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2013届高考数学一轮复习讲义:1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件


一轮复习讲义

命题及其关系、充 分条件与必要条件

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要点梳理
1.命题的概念

忆一忆知识要点

在数学中把用语言、符号或式子表达的,能够 判断真假 的 陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假 的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命

题 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表述形式 若 p,则 q

若 q,则 p
若綈 p,则綈 q
若綈 q,则綈 p

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要点梳理

忆一忆知识要点

(2)四种命题间的逆否关系
逆命题

否命题

逆否命题

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有 关系.

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要点梳理

忆一忆知识要点

3.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的 充分条件,q 是 p 的

必要条件 ; (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的 充要条件 .

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[难点正本

疑点清源]

1.用集合的观点,看充要条件 设集合 A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q},则有: (1)若 A?B,则 p 是 q 的充分条件,若 A 的充分不必要条件; (2)若 B?A,则 p 是 q 的必要条件,若 B 的必要不充分条件; (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; (4)若 A?B,且 B?A,则 p 是 q 的既不充分也不必要 条件. A,则 p 是 q B,则 p 是 q

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2.从逆否命题,谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因 而,当判断原命题的真假比较困难时,可转化为判断它 的逆否命题的真假.这就是常说的“正难则反”.

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四种命题的关系及真假 判断
例 1 以下关于命题的说法正确的有_______ (填写所有正确 命题的序号). ①“若 log2a>0,则函数 f(x)=logax (a>0,a≠1)在其定义 域内是减函数”是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; ③命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆命 题为真命题; ④命题“若 a∈M, 则 b?M”与命题“若 b∈M, 则 a?M” 等价.

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根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、 逆否命题的表达格式.当命题较简单时,可直接判断其真 假,若命题本身复杂或不易直接判断时,可利用其等价命 题——逆否命题进行真假判断.

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对于①,若 log2a>0=log21,则 a>1,所以函数 f(x) =logax 在其定义域内是增函数,因此①是假命题,故①不 正确;
对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;

对于③,原命题的逆命题是“若 x+y 是偶数,则 x、y 都 是偶数”,是假命题,如 1+3=4 是偶数,但 3 和 1 均为 奇数,故③不正确;
对于④,不难看出,命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④ 正确.

综上可知正确的说法有②④.
答案 ②④

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探究提高
(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假 的关键;(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与 否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进 行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)认真仔细读题, 必要时举特例.

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变式训练 1
有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. ①③ . 其中真命题的序号为________
①的逆命题是“若 x,y 互为相反数, 则 x+y=0”, 真;
②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”,假;

③若 q≤1,则 Δ=4-4q≥0,所以 x2+2x+q=0 有实根,其逆 否命题与原命题是等价命题,真; ④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”,假.

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充分、必要、充要条件的 概念与判断
例 2 指出下列命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必要 条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不 充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B; (2)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6; (3)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知 x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0, q:(x-1)(y-2)=0.

首先分清条件和结论,然后根据充要条件的定义进行判断.

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(1)在△ABC 中,∠A=∠B?sin A=sin B,反之,若 sin A=sin B,因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三个内角 和为 180° ),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条件.
(2)易知,綈 p:x+y=8,綈 q:x=2 且 y=6,显然綈 q?

/ 綈 q,即綈 q 是綈 p 的充分不必要条件,根 綈 p,但綈 p ?
据原命题和逆否命题的等价性知, p 是 q 的充分不必要条件. (3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B, 但 x∈B 一定有 x∈A∪B, 所以 p 是 q 的必要不充分条件.
(4)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2,

/ p,故 p 是 q 的充分不必要条件. 所以 p?q 但 q? 主页

探究提高
判断 p 是 q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件 p 能 否推得条件 q;二是由条件 q 能否推得条件 p.对于带有否定性 的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问 题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和 否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.

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变式训练 2
给出下列命题: ①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列” 的充分不必要条件; ②“a=2”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函 数”的充要条件; ③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0 与直线 mx-6y +5=0 互相垂直”的充要条件; ④设 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 所对的边, 若 a=1,b= 3,则 A=30° 是 B=60° 的必要不充分条件. 其中真 命题的序号是________. .

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对于①,当数列{an}为等比数列时,易知数列{anan+1} 是等比数列,但当数列{anan+1}为等比数列时,数列 {an}未 必是等比数列,如数列 1,3,2,6,4,12,8 显然不是等比数列, 而相应的数列 3,6,12,24,48,96 是等比数列,因此①正确; 对于②,当 a≤2 时,函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上 是增函数,因此②不正确; 对于③,当 m=3 时,相应两条直线垂直,反之,这两条 直线垂直时, 不一定有 m=3, 也可能 m=0.因此③不正确; b sin B 1 对于④,由题意得a= = 3,若 B=60° ,则 sin A= , sin A 2 3 注意到 b>a, 故 A=30° , 反之, 当 A=30° 时, 有 sin B= , 2 由于 b>a,所以 B=60° 或 B=120° ,因此④正确.
综上所述,真命题的序号是①④.

答案 ①④

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充要条件的证明
例3 求证: 关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根

的充要条件是 a≤1.

需证明充分性和必要性.证充分性时,可分 a=0,a<0 和 0<a≤1 三种情况证明;证必要性,就是寻找方程有一个负 根和两个负根的条件.
证明 充分性:当 a=0 时,方程为 2x+1=0, 1 其根为 x=- ,方程有一个负根,符合题意. 2

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当 a<0 时, Δ=4-4a>0, 方程 ax2+2x+1=0 有两个不相等 1 的实根,且a<0,方程有一正一负根,符合题意.
当 0<a≤1 时,Δ=4-4a≥0,方程 ax2+2x+1=0 有实根, ? 2 ?-a<0 且? ?1>0 ?a ,故方程有两个负根,符合题意.

综上知:当 a≤1 时,方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根.
必要性:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根. 当 a=0 时,方程为 2x+1=0 符合题意.

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当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 应有一正一负根或两个负根.
?Δ=4-4a≥0 ? ?-2<0 1 则a<0 或? a ?1 ? >0 ?a

.解得 a<0 或 0<a≤1.

综上知:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一负根,则 a≤1.
故关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条 件是 a≤1.

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探究提高
(1)条件已知证明结论成立是充分性, 结论已知推出条件成 立是必要性. (2)证明分为两个环节, 一是充分性; 二是必要性. 证明时, 不要认为它是推理过程的“双向书写”,而应该进行由条 件到结论,由结论到条件的两次证明. (3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形, 这就要分清 哪是条件,哪是结论.

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变式训练 3
已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn+q(p≠0,且 p≠1),求证: 数列{an}为等比数列的充要条件为 q=-1.
证明 充分性:当 q=-1 时, a1=S1=p+q=p-1.
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1). 当 n=1 时也成立. an+1 pn(p-1) 于是 a = n-1 =p(n∈N*), p (p-1) n 即数列{an}为等比数列.

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必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q.
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1). an+1 pn(p-1) ∵p≠0,p≠1,∴ a = n-1 =p. p (p-1) n 必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q.

∵{an}为等比数列,
a2 an+1 ∴ = a =p,又 S2=a1+a2=p2+q, a1 n
p(p-1) ∴a2=p -p=p(p-1),∴ =p, p+q
2

即 p-1=p+q.∴q=-1.

综上所述,q=-1 是数列{an}为等比数列的充要条件.

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思想与方法
等价转化思想在充要条件关系中的应用
(14 分)已知
? x-1? ? ? 2 2 p: ≤ 2 , q : x - 2 x + 1 - m ≤0 1 - ? ? 3 ? ?

(m>0),

且綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件, 求实数 m 的取值范围.

审题视角
(1)先求出两命题的解集,即将命题化为最简. (2)再利用命题间的关系列出关于 m 的不等式或不等式组, 得出结论.

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规范解答 方法一 由 q:x2-2x+1-m2≤0, [2 分]
[4 分] [6 分]

得 1-m≤x≤1+m,
∴綈 q:A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0},
? x-1? ? ? 由?1- ≤2,解得-2≤x≤10, 3 ? ? ?

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∴綈 p:B={x|x>10 或 x<-2}.
∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件. ?m>0, ? B,即?1-m<-2, ?1+m≥10, ? ?m>0, ? 或?1-m≤-2, ?1+m>10, ?

[8 分]

∴A

即 m≥9 或 m>9 即 m≥9.

[14 分]

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方法二

∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件,
[2 分]
[5 分]

∴p 是 q 的充分而不必要条件,
由 q:x2-2x+1-m2≤0,得 1-m≤x≤1+m, ∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m},
? x-1? ? ? 由?1- ≤2,解得-2≤x≤10, 3 ? ? ?

∴p:P={x|-2≤x≤10}.

[8 分]

∵p 是 q 的充分而不必要条件, ∴P ?m>0, ? Q,即?1-m<-2, ?1+m≥10, ? ?m>0, ? 或?1-m≤-2, ?1+m>10, ?

即 m≥9 或 m>9 即 m≥9.

[14 分]

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批阅笔记

本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思 想, 将复杂、 生疏的问题化归为简单、 熟悉的问题来解决. 一 般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常 常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问 题的关键.

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方法与技巧
1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保 留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组 成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或 n 个)作为大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与 定理是有区别的;命题有真假之分,而定理都是真的.

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方法与技巧
3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法:利用 A?B 与綈 B?綈 A,B?A 与綈 A? 綈 B,A?B 与綈 B?綈 A 的等价关系,对于条件或 结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若 A?B,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件; 若 A=B, 则A是B 的充要条件.

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失误与防范
1.否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,而命 题的否定是只否定命题的结论.要注意区别. 2.判断 p 与 q 之间的关系时,要注意 p 与 q 之间关系的方 向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.

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知识网络

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知识网络

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要点梳理

忆一忆知识要点

4.充分(必要、充要) 条件的判别方法 ①分清条件与结论 ②找推式(尝试用条件推结论,再 (1)定义法判断 尝试用结论推条件) ③下结论(指出条件是结论的什 么条件) (2)集合法判断(利用集合之间的包含关系) 从集合的角度理解,小范围可以推出大范围, 大范围不能推出小范围. (3)转化法判断(等价命题)
(4)传递法判断
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要点梳理

忆一忆知识要点

4.充分(必要、充要) 条件的判别方法
(1) 定义法:判断 p 是 q 的什么条件,实际上就是判断 p?q 或 q?p 是否成立,只要把题目中所给条件按逻 辑关系画出箭头示意图,再利用定义即可判断.

①若p?q, 则p是q的充分条件; ②若q?p, 则p是q的必要条件; ③若p?q且q?p,则p是q的充要条件; ④若p?q且q?p, 则p是q的充分不必要条件; ⑤若p?q且q?p, 则p是q的必要不充分条件; ⑥若p?q且q ? p,则p是q的既不充分也不必要条件.
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忆一忆知识要点

(2) 集合法:在对命题的条件和结论间的关系判断有 困难时,有时可以从集合的角度来考虑,记条件 p 、 q对应的集合分别为A、B,则: ①若A?B,则p是q的充分条件; ②若A ?B,则p是q的充分非必要条件;
③若A?B,则p是q的必要条件; ④若A ? B,则p是q的必要非充分条件; ⑤若A=B,则p是q的充要条件; ⑥ 若 A?B ,且 A?B ,则 p 是 q 的既非充分条件也非 必要条件.
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要点梳理

忆一忆知识要点

(3)用命题的等价性判断: (“若p,则q”)
①原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件; ②原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不充分条件; ③原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件; ④原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要 条件.同时要注意反例法的运用.

(4)传递法判断

s? r? p ? q
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题型一 四种命题的相互关系
例 1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它们的真假: (1)若A∪B=U,则A= ?UB.

逆命题 否命题

若A=?UB,则A∪B=U

真命题

逆否命题
思维启迪

若A∪B≠U,则 A≠?UB 若A≠?UB,则A∪B≠U
写成“若p,则q”的形式 判断真假

真命题 假命题

写出逆命题、否命题、逆否命题
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题型一 四种命题的相互关系
例 1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它们的真假:

判断:若x+y≠5,则x≠3或y≠2. (2)若x+y=5,则x=3且y=2.
逆命题: 若x=3且y=2,则x+y=5, 真命题.

否命题:若x+y≠5,则x≠3或y≠2,真命题.
逆否命题:若x≠3或y≠2,则x+y≠5,假命题.
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题型一 四种命题的相互关系 【1】若命题p的逆命题是q,命题p的否命 题是r,则q是r的 逆否命题 .

设 p:若a,则b,
则q:若b,则a,

r:若┓a,则┓b.
所以q是r是逆否命题.

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题型一 四种命题的相互关系
【2】若mn<0,则方程mx2-x+n=0有两个不相等的 实数根.

? ? 1 ? 4mn
逆否命题:

若方程mx2-x+n=0有两个相等的实数根,则 mn≥0. 若方程mx2-x+n=0有两个相等的实数根或无实 数根,则mn≥0.
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题型一 四种命题的相互关系
【3】 写出下列命题的否定与否命题 ①零的平方等于0. ②平行四边形的对角线相等且互相平分. ①命题的否定: 零的平方不等于0.

否命题: 非零数的平方不等于0.
②命题的否定: 平行四边形的对角线不相等

或不互相平分. 否命题: 若四边形不是平行四边形,则它的 对角线不相等或不互相平分.
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题型二 充分条件、必要条件的判断
例2.下列各小题中,p是q的充要条件的是 ①② . ①p:m<-2或m>6,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点;

② p:

③p:cosα =cosβ, q:tanα =tanβ; ④p: A∩B=A, q: ?UB? ?UA

f (? x) ?1 f ( x)

, q: y=f(x)是偶函数;

点评 充要条件的判断:
(1)分清命题的条件与结论; (2)常用方法有:定义法,集合法,变换法(命题的等价变换)等.

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【1】已知p:|2x-3|≥1; q: 的 既不充分也不必要 条件.

1 ? 0 ,则 2 x ? x?6

? p是 ? q

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已知?、? 均为锐角, 若p : sin ? ? sin(? ? ? ), 【 2】 q : ? ? ? ? ? , 则p是q的( B ) 2 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 不充分也不必要条件

若0 ? ? ? ? ? ? ? ? , 则 sin ? ? sin(? ? ? ),? q ? p. 2 既不充分又不必要 【3】 “sinA>sinB”是“A>B”的 ________________条件.

取? ? ? , ? ? ? , 则 sin ? ? sin(? ? ? ), 但? ? ? ? ? ,? p ? ? q. 2 6 3

充要 【4】在△ABC中, “sinA>sinB”是 “A>B”的 _____条件. 【5】在△ABC中, “B=60°”是 “A, B, C成等差数列” 充要 的 __________条件. 主页

题型二 充分条件、必要条件的判断

6.已知P: x+y≠2009;Q:x≠2000且y≠9,则P是Q 的 既不充分又不必要 条件. ___________________ 解: 逆否命题是x=2000或y=9 ?x+y=2009不成立,

P? Q
显然其逆命题也不成立.

P? Q

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题型三 充要条件的证明
例2.求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要 条件是m≥2.

证明:(1)充分性:因为m≥2,所以?=m2-4≥0, 所以方程x2+mx+1=0有实根. 设x2+mx+1=0的两个实根为x1、x2, 由根与系数的关系知x1x2=1>0. 所以x1、x2同号. 又因为x1+x2=-m≤-2, 所以x1、x2同为负根. 主页

题型三 充要条件的证明
例2.求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要 条件是m≥2.

证明:(2)必要性:因为x2+mx+1=0的两个实根x1,x2均为负, 且x1x2=1,

所以m-2=-(x1+x2)-2 ? ? ( x1 ? 1 ) ? 2 x1

所以m≥2. 综合(1)(2)知命题得证.
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( x1 ? 1)2 ?? ≥ 0, x1

变式 1. 求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实
根的充要条件. 解: (1)a=0适合. (2)a≠0时,显然方程没有零根. ①若方程有两异号实根,则a<0; ②若方程有两个负的实根,则
? ? ? ? 4 ? 4a ≥ 0, ? 则 ? 1 ? 0, ?a 2 ? ? 0, ? ? a

解得0<a≤1.

综上知,若方程至少有一个负实根,则a≤1. 反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根, 因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充 要条件是a≤1. 主页

题型四 与充要条件有关的参数问题
若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

例 3.设命题 p:(4x-3)2≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,

解:设A={x|(4x-3)2≤1}, B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 易知A={x| 1 2 ≤x≤1}, B={x|a≤x≤a+1}. 由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,
1 1 ? ? ?a ≤ 2 , ?a ? 2 , ?? 或? ? ?a ? 1 ? 1. ? ?a ? 1 ≥ 1.

从而p是q的充分不必要条件,即 A ? B. 从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A ? B ,

2 2 ]. 故所求实数a的取值范围是 [0, 1 2
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解之,得 0 ? a ≤ 1 , 或0 ≤ a ? 1 ,

即0 ≤ a ≤ 1 .

2

题型五 综合题型
【1】设 p : f ( x) ? ln x ? 2x2 ? mx ? 1在 (0, ??) 内单调递 增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的充分不必要 条件

【解析】

f ?( x) ? 1 ? 4 x ? m ≥ 0 在 (0, ??) 内恒成立, x ? m ≥ ? 1 ? 4 x 在 (0, ??) 内恒成立, x 而 (? 1 ? 4 x)max ? ?4, ? m ≥ ?4, x m ≥ ?4 ? m ≥ ?5,
所以 p 是 q 的充分不必要条件.
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2. 若非空集合 A,B,C 满足 A∪B=C, 且 B 不是 A 的子集, 则“x∈C ”是“x∈A”的
必要但不充分 条件.

由A∪B=C,则A?C且B ?C,故x∈A,则x∈C.

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解题是一种实践性技能 , 就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚


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1-2 命题及其关系、充分条件与必要条件

1-2 命题及其关系充分条件与必要条件_数学_高中教育_教育专区。一轮复习专用,新高一勿进 限时·规范·特训 [A 级 基础达标] 1. [2014·北京高考]设 a,b...


2015届高考数学(理)一轮复习课时作业:1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

2015届高考数学(理)一轮复习课时作业:1.2 命题及其关系充分条件与必要条件_数学_高中教育_教育专区。1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是...


2013年高考数学一轮复习课时训练:命题及其关系、充分条件与必要条件(北师大版))

2013高考数学一轮复习课时训练:命题及其关系充分条件与必要条件(北师大版))...? ? 2? 7.有三个命题:(1)“若 x +y=0,则 x ,y 互为相反数”的逆...


1.2命题及其关系、充分条件与必要条件教案

1.2命题及其关系充分条件与必要条件教案_数学_高中教育_教育专区。§ 1.2 命题及其关系充分条件与必要条件 2014 高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互...

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