值; (3)在直线 BB? 上是否存在点 P,使得 DP//面 EFG?,若 存在,找出点 P 的位置,若不存在,试说明理由。

22.(本题满分 10 分)

已知椭圆 称。

x2 y 2 ? ?1 , 试确定 m 的值, 使得在此椭圆上存在不同两点关于直线 y ? 4 x ? m 对 4 3

高二理科平行班第二次月考答案 1-6CBBAAB 7-12CBABDB

13

21 ; 3

14.

5 ? 或4 4

;15

3? 4

; 16. (3, ? 2 3 ) .

→ 17.解 解 a=AB=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),

b=AC=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).
(1)cos θ =



a·b -1+0+0 10 = =- , |a|b| 10 2× 5
10 . 10

∴a 与 b 的夹角 θ 的余弦值为-

(2)ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),

ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4),
∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4) =(k-1)(k+2)+k -8=0. 5 2 即 2k +k-10=0,∴k=- 或 k=2. 2 18.解 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 D -xyz.
2

依题设 B(2,2,0),C(0, 2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4). → → → →

DE=(0,2,1),DB=(2,2,0), A1C=(-2,2,- 4),DA1=(2,0,4).









(1)∵A1C·DB=0,A1C·DE=0, ∴A1C⊥BD,A1C⊥DE. 又 DB∩DE=D, ∴A1C⊥平面 DBE. → ∴2y+z=0,2x+4z=0. 令 y=1,则 z=-2,x=4, ∴n=(4,1,-2). → ∴cos〈n,A1C〉= → → (2)设向量 n=(x,y,z)是平面 DA1E 的法向量,则 n⊥DE,n⊥DA1.

n·A1C




14 . 42

|n||A1C|

19.解:双曲线

x2 y2 ? ? 1 的 a ? 3, c ? 5, 不妨设 PF1 ? PF2 ,则 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 9 16

F1F22 ? PF12 ? PF22 ? 2PF1 ? PF2 cos600 ,而 F1F2 ? 2c ? 10
2 2 2 得 PF 1 ? PF 2 ? PF 1 ? PF 2 ? ( PF 1 ? PF 2 ) ? PF 1 ? PF 2 ? 100

PF1 ? PF2 ? 64, S ?

1 PF1 ? PF2 sin 600 ? 16 3 2

20.解:(1)依题意,动圆与定圆相内切,得| MA | ? | MC |? 4 2 ,可知 M 到两个定点 A 、

C 的距离的和为常数 4 2 ,并且常数大于 | AC | ,所以点 M 的轨迹为以 A、C 焦点的椭圆,
可以求得

a ? 2 2 ,c ? 2,b ? 2 ,
x2 y 2 ? ? 1. 8 4
( x ? 1) 2 ? y 2 ?
…………………… 6 分

所以曲线 E 的方程为

(2)解: d ?| BM |?

( x ? 1)2 ? 4(1 ?

1 x2 ( x ? 2)2 ? 3 )= 2 8

因为: ?2 2 ? x ? 2 2 ,所以,当 x ? 2 时, d ? 3 最小。 所以, dmin ? 3 ; M (2, ? 2) ……………… 12 分

21.解:解:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 则 E(1,2,0),F(0,2,2) ,G(0,0,1) ∴ EF =(-1,0,2) , FG =(0,-2,-1) , 设 n =(x,y,z)为面 EFG 的法向量,则

??? ?

????

?

??? ? ? ??? ? ? EF ? n =0, FG ? n =0, ? x=2z,z=-2y,取 y=1, ? 得 n =(-4,1,-2) ???? ? (1)∵ C?F =(0,0,-1) , ? ???? ? ? | n ? C F | 2 2 21 ’ ? ∴C 到面 EFG 的距离为 d ? ? ? 21 |n| 21 ??? ? (2) DA =(2,0,0) ,设 DA 与面 EFG 所成的角为θ , ??? ? ? | DA ? n | 4 21 ? ? = 则 sin ? ? ??? , | DA || n | 21
(3)存在点 P,在 B 点下方且 BP=3,此时 P(2,2,-3)

??? ? ? ??? ? DP =(2,2,-3),∴ DP ? n =0,∴DP//面 EFG
22.解答:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB ?

y2 ? y1 1 ?? , x2 ? x1 4

而 3x12 ? 4 y12 ? 12, 3x22 ? 4 y22 ? 12, 相减得 3( x22 ? x12 ) ? 4( y22 ? y12 ) ? 0, 即 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ),? y0 ? 3x0 , 3x0 ? 4x0 ? m, x0 ? ?m, y0 ? ?3m 而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则

m 2 9m 2 2 3 2 3 ? ? 1, 即 ? 。 ?m? 4 3 13 13


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