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高中数学选修2-2测试题二


高中数学选修 2-2 综合测试题一
金丙建
一、选择题(共 8 题,每题 5 分) 1.复数 z ? ( 2 ? i ) i 在复平面内的对应点在( A.第一象限 2.定积分 ?
1 1

2013

3


B.第二象限
d x 的值为(

C.第

三象限

D.第四象限

01? x



A.1

B.ln2

C.

2 2

?

1 2

D.

1 2

ln 2 ?

1 2

3.某班一天上午安排语、数、外、体四门课,其中体育课不能排在第一、第四节,则不同排法的 种数为 ( ) A.24 B.22 C.20 D.12 4. 已知 a ? 1 ? A.a>b>c 5.曲线 y ? x ?
3

7,b ?

3 ?

5,c ? 4

则 a,b,c 的大小关系为( C.c>b>a

) D.b>c>a ) D. [ ? 3 , ? ? ) ) D.0

B.c>a>b

3 x ? 2 上的任意一点 P 处切线的斜率的取值范围是(

A. [

3 3

, ?? )

B. (

3 3

, ?? )

C. ( ? 3 , ? ? )

6. 已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 2 , a 2 ? 3 , a n ? 2 ? | a n ? 1 ? a n | ,则 a 2 0 0 9 =( A.1 B.2 ) y C.3

7. 函数 f ( x ) ? x ln x 的大致图像为( y

y

y

o o A 1 x B

1

x o C A1 1 x D1

o

1

x

D C1 B1

8. ABCD-A1B1C1D1 是单位正方体, 黑白两只蚂蚁从点 A 出发沿棱 向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是 AA1→A1D1,?,黑蚂蚁爬行的路线是 AB→BB1,?,它们都遵 循如下规则: 所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线 * (i∈N ) ,设黑白蚂蚁都爬完 2007 段后各自停止在正方体的某个 顶点处,则此时黑白蚂蚁的距离是( ) A. 2 B.1 C.0
1

D A B

C

D. 3

二、填空题(共 6 题,30 分) 9. 已知 f ( x ) ? ln ( x ? a x ? 2 a ? 2 )( a ? 0 ) ,若 f ( x ) 在 [1, ? ) 上是增函数,则 a 的取值范围是 ?
2

. 10.若复数 z ?
1? i 1? i ? 1? i 1? i

,则复数 z= ___
2

11.质点运动的速度 v ? (1 8 t ? 3 t ) m / s ,则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是 . 12. 若 a, b ? R ,且 ( a ? i) ? (1 ? b i) ? 3 ? 2 i ,则
2 2

a b

的值等于



13. 为如图所示的四块区域涂色,要求相邻区域不能同色,现有 3 种不同颜色可供选择,则共有 _______种不同涂色方案(要求用具体数字作答). 14.若在区间[-1, 1]上,函数 f ( x ) ? x ? a x ? 1 ? 0 恒成立,则 a 的取值
3

范围是_________________ 三、解答题(共 6 题,80 分) 15.已知复数 z ? ( m ? 8 m ? 1 5 ) ? ( m ? 9 m ? 1 8 ) i 在复平面内表示的点
2 2

13 题

为 A,实数 m 取什么值时, (1)z 为实数?z 为纯虚数? (2)A 位于第三象限?

16. 观察给出的下列各式: (1) ta n 1 0 ?ta n 2 0 ? ta n 2 0 ?ta n 6 0 ? ta n 6 0 ?ta n 1 0 ? 1 ; (2) ta n 5 ?ta n 1 5 ? ta n 1 5 ?ta n 7 0 ? ta n 7 0 ?ta n 5 ? 1 . 由以上两式成立,你能得到一个什么样的推广?证明你的结论.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2

17.设 f ( x ) ? ?

?x

2

( x ≤ 0 ), ( x ? 0 ),

π

? cos x ? 1

试求 ? 2 f ( x ) d x .
?1

18. 如图,设铁路 AB 长为 80,BC⊥AB,且 BC=10,为将货物从 A 运往 C,现在 AB 上距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至 C,已知单位距离的铁路运费为 2,公路运费为 4. (1)将总运费 y 表示为 x 的函数; C (2)如何选点 M 才使总运费最小?

A

M

B

19. 已知函数 f ( x )? ax 值 1. (1)求 a , b , c 的值;

3

? bx

2

? cx ( a ? 0) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? ? 1 时,函数取极

1 (2)若对任意的 x 1, x 2 ? ?? 1,? ,均有

f x1 ? f x 2 ? s 成立,求 s 的最小值; ( ) ( )

3

20.已知等腰梯形 O A B C 的顶点 A, B 在复平面上对应的复数分别为 1 ? 2 i 、 ? 2 ? 6 i ,且 O 是 坐标原点, O A ∥ B C .求顶点 C 所对应的复数 z .

2 2 21.已知各项为正的数列 { a n } 的首项为 a 1 ? 2 s in ? ( ? 为锐角) 4 ? a n ? a n ? 1 ? 2 , , 数列 { b n } 满

n ?1 足 bn ? 2 a n .

(1)求证:当 x ? ( 0 ,

?
2

) 时, s in x ? x

(2)求 a n ,并证明:若 ? ?

?
4

,则 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? ?

(3)是否存在最大正整数 m,使得 b n ? m s in ? 对任意正整数 n 恒成立?若存在,求出 m;若不存在, 请说明理由.

4

高中数学选修 2-2 测试题一答案
一、 选择题(每题 5 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

B

B

D

C

D

A

A

C
3

9.

1? a≤ 2;

10. -1 ;

11。 1 0 8 m .; 12: ? 2

13.

18;

14. [ 0 ,

3

2

]

2

三、解答题 15.解: (1)当 m ? 9 m ? 1 8 =0 即 m=3 或 m=6 时,z 为实数; …………………………3 分
2

当 m ? 8 m ? 1 5 ? 0 , m ? 9 m ? 1 8 ? 0 即 m=5 时,z 为纯虚数.…………………………6 分
2 2

(2)当 ?

?m ?m

2

? 8m ? 15 ? 0 ? 9m ? 18 ? 0
?

2

即?

?3 ? m ? 5 ?3 ? m ? 6
? ?

即 3<m<5 时,对应点在第三象限. ……………12 分

16. 解:可以观察到:1 0 ? 2 0 ? 6 0 ? 9 0 , 5 ? 1 5 ? 7 0 ? 9 0 ,故可以猜想此推广式为:若
? ? ? ?? ?
t

?

?

?

?

?

π 2


a


?n ?

?, , ?
? t? a

都 ?




a? n



kπ ?

π 2

(k ? Z )


t a


n


1

?? n a

?? t

?n . ? t ?

t

a

n

证明如下:由 ? ? ? ? ? ?
? π

π 2

,得 ? ? ? ?

π 2

?? ,

所以 ta n ( ? ? ? ) ? ta n ?

? ? ? ? ? cot ? , ? 2 ?

又因为 ta n ( ? ? ? ) ?

ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ?



所以 ta n ? ? ta n ? ? ta n (? ? ? )(1 ? ta n ? ta n ? ) ? c o t ? (1 ? ta n ? ta n ? ) , 所以 ta n ? ?ta n ? ? ta n ? ?ta n ? ? ta n ? ?ta n ? ? ta n ? ta n ? ? ta n ? (ta n ? ? ta n ? )
? ta n ? ta n ? ? ta n ? c o t ? (1 ? ta n ? ta n ? ) ? 1 .
π 0 ?1 π 0 ?1 π

17. 解: ?
? 1 3 x
2 0

2 ?1

f ( x)dx ?

?
π 2 0

f ( x )dx ?

?

2 0

f ( x )dx ?

?

x dx ?
2

?

2 0

(c o s x ? 1) d x

? ( s in x ? x ) ??

?

1 3

?1?

π 2

?

4 3

?

π 2



5

18.解:(1)依题,铁路 AM 上的运费为 2(50-x) ,公路 MC 上的运费为 4 1 0 0 ? x 2 ,则由 A 到 C 的总运费为 y ? 2 (5 0 ? x ) ? 4 1 0 0 ? x 2 ?(0 ? x ? 5 0 ) 分 (2) y ? ? ? 2 ?
4x 100 ? x
2

…………………………… 6

? ( 0 ? x ? 5 0 ) ,令 y ? ? 0 ,解得 x 1 ?

10 3

, x2 ? ?

10 3

(舍)……9 分

当0 ? x ?

10 3

时, y ? ? 0 , y ? ;当 5 0 ? x ?

10 3

时, y ? ? 0 , y ?

故当 x ?

10 3

时,y 取得最小值.

……………………………12 分

即当在距离点 B 为

10 3

时的点 M 处修筑公路至 C 时总运费最省.

……………………13 分

19.解:(1)函数 f ( x )? ax

3

? bx

2

? cx ( a ? 0) 是定义在 R 上的奇函数,

? f ( ? x )? ? f ( x ),即 bx
f ( x )? ax
3

2

? 0 对于 x ? R 恒成立,? b ? 0 .
2

? cx , f ? x )? 3 ax (

? c

? x ? ? 1 时,函数取极值 1. ∴ 3 a ? c ? 0, a ? c ? 1 ,解得: a ? ?

1 2

,c ? ?

3 2



故a ?

1 2

, b = 0 ,c ? ?

3 2

?????????????????6 分

(2) f ( x )?

1 2

x

3

?

3 2

x , f ?( x ) ?

3 2

x

2

?

3 2

?

3 2

( x ? 1 )( x ? 1 ) ,

x ? ? ? 1,? 时 f ? x )? 0 ,? f ( x ) 在 x ? ? ? 1,1 ? 上是减函数, 1 (

?????8 分

故? f ( x ) 在 x ? ?? 1,1 ? 上最小值为 f (1) =-1,最大值为 f ( ? 1) ? 1 ,
1 因此当 x 1, x 2 ? ?? 1,? 时, f x1 ? f x 2) ? f M a x ( x ) ? f m in ( x ) ? 2 .?12 分 ( ) (

f x1 ? f x 2) ? s ? f M a x ( x ) ? f m in ( x ) ? s ,故 s 的最小值为 2 ( ) (

???14 分

6

20. 解:设 z ? x ? y i( x, y ? R ) . 由 O A ∥ B C , O C ? A B ,得 k O A ? k B C , z C ? z B ? z A ,
y ?6 ?2 , ? ? x? 2 即? 1 ? ? x ? y
2 2

?

3 ? 4 ,
2 2

? O A ? B C ,? x ? ? 3 , y ? 4 舍去.
? z ? ?5 .

21.解: (1)令 f ( x ) ? s in x ? x ? ( 0 ? x ? ∴ f ( x ) ? f ( 0 ) ? 0 ,即 sinx<x
2 2 (2)由 4 ? a n ? a n ? 1 ? 2 得 a n ? 1 ?

?
2

) ,则 f ? ( x ) ? c o s x ? 1? ? 0 ( 0 ? x ?

?
2

) 故 f (x) ?



??????????3 分
2? 4 ? a n ( a n ? 0 ) 又 a 1 ? 2 s in ? ,
2

∴ a2 ?

2?

4 ? a1 ?
2

2 ? 2 c o s ? ? 2 s in

?
2

, a3 ?

2?

4 ? a2 ?
2

2 ? 2 cos

?
2

? 2 s in

?
4



猜想: a n ? 2 s in

?
2
n ?1

????????????5 分

下面用数学归纳法证明: ①n=1 时, a 1 ? 2 s in ? ,成立, ②假设 n=k 时命题成立,即 a k ? 2 s in
?
2
k ?1

,则 n=k+1 时,
?
2
k ?1

a k ?1 ?

2?

4 ? ak ?
2

2?

4 ? ( 2 s in

?
2
k ?1

)

2

?

2 ? 2 cos

= 2 s in

?
2
k



即 n=k+1 时命题成立.由①②知 a n ? 2 s in 由(1)知 a n ? 2 s in
?
2
?1

?
2
n ?1

对 n ? N*成立.??????????8 分

?
2
n ?1

? 2

?
n?2

, n ? N*
2 ? [1 ? ( ? 1? 1 ) ] ? 4 ? [1 ? (
n

故 a1 ? a 2 ? ? ? a n ?
?
4

?? ?

?
2

?? ? 2

?
n?2

2 1 2

1 2

) ] ? 4?
n

因此 ? ?

时, a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? ?
?
2
n ?1

????????????11 分
2 sin ? s in

?
2
n

(3) b n ? 2

n ?1

an ? 2

n?2

s in

,故

bn ?1 bn

2 sin ? 2 s in

?
2
n

?
2
n ?1

?
2
n

cos

?
2
n

?

1 cos

?
2
n

? 1 ,{ b n } 为递

增数列,因此要使 b n ? m s in ? 对任意正整数 n 恒成立,只需 b1 ? m s in ? 成立,而 b1 ? 8 s in ? ,
7

因此 m ? 8 ,故存在最大自然数 m=8 满足条件。

?????????? 14 分

另 证: 由于 b1 ? m s in ? , 可得 m ? 8 , 因此 可猜想 m 的 最大 值 m ? 8 , 下面 证明
b n ? 8 s in ? ,即证 2 s in
n

?
2
n ?1

? 2 s in ? 恒成立.

①n=1 时, b1 ? 2 s in ? ? 2 s in ? ,成立, ②假设 n=k 时命题成立,即 2 k s in
2 s in
k

?
2
k ?1

? 2 s in ? ,则 n=k+1 时,

?
2
k

2

k ?1

s in

?
2
k

? 2 2 s in
k

?
2

cos

?
2
k

s in ? 2
k

?
2
k ?1

? 2

k

cos
n

?
2
k

cos

?
2
k

?

2 s in ? cos

?
2
k

? 2 s in ? ,

即 n=k+1 时命题成立.由①②知 2 s in

?
2
n ?1

? 2 s in ? 对 n ? N*成立.

即 b n ? 8 s in ? 对 n ? N*成立,由 m ? 8 知正整数 m 的最大值为 8?????????14 分

8


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