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2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:1.2 含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法


§1.2

含绝对值的不等式及一元 二次不等式的解法

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 -a<x<a x>a或x<-a a=0 a<0 ? ______ R

? ______
{x∈R|x≠0}

目录

(2)|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|<c(c>0)的解法

ax+b>c或ax+b<-c ①|ax+b|>c?_____________________;
②|ax+b|<c?-c<ax+b<c. (3)|f(x)|<g(x)或|f(x)|>g(x)的解法 -g(x)<f(x)<g(x)且f(x)、g(x)有意义 ①|f(x)|<g(x)?__________________________________; ②|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x),且f(x)、g(x)有意义.

目录

2.一元二次不等式的解集
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+ bx+c(a>0)的图象 x1,2= b 一元二次方程 ax2 2 - -b± b -4ac 2a +bx+c=0(a>0)的 x1=x2=______ 2a 根 (x1<x2) ? ? ? ? b ?x?x≠- , 2 ax +bx+c>0(a>0) {x|x>x2 或 2a ? ? ? 的解集 x<x1} ? 且x∈R ? ? ax2+bx+c<0(a>0) {x|x1<x<x2} 的解集
? ______

Δ>0

Δ=0

Δ<0

?(无实数 根)

R _____

?

目录

思考探究 1.|x|及|x-a|表示的几何意义是什么? 提示:|x|表示数轴上的点x到原点的距离,|x-a|表示数轴上的 点x到a点的距离. 2.不等式|f(x)|>|g(x)|怎样求解? 提示:在f(x)、g(x)都有意义的前提下|f(x)|>|g(x)|?f2(x)>g2(x).

目录

课前热身
1.(2011· 高考广东卷)不等式 2x2-x-1>0 的解集是( )

?-1,1? A. 2 ? ?

B.(1,+∞)

?-∞,-1 ?∪(1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D. 2? ?
解析:选 D.∵2x2-x-1=(2x+1)(x-1), ∴由 2x2-x-1>0 得(2x+1)(x-1)>0, 1 解得 x>1 或 x<- , 2

?-∞,-1 ?∪(1,+∞). ∴不等式的解集为 2? ?
目录

|x-2| 2.不等式 >0 的解集是( x+2 A.{x|x>-2} C.{x|x<-2 或 x>1}

) B.{x|-2<x<2 或 x>2} D.以上均不正确

答案:B

目录

3.不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是(
A.[-5,7] B.[-4,6]

)

C.(-∞,-5]∪[7,+∞) D.(-∞,-4]∪[6,+∞) 解析:选D.法一:当x≤-3时,原不等式可化为5-x-x-3≥ 10 ,即2x≤-8,∴x≤-4,此时不等式的解集为{x|x≤-4}.当 -3<x≤5时,原不等式可化为5-x+x+3≥10,此时无解.

目录

当x>5时,原不等式可化为x-5+x+3≥10,解得x≥6,
此时不等式的解集为{x|x≥6}.

综上可知,原不等式的解集为{x|x≤-4或x≥6},故选D.
法二:由绝对值的几何意义可知,|x-5|+|x+3|表示数轴上的 点x到点-3和5两点的距离之和,又点-4和6到点-3和5的距 离之和都为10,如图,故满足|x-5|+|x+3|≥10的解集为 (-∞,-4]和[6,+∞).

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4.不等式|2x-6|≤4的解集为________.
答案:{x|1≤x≤5} 5.(2012· 高考福建卷)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在 R上恒成立,则实数a的取值范围是________. 解析:由题意得Δ=a2-8a<0,解得a∈(0,8). 答案:(0,8)

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考点探究讲练互动
考点突破
考点1 绝对值不等式的解法

解绝对值不等式关键是正确去掉绝对值符号,转化为一般 不等式求解,去绝对值常用的方法是定义法和平方法.

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例1 解不等式:(1)3<|2x-3|<5; (2)|x-1|+|x+2|<5. 【思路分析】 对于第(1)题,可从以下角度考虑:由于原不

等式等价于|2x-3|>3且|2x-3|<5,因此可先分别解出两个绝

对值不等式的解集,然后求其交集.
对于第(2)题可利用零点分段法和绝对值的几何意义来解决.

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【解】

?|2x-3|>3, ① ? (1)法一:原不等式等价于? ?|2x-3|<5. ② ?

由①得 2x-3>3,或 2x-3<-3, 解得 x>3,或 x<0. 由②得-5<2x-3<5,解得-1<x<4.如图所示.所以原不等式的 解集为{x|-1<x<0,或 3<x<4}.

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3 3 5 3 3 5 法二:3<|2x-3|<5? <|x- |< , <|x- |< 的几何意义为数轴 2 2 2 2 2 2

3 3 5 上点 x 到点 的距离大于 且小于 , 如图所示. 2 2 2 则原不等式的解集为(-1,0)∪(3,4).

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(2)法一:分别求|x-1|、|x+2|的零点,即 1,-2. 由-2,1 把数轴分成三部分:x<-2,-2≤x≤1,x>1. 当 x<-2 时,原不等式即 1-x-2-x<5,解得-3<x<-2;当 -2≤x≤1 时,原不等式即 1-x+2+x<5,因为 3<5 恒成立, 所以-2≤x≤1 时原不等式成立;当 x>1 时,原不等式即 x-1 +2+x<5,解得 1<x<2. 综上,原不等式的解集为{x|-3<x<2}.

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法二:不等式|x-1|+|x+2|<5 的几何意义为数轴上到-2,1 两 个点的距离之和小于 5 的点组成的集合, 而-2,1 两个端点之间 的距离为 3, 由于分布在-2,1 以外的点到-2,1 的距离要计算两 次,而在-2,1 内部的距离则只计算一次,因此只要找出-2 左 5-3 边到-2 的距离等于 =1 的点-3,以及 1 右边到 1 的距离 2 5-3 等于 =1 的点 2,则原不等式的解集为{x|-3<x<2}. 2

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【领悟归纳】

这两个小题的解法中,法二用了绝对值的几何

意义,比法一简单.第(1)题也可直接转化为:3<2x-3<5 或- 5<2x-3<-3 两个不等式的并集. 总之把绝对值不等式转化为不 含绝对值不等式.

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跟踪训练 1.(2012· 高考天津卷)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B= {x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=______, n=________. 解析:因为|x+2|<3,即-5<x<1,所以A=(-5,1), 又A∩B≠?,所以m<1,B=(m,2), 由A∩B=(-1,n)得m=-1,n=1.

答案:-1 1
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考点2

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的形式为ax2+bx+c>0(<0)(a≠0). 一元二次不等式的解题步骤: (1)将二次项系数化为正数; (2)看判别式Δ的符号;

(3)求出相应一元二次方程的根(若根存在);
(4)根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的关 系,结合不等号定解集.

有时通过因式分解,直接求出方程的根.

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例2

解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).

【思路分析】因式分解→求根→比较根的大小→写出解集.
【解】 原不等式可化为(x-1)(ax-1)<0. 1 对应方程(x-1)(ax-1)=0 的根为 x1=1,x2= . a 1 1 ①当 0<a<1 时, >1,∴1<x< . a a 1 ②当 a=1 时, =1, 原不等式可化为(x-1)2<0, 此不等式无解. a

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1 1 ③当 a>1 时, <1,∴ <x<1. a a 1 综上所述:当 0<a<1 时,解集为{x|1<x< }. a 当 a=1 时,解集为?. 1 当 a>1 时,解集为{x| <x<1}. a 【领悟归纳】 方程根的大小影响了不等式的解集形式,故

以根的大小入手进行分类讨论,即一元二次不等式解集的边 界数就是对应方程的根.

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跟踪训练

2.若将例2中的条件改为“a<0”,求解这个不等式.
1 解:当 a<0 时,方程(x-1)(ax-1)=0 根仍为 x1=1,x2= .不 a 等式变为(x-1)(-ax+1)>0, 1 其解集为{x|x>1 或 x< }. a

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考点3 一元二次方程与不等式、二次函数的关系
这类问题主要是将一元二次方程的根,一元二次不等式的解 集以及二次函数的图象结合起来来解决问题.即一元二次方

程根的分布转化为一元二次不等式求解,一元二次不等式转
化为二次函数的值域问题来求解.

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例3

若1<x≤2,不等式ax2-2ax-1<0恒成立,求实数

a的取值范围. 【思路分析】 不等式的二次项系数为待定参数a,故要先分

a=0和a≠0两大类进行讨论,然后结合数形结合法求解. 【解】 法一:从函数图象与不等式解集入手,不等式在(1,2]

上恒成立,

即f(x)=ax2-2ax-1在x∈(1,2]时图象恒在x轴下方.
当a=0时,不等式变为-1<0恒成立.
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当 a≠0 时,设 f(x)=ax2-2ax-1,对称轴 x=1,结合二次函 数图象,
?f?1?≤0 ? 当 a>0 时,只需? 可得 a>0, ?f?2?<0 ?

当 a<0 时,只需 f(1)≤0,得-1≤a<0, 综上可得 a≥-1.

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法二:因不等式恒成立,所以不等式对应的函数在(1,2]上的最 大值恒小于 0,从而转化为二次函数在闭区间上的最值问题. 设 f(x)=ax2-2ax-1, 当 a=0 时,f(x)=-1,满足不等式 f(x)<0; 当 a>0 时,f(x)对称轴为 x=1,结合二次函数图象, (1,2]为 f(x)的增区间, ∴f(x)max=f(2)=-1<0 成立,∴a>0. 当 a<0 时,f(x)对称轴为 x=1, 区间(1,2]为 f(x)的减区间, ∴f(x)max=f(1)=-a-1≤0,∴a≥-1, ∴-1≤a<0,综上所述 a≥-1.

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【思维总结】

关于一元二次不等式恒成立问题,可以利用

数形结合法,根据对称轴和区间的位置关系,列出不等式求
解;也可转化为函数在某区间上的最大值恒小于零或最小值

恒大于零的问题,通过求最值解决.

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方法感悟
方法技巧 1.绝对值的转化方法,就是依据绝对值概念和等价不等式,

将其转化为不含绝对值的整式不等式(或不等式组)来解.也可
结合绝对值的几何意义去绝对值号,含两个以上绝对值的不 等式,欲去掉绝对值符号,需先找出零点,划分区间,利用

零点分段讨论,从而去掉绝对值符号.
2.解一元二次不等式时,应当考虑相应的一元二次方程,二 次函数的图象,根据二次项系数的符号确定不等式解集的形

式,当然还要考虑相应的二次方程根的大小.

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失误防范
1.在二次项系数没有转化为正号的情况下解不等式,在写 解集时易出现把不等号的方向写反的错误. 2.在二次项系数含有参数时,不要直观认为就是二次不等 式,易丢掉对系数为0的讨论. 3.分类讨论结束后,要把各种情况进行综合归纳. 4.对于|f(x)|,其取值为[0,+∞),不能认为是(0,+∞).

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考向瞭望把脉高考
命题预测 绝对值不等式与一元二次不等式是高中数学的基本内容,是

高考命题的重点.试题的命制常以这两类不等式为载体,既
考查不等式的解法,又考查对集合概念和运算的熟练掌握程 度.2012年高考中,绝大多数省份试题以选择题、填空题形 式出现,少数省份的高考题以解答题的某一步出现.

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如2012年重庆卷,考查的分式不等式的解法,山东卷、上海 卷、广东卷考查的绝对值不等式的解法. 预测2014年的高考题对绝对值不等式和一元二次不等式仍坚 持如上述内容的考查.特别是一元二次不等式的解法、分式 不等式的解法要熟练掌握.

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规范解答 例 (本题满分12分)已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1. (1)设a=2,求f(x)的单调区间; (2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.
【解】 (1)当 a=2 时,f(x)=x3-6x2+3x+1,

∴f′(x)=3(x-2+ 3)(x-2- 3),(2 分) 令 f′(x)>0,即(x-2+ 3)(x-2- 3)>0, 得 x>2+ 3或 x<2- 3.

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∴f(x)在(-∞,2- 3)和(2+ 3,+∞)上为增函数.… (4 分) 令 f′(x)<0 得 2- 3<x<2+ 3, ∴f(x)在(2- 3,2+ 3)上为减函数.(6 分) (2)f′(x)=3(x2-2ax+1)=3[(x-a)2+1-a2]. f(x)在(2,3)中至少有一个极值点, 等价于 f′(x)=0 在(2,3)中至少有一个根.(8 分) 若只有一个根,则 f′(2)· f′(3)<0, 即(4-4a+1)(9-6a+1)<0, 5 5 <a< .(10 分) 4 3
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若 f′(x)=0 有两根在(2,3)中,

?f′?2?>0 ? 则有? f′?3?>0 ?f?a?<0 ?
2<a<3

?4-4a+1>0 ? ,即? 9-6a+1>0 ?1-a <0 ?
2<a<3
2

,此时无解.

5 5 综上可知,a 的取值范围为( , ).(12 分) 4 3

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【名师点评】

本题从外观上看,是利用导数研究函数的单

调区间与极值,求导只是解题的入手点,而中间过程实质是 解不等式,问题(1)是解一元二次不等式,问题(2)第一种情况

是解关于a的一元二次不等式,第二种情况是求解关于a的一
元一次不等式组,故本题的中心内容是转化为不等式求解,

本题难度属于中档题,只要解不等式的基本过程掌握好,本
题很容易解答.

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