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2.2.1.1 椭圆及其标准方程(第一课时) 梁


2.2.1 椭圆及其标准方程(第一课时)
厦门双十中学 梁莹莹 教学目标:
1. 知识与技能 (1)理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程; (2)能根据已知条件求椭圆的标准方程; 2. 过程与方法 (1)让学生经历椭圆概念的形成过程,培养学生动手能力和合作学习能力,锻炼学生 观察分析和归纳概括能力; (2)通过椭圆标准方程的推导过程,使学生进一步理解曲线与方程的

概念,体会用建 立曲线方程的基本方法——坐标法,渗透数形结合思想,培养计算能力。 (3)在求解椭圆的标准方程的过程,使学生掌握待定系数法,并渗透分类讨论思想。 3.情感、态度和价值观 (1)亲身经历椭圆标准方程的获得过程,感受数学美(对称美、简洁美)的熏陶; (2)通过主动探索,合作交流,体会数学的理性和严谨; (3) 通过经历椭圆方程的化简, 增强学生战胜困难的意志品质和锲而不舍的钻研精神, 养成扎实严谨的科学态度。

教学重点:椭圆的定义及其标准方程 教学难点:椭圆的标准方程的推导与化简 教学方法:引导探究法 教学准备:PPT,几何画板,Flash,画椭圆工具(绘图板、图钉、绳子、笔) 教学过程: 一、创设情境,引入课题
几何画板演示一些天体运行的轨迹图,并提出问题——这些天体运行的轨迹是什么? 学生经过观察,很直观地看出是椭圆。 问:你能不能列举生活中椭圆的例子?从而引出课题

[设计意图]激发学习兴趣,了解生活中有椭圆,说明研究椭圆的必要性。 二、实验探究,形成概念
1、取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图版的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是什么?(回顾圆定义) 2、如果把细绳的两端拉开一段距离,将圆心分开变成两个,绳子两端固定在这两个定 点上,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线。 学生活动: 拿出事先准备的学具,动手合作操作,画出椭圆。教师活动:用教具画椭圆。 3、在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? 4、你能自己归纳椭圆的定义吗? 活动:学生观察分析、归纳定义,老师补充概括,给出椭圆定义,并引导学生注意对 关键条件。 5、为什么常数要大于 F1 F2 呢?(教师操作,学生观察分析三种情况。 )

[设计意图]在“做”中学,通过画椭圆的实验操作,经历概念的形成过程, 积累感性经验。同时培养学生动手操作、观察分析、归纳概括的能力,引导学生 自主合作探究,变被动为主动。

三、师生互动,推导方程
回顾求曲线方程的基本方法——坐标法,及其它的解题步骤。 1、 建系设点:思考:观察椭圆的形状,怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单? (根据椭圆的对称性建系) 。 2、 写出点集:根据椭圆定义,写出椭圆上动点满足的几何条件; 3、 列出方程:坐标代入(距离公式) ; 4、 化简:问:两个根式之和的等式,如何化简? 预想 1:学生可能会想直接平方 对策 1:将错就错,直到学生感到困难,算不下去,出现困惑,老师在引导。 预想 2:学生直接提出将一个根式移到另一边 对策 2:顺着学生思路走,但追问为什么这么做,点明思路。 2 2 学生活动:继续化简,两次平方,整理,得到: x ? y ? 1(a 2 ? c 2 ? 0) 问:这个方程形式上还不够简洁对称,我们设 b ? a ? c ,跟勾股定理公式很像,如
2

2 a2

a2 ? c2 2

果把 a, c, a 2 ? c 2 看作一个直角三角形的三边,你能从椭圆图形中找出这样的直角三角形 吗?(学生观察分析,明确 b 的几何意义。 ) 5、 证明。

四、类比推广,对比归纳
[师总结]焦点在 x 轴上椭圆标准方程,以及 a,b,c 之间关系。 问: 如果焦点 F1 , F2 在 y 轴上, F1 , F2 的坐标分别为 (0, ?c), (0, c) ,a , b 的意义同上, 且 这时椭圆的方程是什么? 生:x、y 互换,得到焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程。 活动:教师列表格,学生对比归纳两种标准方程的相同点与不同点。

[设计意图]通过对比总结,加深对椭圆标准方程的理解,使学生体会类比的 思想方法,为后面学习双曲线、抛物线打基础。 五、应用举例,归纳点评
例 1 判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴上,并写出 a, b, c 的值。 (提问,学生口答)

(1)

x2 y 2 ? ?1 25 16

(2)

x2 y2 ? 2 ? 1(m ? 0) m2 m ? 1

(3)9 x2 ? 4 y 2 ? 36

[方法小结] (1)哪个分母大,焦点落在哪个坐标轴上; (2) a, b, c 之间的关系:

a 2 ? b2 ? c2 ,其中 a 最大。
例 2 求满足下列条件的椭圆的标准方程。 (给学生思考时间,找两个学生上黑板写出 解题过程) (1)两焦点坐标分别是 (0, ?2), (0, 2) ,且椭圆经过点 ( ? (2)焦距为 8,椭圆上一点 P 到两焦点距离之和为 10; (3)经过两点 A(1,

3 5 , ); 2 2

3 3 7 ), B(? , )。 (有时间才出示第 3 小题) 2 2 4

[方法小结] 用待定系数法求椭圆的标准方程
2

思路一:几何视角 (1)根据焦点位置方程形式; (2)根据椭圆定义确定 a,b,c; (3)写出椭圆的标准方程 思路二:代数视角 (1)根据焦点位置确定方程形式; (2)根据条件列方程组,求解 a 2 , b 2 ; (3)写出椭圆的标准方程。 (从定位到定量) 六、课堂小结
1. 椭圆的定义(强调关键条件) ; 2.椭圆的标准方程(表格, a, b, c 关系) ; 3.求椭圆的标准方程——待定系数法; 4.数形结合,分类讨论思想。

七、拓展探究
1、经过椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的右焦点 F2 作直线 AB,交椭圆于 A,B 两点, F 是椭 1
2 2

圆的左焦点,则 ?AF1B 的周长为

2、若方程 变式:

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,k 的取值范围是 k ? 2 3? k

(1)若方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,k 的取值范围是 k ? 2 3? k

x2 y2 ? ? ?1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,k 的取值范围是 (2)若方程 k ? 2 3? k

3


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