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4.1平面向量的概念及其线性运算


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课时提升作业(二十三)
平面向量的概念及其线性运算 (45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2014· 长沙模拟)已知 a,b 是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确 的是( A.a+b=0 C.a 与 b 共线反向 ) B.a=b D.存在正实数λ ,使 a=λ

b )

2.(2014·黄山模拟)下列命题中是真命题的是( ①对任意两向量 a,b,a-b 与 b-a 是相反向量;

②在△ABC 中,错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用 源。=0; ③在四边形 ABCD 中,(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)-(错误!未 找到引用源。+错误!未找到引用源。)=0; ④在△ABC 中,错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。. A.①② C.②④ B.②③ D.③④

3.(2014·湘潭模拟)如图,在△ABC 中,|错误!未找到引用源。|=|错误!未找到引 用源。|,延长 CB 到 D,使错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。,若错误! 未找到引用源。=λ 错误!未找到引用源。+μ 错误!未找到引用源。,则λ -μ 的 值是( )
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A.1

B.2

C.3

D.4

4.(2014·株洲模拟)如图,在△ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近点 B 的三等分点,则 错误!未找到引用源。=( )

A.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 引用源。+错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 引用源。-错误!未找到引用源。

B.错误!未找到

D.错误!未找到

5.(2014·常德模拟)已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0,则△ABC 的内角 A 等于( A.30° B.60° C.90° D.120° )

6.(2014·太原模拟)已知△ABC 和点 M 满足错误!未找到引用源。+错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。=0,若存在实数 m 使得错误!未找到引用源。+错 误!未找到引用源。=m 错误!未找到引用源。成立,则 m=( A.2 B.3 C.4 D.5 ) )

7.设 a,b 是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是( A.|a+b|≤|a|+|b| B.|a|-|b|≤|a+b|
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C.|a|-|b|≤|a|+|b| D.|a|≤|a+b| 8.(2014·怀化模拟)设 D,E,F 分别是△ABC 的三边 BC,CA,AB 上的点,且错误!未找 到引用源。=2 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引 用源。,错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。( A.反向平行 C.平行但方向不确定 B.同向平行 D.不共线 )

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.给出以下命题: ①对于实数 p 和向量 a,b,恒有 p(a-b)=pa-pb; ②对于实数 p,q 和向量 a,恒有(p-q)a=pa-qa; ③若 pa=pb(p∈R),则 a=b; ④若 pa=qa(p,q∈R,a≠0),则 p=q. 其中正确命题的序号为 .

10.(2014·重庆模拟)若错误!未找到引用源。=3a,错误!未找到引用源。=-5a, 且 | 错误!未找到引用源。 |=| 错误!未找到引用源。 |, 则四边形 ABCD 的形状 是 11. 已 知 向 量 是 . . , 其 中 a,b 均 为 非 零 向 量 , 则 |c| 的 取 值 范 围

12.(能力挑战题)已知△ABC 中,错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引用源。 =b,对于平面 ABC 上任意一点 O,动点 P 满足错误!未找到引用源。=错误!未找到
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引用源。+λ a+λ b,则动点 P 的轨迹所过的定点为 三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.(2014· 张家界模拟)如图,在△ABC 中,错误! 未找到引用源。 误! 未找到引用源。 ,P 是 BN 上的一点,若错误! 未找到引用源。 误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,求实数 m 的值.

.

= 错 =m 错

14.设点 O 在△ABC 内部,且有 4 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。=0,求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比. 15.(能力挑战题)如图所示,在△ABO 中,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, AD 与 BC 相交于点 M.设错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引用源。=b.

(1)试用 a 和 b 表示向量错误!未找到引用源。. (2)在线段 AC 上取一点 E,在线段 BD 上取一点 F,使 EF 过点 M,设错误! 未找到引用 源。=λ 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=μ 错误!未找到引用源。, 当 EF 为 AD 时,λ =1,μ =错误!未找到引用源。,此时错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。=7; 当 EF 为 CB 时,λ =错误!未找到引用源。,μ =1,此时错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。=7,有人得出如下结论:不论 E,F 在线段 AC,BD 上如何变动,错误! 未找到引用源。+错误!未找到引用源。=7 总成立.试问他的这个结论对吗?请说明 理由.
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答案解析
1.【解析】选 D.因为 a,b 是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则 a 与 b 共线同向, 故 D 正确. 【误区警示】解答本题易误选 B,若 a=b,则|a+b|=|a|+|b|,反之不一定成立. 2.【解析】选 A.①真命题.因为(a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+ (-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)=0, 所以 a-b 与 b-a 是相反向量. ②真命题.因为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=0, 所以命题成立. ③假命题.因为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。,错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)-(错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。≠0, 所以该命题不成立. ④假命题.因为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。≠错误!未找到引用源。, 所以该命题不成立.故选 A. 【加固训练】(2014〃海口模拟)在△ABC 中,错误!未找到引用源。=c,错误!未找 到引用源。=b,若点 D 满足错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。,则错
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误!未找到引用源。=(

) B.错误!未找到

A.错误!未找到引用源。b+错误!未找到引用源。c 引用源。c-错误!未找到引用源。b C.错误!未找到引用源。b- 错误!未找到引用源。c 引用源。b+错误!未找到引用源。c

D.错误!未找到

【解析】选 A.如图,因为在△ABC 中,错误!未找到引用源。=c,错误!未找到引用 源。=b,且点 D 满足错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。, 所以,错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=2(错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。),错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。b+错误!未找到引用源。c,故选 A.

3.【解析】选 C.由题意可知,B 是 DC 中点,故错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。),即错误!未找到引 用源。=2 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。,所以λ=2,μ=-1,则λμ=3. 4.【解析】选 C.由平面向量的三角形法则,可得:错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。+错误!未找到引用源。 ,又因为点 D 是 BC 边上靠近点 B 的三等分 点,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。-错误! 未找到引用源。)=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。.
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5.【解析】选 A.由错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到 引用源。=0 得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。 ,由 O 为△ABC 外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形 OACB 为菱形, 且∠CAO=60°,故∠CAB=30°. 6.【解析】选 B.根据题意,由于△ABC 和点 M 满足错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0,则可知点 M 是三角形 ABC 的重心,设 BC 边的中点为 D,则可知错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。×错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。)=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。), 所以错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=3 错误!未找到引用源。,故 m=3. 【加固训练】已知点 O,N 在△ABC 所在平面内,且|错误!未找到引用源。|=|错误! 未找到引用源。|=|错误!未找到引用源。|,错误!未找到引用源。+错误!未找 到引用源。+错误!未找到引用源。=0,则点 O,N 依次是△ABC 的( A.重心 外心 C.外心 重心 B.重心 内心 D.外心 内心 )

【解析】选 C.由|错误!未找到引用源。|=|错误!未找到引用源。|=|错误!未找 到引用源。|知,O 为△ABC 的外心;错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。=0 知,N 为△ABC 的重心. 7.【解析】选 D.由向量加法的几何意义知|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|知 A,B,C 恒 成立,取 a+b=0,则 D 不成立.

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【误区警示】解答本题时容易忽视向量共线的情形. 8.【思路点拨】结合图形,化简错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错 误!未找到引用源。,逐渐寻求其与错误!未找到引用源。的关系. 【解析】选 A.如图,

错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。+错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。+错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。+错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引 用源。+错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。-错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。, 故错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。与错误! 未找到引用源。反向平行. 【加固训练】在△ABC 中,错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。,错误! 未找到引用源。=m 错误!未找到引用源。+n 错误!未找到引用源。,则错误!未
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找到引用源。的值为( A.2

) C.3 D.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

【解析】选 B.方法一:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找 到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。-错误! 未找到引用源。)=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, 所以 m=错误!未找到引用源。,n=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。. 方法二:因为错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=2(错误!未找到引用源。-错 误!未找到引用源。), 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,得 m= 错误!未找到引用源。,n=错误!未找到引用源。.所以错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。. 9. 【解析】 根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知①②④正确;③不一定成立, 因为当 p=0 时,pa=pb=0,而不一定有 a=b. 答案:①②④ 10.【解析】因为错误!未找到引用源。=3a,错误!未找到引用源。=-5a,所以错 误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未 找到引用源。共线,所以 AB,CD 平行且不相等,又有|错误!未找到引用源。|=|错 误!未找到引用源。|,所以四边形 ABCD 为等腰梯形. 答案:等腰梯形
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【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧 平面向量的知识在解决平面几何中的问题时应用非常广泛:利用共线向量定理,可 以证明点共线,两直线平行,并进而判定一些特殊图形;利用向量的模,可以说明线 段间的长度关系,并进而求解图形的面积.在后续内容中,向量的应用将更广泛.要 注意图形中的线段、向量是如何相互转化的. 11.【思路点拨】根据题意求|c|的最大、最小值即可. 【解析】错误!未找到引用源。均为单位向量,当它们共线同向时,|c|取最大值 2, 当它们共线反向时,|c|取最小值 0,故|c|的取值范围是[0,2]. 答案:[0,2] 12.【解析】依题意,由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+λa+λb, 得错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=λ(a+b), 即错误!未找到引用源。=λ(错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。). 如图,以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ABDC,对角线交于 M, 则错误!未找到引用源。=λ错误!未找到引用源。, 所以 A,P,D 三点共线, 即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线,由图可知 P 点轨迹必过△ABC 边 BC 的中点 M. 答案:边 BC 的中点 【加固训练】 已知点 P 为△ABC 所在平面上的一点,且错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。+t 错误!未找到引用源。,其中 t 为实数,若点 P 落在△ABC 的内 部,则 t 的取值范围是 .
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+ 错



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【解析】如图,E,F 分别为 AB,BC 的三等分点,由错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。+t 错误!未找到引用源。可知,

P 点落在 EF 上,而错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以点 P 在 E 点时,t=0, 点 P 在 F 点时,t=错误!未找到引用源。.而 P 在△ABC 的内部, 所以 0<t<错误!未找到引用源。 答案:错误!未找到引用源。 13.【解析】由条件知错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找 到引用源。 =(m-1)错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =-m 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。. 由 B,P,N 三点共线知错误!未找到引用源。=λ错误!未找到引用源。,即(m-1)错 误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。=λ(-m 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。), 所以错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 故 m=错误!未找到引用源。. 14.【解析】如图,取 BC 的中点 D,连接 OD,

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则错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。, 又 4 错误!未找到引用源。=-(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)=-2 错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。, 所以 O,A,D 三点共线,且|错误!未找到引用源。|=2|错误!未找到引用源。|, 所以 O 是中线 AD 上靠近 A 点的一个三等分点, 所以 S△ABC∶S△OBC=3∶2. 【加固训练】已知 P 为△ABC 内一点,且 3 错误!未找到引用源。+4 错误!未找到 引用源。+5 错误!未找到引用源。=0,延长 AP 交 BC 于点 D,若错误!未找到引用 源。=a,错误!未找到引用源。=b,用 a,b 表示向量错误!未找到引用源。,错误! 未找到引用源。. 【解析】因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。-a, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。-b, 又 3 错误!未找到引用源。+4 错误!未找到引用源。+5 错误!未找到引用源。=0. 所以 3 错误!未找到引用源。+4(错误!未找到引用源。-a)+5(错误!未找到引用 源。-b)=0, 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b.
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设错误!未找到引用源。=t 错误!未找到引用源。(t∈R), 则错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 ta+错误!未找到引用源。 tb. ① 又设错误!未找到引用源。=k 错误!未找到引用源。(k∈R), 由错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。 =b-a, 得错误!未找到引用源。=k(b-a). 而错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=a+错误! 未找到引用源。. 所以错误!未找到引用源。=a+k(b-a)=(1-k)a+kb, ② 由①②得错误!未找到引用源。解得 t=错误!未找到引用源。. 代入①得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。 b. 所以错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 a+错误!未找到引用源。 b, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b. 15.【思路点拨】(1)利用平面向量基本定理:设错误!未找到引用源。=ma+nb,再 利用 A,D,M 共线,C,M,B 共线得出 m,n 的方程组解出 m,n 的值. (2)利用 E,M,F 共线,设错误!未找到引用源。=k 错误!未找到引用源。,得出与 k 无关的结论即可. 【解析】(1)设错误!未找到引用源。=ma+nb,则错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。-错误! 未找到引用源。=ma+nb-a=(m-1)a+nb, 错误! 未找到引用源。 =错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!
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未找到引用源。=-a+错误!未找到引用源。b. 因为 A,M,D 三点共线,所以错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。共线. 故存在实数 t,使得错误!未找到引用源。=t 错误!未找到引用源。, 即(m-1)a+nb=t(-a+错误!未找到引用源。b). 所以(m-1)a+nb=-ta+错误!未找到引用源。tb, 所以错误!未找到引用源。消去 t 得 m-1=-2n, 即 m+2n=1.① 因为错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 -错误! 未找到引用源。 =ma+nb错误!未找到引用源。a=错误!未找到引用源。a+nb,错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=b-错误!未找到引用源。a=-错误! 未找到引用源。a+b,又 C,M,B 三点共线, 所以错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。共线,同理可得 4m+n=1.② 联立①②,解得 m=错误!未找到引用源。,n=错误!未找到引用源。.故错误!未找 到引用源。=错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b. (2)他的结论是对的.理由如下: 因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b-λa =错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=μ错误! 未找到引用源。-λ错误!未找到引用源。=-λa+μb, 因为错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。共线, 故存在实数 k,使得错误!未找到引用源。=k 错误!未找到引用源。,
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即错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b=k(-λa+μb)=-λka+μkb, 所以错误!未找到引用源。消去 k 得错误!未找到引用源。-λ=-错误!未找到引 用源。. 即错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=7. 【加固训练】如图所示,在五边形 ABCDE 中,点 M,N,P,Q 别是 AB,CD,BC,DE 的中点,K 和 L 分别是 MN 和 PQ 的中点, 证:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 【证明】任取一点 O,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找 到引用源。. 因为 K,L 为 MN,PQ 的中点. 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。),错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。). 又因为 M,N,P,Q 分别为 AB,CD,BC,DE 的中点, 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。),错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。), 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未 找到引用源。),错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到引 用源。+错误!未找到引用源。). 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。[-(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)+(错
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分 求

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误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)] =错误!未找到引用源。[-(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。+错误!未找到引用源。)+(错误!未找到引用源。+错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)]=错误!未找到引用源。 (-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。.

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