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谷城一中2015年8月月考高三数学(文科)月考试题


谷城一中 2015 年 8 月高三月考试题



学(文科)

命题人:高金铭 审题人:龚菊先 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. 设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元

素的 个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 1 2 2.设 x∈R,则“x> ”是“2x +x-1>0”的 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

? ?) , 3.命题“ ?x ? (0,
A. ?x0 ? (0, ? ?) ,

1 3 x ? x ? 1>0 ”的否定是 3

1 3 1 3 x0 ? x0 ? 1 ? 0 B. ?x0 ? (0, ? ?) , x0 ? x0 ? 1 ? 0 3 3 1 1 ? ?) , x 3 ? x ? 1 ? 0 ? ?) , x 3 ? x ? 1 ? 0 C. ?x ? (0, D. ?x ? (0, 3 3 2 ? x ? 2, x ? 0, 4. 函数 f ( x) ? ? 的零点个数是 ?2 x ? 6 ? ln x, x ? 0.
A.1 B.2 C.3 D.4

? 5.若幂函数 f ( x) ? mx 的图像经过点 A( , ) ,则它在点 A 处的切线方程是

1 1 4 2

A. 2 x ? y ? 0 C. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 6.已知 a ? ? , b ? log? A. a ? b ? c
1 3

B. 2 x ? y ? 0 D. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0

3 , c ? ln( 3 ?1) ,则 a, b, c 的大小关系是
C. b ? a ? c D. c ? b ? a

B. b ? c ? a

7.已知定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 在 x ? 0 时, f ( x) ? ex ? x ,若 f ? a? ? f ? a ?1? , , 则 a 的取值范围是 A. ? ??,1? B. (??, )

1 2

C. ( ,1)

1 2

D. ?1, ?? ?

?(a ? 3) x ? 5, x ? 1, ? 8.已知函数 f ( x) ? ? 2a 是(-∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范围是 , x ?1 ? ? x
A. ? 0,3? B. ? 0,3? C.
1

? 0, 2 ?

D.

? 0, 2?

9. 已知 f ( x) ? a ln x ?

1 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ,若对任意两个不等的正实数 x1 , x2 , 都有 ?0 2 x1 ? x2
B. ? 0, ???

成立,则实数 a 的取值范围是 A. ?0, ??? C.

? 0,1?

D. ? 0,1?
y

2 10.如图,已知抛物线 y ? 2 px

( p ? 0) 的焦点 F 恰好

是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,且两条曲线的交点的连 a2 b2
O F x

线过 F,则该双曲线的离心率为 A. C.

2 ?1
2

B. 2
[

D. 2 ? 1 1 2 11. 已知抛物线 y ? x 的焦点为 F , 准线为 l ,M 在 l 上, 线段 MF 与抛物线交于 N 2 点,若 | MN |? 2 | NF | ,则 | MF | = A. 2 12.已知 f ( x ) ? B. 3 C. 2 D. 3

ln x ? lnx , f ( x) 在 x ? x0 处取最大值,给出以下各式: 1? x
② f ( x0 ) ? x0 ; ⑤ f ( x0 ) ? ③ f ( x0 ) ? x0 ;

① f ( x0 ) ? x0 ; ④ f ( x0 ) ?

1 ; 2

1 . 2
C.②⑤ D.③⑤

其中正确结论的序号是 A.①④ B.②④

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.) 13. 化简: lg 25 ? lg 2 lg 50 ? (lg 2) =
2



14.已知 f (x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f (x)-g(x)=x3+x2+1,则 f (1)+g(1)= . 15.圆 ( x ? a) ? y ? 1 与双曲线 x ? y ? 1的渐近线相切,则 a 的值是________.
2 2 2 2

? a, a ? b 16. 定义 min{a, b} ? ? ,设函数 f ( x) ? min 2 x ,| x ? 2 | ,若动直线 y ? m 与函数 ?b, b ? a y ? f ( x) 的图像有三个交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围 为 .

?

?

2

三. 解答题(本大题共 6 小题, 满分 70 分。 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.(本大题满分 12 分) 设命题 p : ?x0 ? R, x0 2 ? 2ax0 ? a ? 0 ;命题 q : ?x ? R, ax ? 4 x ? a ? ?2 x ? 1.
2 2

如果命题“ p ? q 为真命题,“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取值范围.

.

18. (本大题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? log3 (9x) ? log3 (3x) , (I)若 m ? log3 x ,求 m 的取值范围. (II)求 f ( x ) 的最值,并给出 f ( x ) 取最值时对应的 x 的值.

1 ? x?9. 9

19.(本大题满分 12 分) 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得投 资收益的范围是 [10,100] (单位:万元).现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖 金 y (单位:万元)随投资收益 x (单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 5 万元,同 时奖金不超过投资收益的 20﹪. (Ⅰ)若建立函数 y ? f ( x) 制定奖励方案,请你根据题意,写出奖励函数 y ? f ( x) 应 满足的条件; (Ⅱ)现有两个奖励函数模型: (1) y ? 函数模型是否符合公司要求.

1 x ? 1 ; (2) y ? log 2 x ? 2 .试分析这两个 20

.

3

F ? x? ?

f ? x? 在 I 上是减函数,则称 y ? f ? x ? 是 I 上的“单反减函数”. x 2 已知 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? 2 x ? ? a ln x(a ? R) . x (I)判断 f ? x ? 在 ? 0,1? 上是否是“单反减函数” ;

20.(本大题满分 12 分 ) 若函数 f ? x ? 是定义域 D 内的某个区间 I 上的增函数,且

(II)若 g ? x ? 是 ?1, ?? ? 上的“单反减函数” ,求实数 a 的取值范围.

21.(本大题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,且过点 P ( 2, 3) . a2 b 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设 Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ? 0) 是椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴 的垂线,垂足为 E . 取点 A (0, 2 2) ,连接 AE ,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D ,点G 是点 D 关于 y 轴的对称点, 作直线 QG , 问: 这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点? 并说明理由.

22.(本大题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3 |, x ? R. (I)解不等式: f ( x) ? 5; (II)若关于 x 不等式 t +3t> f ( x ) 在 R 上有解,求实数 t 的取值范围.
2

4

2015 年 8 月月考文科数学参考答案 一.选择题:1B 2A 3B 4B 5C 6D 7B 8D 9A 10A 11C 12B 二.填空题:13. 2 14. 1 15. ? 2 16. (4,8 ? 2 3) 三.解答题: 2 17. 当命题 p 为真时, ? ? 4a ? 4a ? 0 得 a ? ?1 或 a ? 0. ????????2 分 当命题 q 为真时, (a ? 2) x2 ? 4 x ? a ?1 ? 0 恒成立.

? a ? 2 ? 0 且 16 ? 4(a ? 2)(a ? 1) ? 0 ,得 a ? 2 .??????6 分
由题意得,命题 p 和命题 q 一真一假. 当命题 p 为真,命题 q 为假时, a ? ?1 或 0 ? a ? 2 . 当命题 q 为真,命题 p 为假时, a 不存在.. 所以实数 a 的取值范围是 ? ??, ?1? ??0,2? .?????????12 分 18.(I)因为 ≤x≤9,m=log3x 为增函数, 所以-2≤log3x≤2,即 m 的取值范围是[-2,2].
?????????3 分

(II)由 m=log3x 得:f(x)=log3(9x)· log3(3x)=(2+log3x)· (1+log3x) ?????????5 分 =(2+m)· (1+m)= - ,?????????8 分

又-2≤m≤2,所以当 m=log3x=- ,即 x= 时 f(x)取得最小值— ,?????????10 分 当 m=log3x=2,即 x=9 时 f(x)取得最大值 12. ?????????12 分 19. (Ⅰ)设奖励函数模型为 y ? f ( x) ,则该函数模型满足的条件是: ①当 x ? ?10,100? 时, f ( x) 是增函数; ②当 x ? ?10,100? 时, f ( x) ≤ 5 恒成立;
x ③当 x ? ?10,100? 时, f ( x) ≤ 恒成立. ?????????3 分 5 1 (Ⅱ) (1)对于函数模型 (1) y ? x ? 1 ,它在 ?10,100? 上是增函数,满足条件①; 20 但当 x ? 80 时, y ? 5 ,因此,当 x ? 80 时, y ? 5 ,不满足条件②; 故该函数模型不符合公司要求. ?????????6 分 (2)对于函数模型 (2) y ? log 2 x ? 2 ,它在 ?10,100? 上是增函数,满足条件①
? x ? 100 时 ymax ? log 2 100 ? 2 ? 2 log 2 5 ? 5 ,即 f ( x) ≤ 5 恒成立,满足条件②?8 分 1 1 1 1 1 1 设 h( x) ? log 2 x ? 2 ? x ,则 h?( x) ? ? ,又 x ? ?10,100? ? ≤ ≤ 5 x ln 2 5 100 x 10 1 1 1 ? 2 ln 2 ??10 分 ? h?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 h( x) 在 ?10,100? 上是递减的, 10 ln 2 5 10 ln 2 x 因此 h( x) ? h(10) ? log 2 10 ? 4 ? 0 ,即 f ( x) ≤ 恒成立.满足条件③ 5
5

故该函数模型符合公司要求; 综上所述,函数模型 y ? log 2 x ? 2 符合公司要求.

?????????12 分

20.解: (I)由于 f(x)=lnx,在(0,1]上是增函数,且 F(x)= ∵F′(x)=

=



,∴当 x∈(0,1]时,F′(x)>0,F(x)为增函数,

∴f(x)在(0,1]上不是“单反减函数”;?????????????5 分 (II)∵g(x)=2x+ +alnx,∴g′(x)=2﹣ + = ,?????????7 分

∵g(x)是[1,+∞)上的“单反减函数”, ∴g′(x)≥0 即 a ?

2 ? 2 x 在[1,+∞)上恒成立, x

h( x ) ?

2 ? 2 x 在 ?1, ?? ? 上是减函数,?h( x)max ? h(1) ? 0, ∴a≥0,??????8 分 x
=2+ + 在[1,+∞)上是减函数, + ≤0 在[1,+∞)恒成立,

又 G(x)=

∴G′(x)≤0 在[1,+∞)恒成立,即﹣

即 ax﹣axlnx﹣4≤0 在[1,+∞)恒成立,??????????????????10 分 令 p(x)=ax﹣axlnx﹣4 则 p′(x)=﹣alnx, ∴ 解得 0≤a≤4,

综上所述 0≤a≤4.????????????????12 分 21.解: (1)因为焦距为 4,所以 a ? b ? 4 ,
2 2

2 3 ? 2 ?1, 2 a b x2 y2 2 2 ? ? 1 . ?????????4 分 故 a ? 8, b ? 4 ,从而椭圆 C 的方程为 8 4
又椭圆过点 P ( 2, 3) ,所以 (2)一定有唯一的公共点,理由如下: 由题意, E 点坐标为 (x 0 ,0) ,设 D (x 1 ,0) ,则 AE ? (x 0 , ?2 2), AD ? (x 1 , ?2 2) , 再由 A D ? A E 知, AE ? AD ? 0 ,即 x 1x 0 ? 8 ? 0 , 由于 x 0 y 0 ? 0 ,所以 x 1 ? ?

uuu r

uuu r

uuu r uuu r

8 . ?????????6 分 x0 8 ,0) , x0

因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,所以点 G ( 故直线 QG 的斜率 k QG ?

y0 8 x0 ? x0

?

x 0y 0 , x 02 ? 8

6

又点 Q (x 0 , y 0 ) 在椭圆 C 上,所以 x 02 ? 2 y 02 ? 8 . ① 从而 k QG ? ?

x0 , 2y 0
x0 8 (x ? ) , ② ?????????9 分 2y 0 x0

故直线 QG 的方程为 y ? ?

将②代入椭圆 C 的方程,得 (x 02 ? 2 y 02 )x 2 ?16x 0x ? 64 ?16 y 02 ? 0 . ③ 将①代入③化简得 x 2 ? 2x 0x ? x 02 ? 0 , 解得 x ? x 0 , y ? y 0 , 即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点. ?????????12 分 22. 解: (I)1.零点分段讨论; 2.图象法(需要有分段解析式和图象); 3.用数轴表示法(需必要的文字描述) : 函数 f(x)=|x﹣1|+|x+3|表示数轴上的 x 对应点到﹣3、1 对应点的距离之和, 而﹣3.5、1.5 对应点到﹣3、1 对应点的距离之和正好等于 5, 不等式 f(x)≤5 的解集为{x|﹣3.5≤x≤1.5}. (I) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3 |?| ( x ?1) ? ( x ? 3) |? 4 .
2 2

?????5 分

当且仅当 ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 即 ?3 ? x ? 1 时取等号. ?????8 分 若不等式 t +3t>f(x)在 x∈R 上有解,则 t +3t>fmin(x)=4, 解得 t<﹣4,或 t>1,故实数 t 的取值范围为{t|t<﹣4,或 t>1}.?????10 分

7


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