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高考一轮总复习人教A版数学2-1


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章





第二章





走向高考 ·

高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学

●命题趋势 1.高考命题对函数的考查是全方位、多层次的,既有 中低档的选择、填空题,也有变换角度,在知识交汇处综合 的大题,近两年注重了对函数与导数知识的结合.

第二章





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考 查 的 重 点 依 旧 是 函 数 的 概 念 、 性 质 及 其 应 用 ; 考 查 的 热 点 是 函 数 模 型 的 应 用 、 函 数 的 图 象 与 性 质 、 函 数 与 其 他 章 节 知 识 (如 数 列 、 方 程 、 不 等 式 、 解 析 几 何 等 知 识 汇 . 在 考 查 函 数 知 识 的 同 时 , 又 考 查 运 用 函 数 的 思 想 、 数 形 结 合 思 想 和 分 类 讨 论 思 想 解 决 问 题 的 能 力 . )的 交

第二章





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( 1 ) 函 数 的 概 念 与 函 数 的 定 义 域 、 值 域 单 独 命 题 时 , 一 般 在 根 式 、 分 式 、 对 数 等 知 识 点 求 函 数 的 定 义 域 及 简 单 的 函 数 求 值 和 复 合 函 数 值 域 问 题 . ( 2 ) 函 数 性 质 主 要 是 单 调 性 、 奇 偶 性 的 考 查 , 有 时 也 涉 及

周 期 性 . 要 求 考 生 会 利 用 单 调 性 比 较 大 小 , 求 函 数 最 值 与 解 不 等 式 .

第二章





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新课标对函数的奇偶性要求降低了很多,故应重点掌握 其基本概念和奇偶函数图象的对称性. ( 3 ) 函数的图象主要考查:①几类基本初等函数的图象特 征;②函数的图象变换(平移变换、对称变换、伸缩变 换).考查的形式主要有:知式选图、知图选式、图象变换, 以及运用图象解题等.把识图、用图作为考查的重点,考查 学生用数形结合方法解决问题的能力,大题常在应用题中给 出图象据图象求解析式.

第二章





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2. 指 数 函 数 、 对 数 函 数 是 新 课 标 考 查 的 重 要 方 面 . 指 数函 数 主 要 题 型 有 : 指 数 函 数 的 图 象 与 性 质 、 幂 值 的 大 小 比 较 、 由 指 数 函 数 复 合 而 成 的 综 合 问 题 . 对 数 是 常 考 常 变 的 内 容 , 主 要 题 型 是 对 数 函 数 的 图 象 性 质 、 对 数 运 算 法 则 、 对 数 函 数 定 义 域 . 幂 函 数 新 课 标 要 求 较 低 , 只 要 掌 握 幂 函 数 的 概 念 、 图 象 与 简 单 性 质 , 仅 限 于 几 个 特 殊 的 幂 函 数 . 反 函 数 新 课 标 比 原 大 纲 要 求 有 较 大 幅 度 降 低 , 只 要 知 道 指 数 函 数 与 对 数 函 数 互 为 反 函 数 及 定 义 域 、 图 象 的 关 系 即 可 , 不 宜 过 分 延

第二章





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伸 . 因 此 命 题 会 主 要 集 中 在 指 数 、 对 数 的 运 算 性 质 , 指 、 对 函 数 的 图 象 与 性 质 及 数 值 大 小 比 较 等 问 题 上 , 与 数 形 结 合 、 分 类 讨 论 、 函 数 与 方 程 的 思 想 相 结 合 予 以 考 查 , 与 方 等 式 、 分 段 函 数 、 数 列 、 导 数 、 三 角 函 数 等 相 联 系 , 仍 将 是 命 题 的 重 点 . 程 、 不

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3.函数与方程、函数的应用主要考查: ( 1 ) 零点与方程实数解的关系. ( 2 ) 函数的概念、性质、图象的综合问题. ( 3 ) 导数与零点的结合;方程、不等式、数列与函数的综 合问题. ( 4 ) 函数与解析几何知识的综合问题. ( 5 ) 二次函数、三次函数、导数、零点的结合. ( 6 ) 实际应用问题.

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●备 考 指 南 1. 深 刻 理 解 函 数 的 概 念 , 准 确 把 握 常 见 基 本 初 等 函 数 的 图 象 与 性 质 , 以 及 以 这 些 基 本 函 数 为 材 料 构 建 的 含 绝 对 值 的 函 数 、 分 段 函 数 等 , 并 能 灵 活 运 用 这 些 知 识 去 分 析 、 有 关 问 题 . 2. 注 重 基 础 知 识 的 落 实 , 主 干 知 识 的 强 化 , 交 汇 知 识 的 梳 理 , 常 用 数 学 思 想 、 方 法 、 技 能 、 解 题 规 律 的 总 结 . 解 决

第二章





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重 点 训 练 :

①求 函 数 的 定 义 域 , 特 别 是 幂 、 指 、 对 、 一 ②求 函 数 的 值 (或 值 域 ), 特 别

次 、 二 次 、 三 角 的 复 合 问 题 ;

是 幂 、 指 、 对 、 一 次 、 二 次 与 分 段 函 数 、 函 数 的 奇 偶 、 周 期 结 合 的 题 目 ; ③指 数 函 数 、 对 数 函 数 的 图 象 、 性 质 与 分 类 讨 ④函 数 的 单 调 性 、 极

论 、 数 形 结 合 、 字 母 运 算 结 合 的 题 目 ; 值 与 导 数 结 合 的 题 目 ; 数 、 导 数 、 不 等 式 的 小 综 合 .

⑤函 数 、 导 数 、 数 列 的 小 综 合 , 函

第二章





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3. 针 对 函 数 实 际 应 用 题 、 探 索 性 问 题 、 代 数 推 理 问 题 以 及 与 其 他 知 识 交 汇 的 综 合 题 , 应 加 大 训 练 力 度 , 通 过 实 战 (或 图

训 练 , 达 到 培 养 数 学 能 力 的 目 的 . 给 出 一 个 背 景 问 题 象), 求 出 解 析 式 , 然 后 依 据 解 析 式 讨 论 有 关 性 质 的 问 题 应 重 点 训 练 .

第二章





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4.基本初等函数(Ⅰ)的复习,重点掌握指数幂的运算法 则,对数的定义、性质与运算法则及对数恒等式、换底公 式,指数函数的图象与性质,加强指对函数单调性与比较大 小,奇偶性与图象对称特征,图象过定点,单调性应用,对 数函数定义域,互为反函数的两个函数图象、定义域、值域 的关系及与二次函数、分式、指数复合的训练,加强客观题 训练,难度不宜过大,适度进行综合训练.加强数形结合思 想的训练.

第二章





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5. 函 数 应 用 的 复 习 , 应 深 刻 理 解 方 程 的 根 与 函 数 零 点 的 关 系 , 掌 握 二 分 法 求 方 程 近 似 解 的 方 法 , 进 一 步 培 养 数 形 结 合 及 运 用 函 数 、 方 程 的 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力 . 加 强 对 实 际 问 题 的 理 解 , 掌 握 建 立 数 学 模 型 的 基 本 方 法 . 注 意 归 纳 掌 握 常 见 实 际 问 题 的 数 学 模 型 .

第二章





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第二章
第一节 函 数 及 其 表 示

第二章





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基础梳理导学

3

规范答题样板

高频考点通关

4

课后强化作业

第二章

第一节

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基础梳理导学

第二章

第一节

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夯 实 基 础 1.映 射

稳 固 根 基

( 1 ) 映 射 的 概 念 : 设 法 则 f, 对 于 集 合

A、B是 两 个 集 合 , 如 果 按 照 某 种 对 应 B中 都 有 A到

A中 的 ________一 个 元 素 , 在 集 合

________的 元 素 与 它 对 应 , 这 样 的 对 应 关 系 叫 做 从 集 合 集 合 B的 映 射 , 记 作 f:A→B.

第二章

第一节

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( 2 ) 象 和 原 象 : 给 定 一 个 集 合 B, 如 果 元 素

A到B的 映 射 , 且

a∈A,b∈

a和 元 素 b对 应 , 那 么 我 们 把 元 素

b叫 做 元 素 a的

______, 元 素 a叫 做 元 素 b的________.

第二章

第一节

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2.函数 ( 1 ) 定义:设A、B是 非 空 的 数 集 , 如 果 按 照 某 种 确 定 的 对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯 一确定的数f(x)和 它 对 应 , 那 么 就 称 的一个函数,记作y=f(x),x∈A. 从映射的角度看,函数是由一个_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的映射. ( 2 ) 函数的表示法有:_ _ _ _ _ _ _ _ 、_ _ _ _ _ _ _ _ 、_ _ _ _ _ _ _ _ . 到另一个 f:A→B为集合A到集合B

第二章

第一节

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3.函 数 的 定 义 域 及 其 求 法 ( 1 ) 根 据 函 数 解 析 式 求 函 数 定 义 域 的 依 据 有 : 母 不 得 为 _____;②偶 次 方 根 的 被 开 方 数 不 得 小 于 对 数 函 数 的 真 数 必 须 大 于 ①分 式 的 分 _____;③

______;④指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 y=a tn x

底 数 必 须 ______________;⑤三 角 函 数 中 的 正 切 函 数 定 义 域 为
? ? ? ?x?x∈R, 且 ? ? ? ? ? π x≠kπ+ ,k∈Z ?. 2 ? ?

第二章

第一节

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( 2 ) 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域,是指 满足________的x的取值范围;已知f[g(x)]的定义域是[a, b],求f(x)的定义域,是指在x∈________的条件下,求g(x)的 值域. (3)实际问题或几何问题给出的函数的定义域:这类问题 除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑使实际问题或几何 问题有意义. (4)如果函数是由几个部分的数学式子构成的,那么函数 的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.
第二章 第一节

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( 5 ) 求 定 义 域 的 一 般 步 骤 : ①写 出 函 数 式 有 意 义 的 不 等 式 ②解 不 等 式 (组); ③写 出 函 数 的 定 义 域 . (组);

第二章

第一节

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4.函数的值域 ( 1 ) 确定函数值域的原则 ①当函数y=f(x)用 表 格 给 出 时 , 函 数 的 值 域 是 指 表 格 中 的值的集合. ②当函数y=f(x)用 图 象 给 出 时 , 函 数 的 值 域 是 指 图 象 在 轴上的投影对应的y的值的集合. ③当函数y=f(x)用 解 析 式 给 出 时 , 函 数 的 值 域 由 函 数 的 定义域及其对应法则唯一确定. y y

第二章

第一节

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④当 函 数 由 实 际 问 题 给 出 时 , 函 数 的 值 域 应 结 合 问 题 的 实 际 意 义 确 定 . ( 2 ) 基 本 初 等 函 数 的 值 域 ①y=kx+b(k≠0)的 值 域 为 R. ②y=ax2+bx+c(a≠0)的 值 域 是 : 当
?4ac-b2 ? , + ? 4a ? ? ? 当 ∞?; ?

a>0时 , 值 域 为

a<0时 , 值 域 为

2? ? 4 ac - b ? ? -∞, ? ?. 4 a ? ?

第二章

第一节

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k ③y= (k≠0)的 值 域 是 {y|y∈R且y≠0}. x ④y=ax(a>0, 且 a≠1,x∈R)的 值 域 是 (0, + ∞). ⑤y=o lg ax(a>0, 且 a≠1,x> 0 ) 的 值 域 是 R. ⑥y=s n i x,y=c o s x,y=a tn x的 值 域 分 别 为 1,1],R. [-1,1],[-

第二章

第一节

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[答 案]

1 ( 1 .)

任 何

唯 一 确 定 非 空 数 集

( 2 ) 象 原 象 ( 2 ) 解 析 法 列 表 法 图 象

2.( 1 ) 非 空 数 集 法 3.( 1 ) 0 b]

0 0 大 于 0且 不 等 于 1 ( 2 ) a≤g(x)≤b [a,

第二章

第一节

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考 点 自 测 1.( 2 0 1 3 · ( ) A.( 0 1 ,) C.( 0 1 ,]

把 脉 弱 点 江 西 理 , 2)函 数 y= x n l( 1 -x)的 定 义 域 为

B.[ 0 1 ,) D.[ 0 1 ,]

[答案] B

第二章

第一节

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[解 析]

要 使 函 数 有 意 义 , 应 有

? ?x≥0 ? ? ?1-x>0



∴0≤x< 1 . 故 选 B.

第二章

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2.( 2 0 1 2 · f(f( 1 0 ) =( A.g l1 0 1 C.1
[答案]

江 西 理 , 3)若 函 数 f(x)= ) B.2 D.0
B

2 ? ?x +1,x≤1 ? ? ?lgx,x>1

, 则

[解析]

∵f(10)=lg10=1,∴f(f(10))=f(1)=12+1=2.

第二章

第一节

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3.( 2 0 1 3 ·

大 纲 全 国 理 ,

4)已 知 函 数 f(x)的 定 义 域 为 ( )

(-

1,0), 则 函 数 f(2x+1)的 定 义 域 为 A.(-1 1 ,) C.(-1 0 ,)

1 B.(-1, - ) 2 1 D.(2,1)

[答案] B

第二章

第一节

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[解 析]

由 题 意 知 -

1 1 < 2 x+1 < 0 , 则 - 1<x<- .故 选 B. 2

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4.( 2 0 1 2 ·

江 苏 , 10)设f(x)是 定 义 在 R上 且 周 期 为

2的 函

数 , 在 区 间

- 1≤x<0, ?ax+1, ? [-1 1 ,] 上 , f(x)= ?bx+2 ? x+1 ,0≤x≤1, ?

其 中 a、b

1 3 ∈R, 若 f(2)=f(2), 则 a+3b的 值 为 ________.

[答案] -10

第二章

第一节

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[解 析] 法 .

本 题 考 查 函 数 的 周 期 性 知 识 及 化 归 转 化 思 想 方

3 3 1 ∵f(x)的 周 期 为 2, 则 f(2)=f(2-2)=f(-2), 1 1 ∴f(-2)=f(2), 代 入 可 得 3a+2b= - 2.

同 理 f(-1)=f(-1+2)=f( 1 ) , 化 简 得 b= - 2a, 两 式 联 立 解 得 a=2,b= - 4,

∴a+3b=2+3×(-4)= - 10.

第二章

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疑 难 误 区

点 拨 警 示

1. 判 断 两 个 函 数 是 否 为 相 等 函 数 , 关 键 看 定 义 域 和 对 应 法 则 是 否 都 相 同 . 2. 复 合 函 数 求 定 义 域 时 , 因 不 能 深 刻 理 解 函 数 定 义 域 的 意 义 而 致 误 , 常 见 的 是 把 已 知 域 与 已 知 f[g(x)]的 定 义 域 求 f(x)的 定 义 域 求 f(x)的 定 义 域 混 淆 . f[g(x)]的 定 义

第二章

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3. 解 题 过 程 中 不 要 忽 视 定 义 域 的 限 制 作 用 致 误 , 不 要 忽 视 实 际 问 题 的 实 际 意 义 的 限 制 作 用 . 4. 换 元 法 求 解 析 式 或 函 数 值 域 , 换 元 后 易 漏 掉 考 虑 新 元 的 取 值 范 围 . 5. 判 别 式 法 求 值 域 对 端 点 要 进 行 检 验 . 6. 利 用 均 值 不 等 式 求 值 域 时 , 要 注 意 必 须 满 足 已 知 条 件 和 不 等 式 一 端 是 常 数 , 等 号 能 成 立 , 还 要 注 意 符 号 .

第二章

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7. 熟 练 掌 握 求 函 数 值 域 的 几 种 常 用 方 法 , 要 注 意 这 些 方 法 分 别 适 用 于 哪 些 类 型 的 函 数 . 如 求 函 数 y=x+ 1-x 与y=x+ 1-x2 的 值 域 , 虽 然 形

式 上 接 近 但 采 用 的 方 法 却 不 同 . 8. 分 段 函 数 求 值 或 解 不 等 式 时 , 一 定 要 先 区 分 自 变 量 在 哪 一 段 区 间 上 取 值 .

第二章

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高频考点通关

第二章

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映射与函数的概念

下 列 各 组 中 的 两 个 函 数 是 相 等 函 数 的 是 A.f(x)=lgx+g l( x-1),g(x)=g l[ x(x-1 ) ] 1-x2 1-x2 B.f(x)= ,g(x)= x |x+2|-2 C.y=f(x)与y=f(x+1 ) D.f(x)=|x|+|x-1|,g(x)=2x-1

(

)

[答案] B

第二章

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[解 析]

A中 , 由

? ?x>1 ? ? > 0 ?x-1

得x>1,∴f(x)定 义 域 为

{x|x> 1 } ; 由 x(x-1 ) > 0 得x<0或x>1,∴g(x)定 义 域 为 {x|x<0或 x> 1 } ,∴f(x)与g(x)定 义 域 不 同 , 不 是 相 等 函 数 ; B中 , 由
2 ? ?1-x ≥0 ? ? ?|x+2|-2≠0

? ?-1≤x≤1 得? ? ?x≠0且x≠-4



第二章

第一节

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∴-1≤x<0或0<x≤1,∴x+2 > 0 . 1-x2 1-x2 1-x2 ∴f(x)= = = x ,f(x)与g(x)定 义 |x+2|-2 ?x+2?-2 域 、 对 应 法 则 相 同 , 故 为 相 等 函 数 ; C值 域 相 同 , 但 定 义 域 未 必 相 同 , 且 对 应 法 则 不 同 , +1)的 图 象 可 由 f(x)图 象 向 左 平 移 一 个 单 位 得 到 , 因 此 C也 排 除 ; f(x f(x)与

f(x+1)的 图 象 不 重 合 , 故

第二章

第一节

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?2x-1 x>1, ? D中 , f(x)= ?1 0 ≤x≤1, ?1-2x x<0, ? 等 函 数 .

显 然 与 g(x)=2x-1不 是 相

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[方法规律总结] 的方法

1 .判 断 两 个 变 量 之 间 是 否 存 在 函 数 关 系

( 1 ) 定义域和对应关系是否给出;( 2 ) 根据给出的对应关 系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能找到唯一 的函数值y与之对应. 2.判断两个函数是否为同一个函数的方法 判断两个函数是否相同,要先看定义域是否一致,若定 义域一致,再看对应法则是否一致,由此即可判断.

第二章

第一节

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(文)下 列 四 组 函 数 中 , 是 相 同 函 数 的 是 A.y=x-1与y= ?x-1?2 x-1 B.y= x-1与y= x-1 C.y=4 g l x与y=2 g l x2 x D.y=lgx-2与y=lg100

(

)

[答案] D

第二章

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[解 析]

y=

?x-1?2 =|x-1|与y=x-1的 对 应 法 则 不 x-1 1, 但 y= 的 定 义 域 中 x-1

同 ; y= x-1 的 定 义 域 中 可 以 有

无1;y=4 g l x中x>0, 但 y=2 g l x2中 的 x≠0, 故 A、B、C中 的 两 函 数 都 不 是 相 同 函 数 ; D中 , 定 义 域 相 同 , 都 是 x>0, 由y

x =lg 100 =lgx-2知 , 对 应 法 则 也 相 同 . 因 此 两 函 数 是 相 同 函 数 .

第二章

第一节

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(理)已 知 函 数 f(x)、g(x)分 别 由 下 表 给 出

则f[g( 1 ) ] 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ ________.

; 满 足 f[g(x) ] > g[f(x)]的x的 值 是

[答案] 1

2

第二章

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[解析] f[g( 1 ) ] =f( 3 ) =1. x f[g(x)] g[f(x)] 故f[g(x) ] > g[f(x)]的解为x=2. 1 1 2 2 3 1 3 2 3

第二章

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[点 评]

列 表 法 给 出 的 函 数 , 其 对 应 关 系 一 目 了 然 , 由

表 格 可 见 f( 1 ) =3,f( 3 ) =1,g( 2 ) =1等 等.

第二章

第一节

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函数的定义域

( 2 0 1 2 · 定 义 域 为 ( )

1 山 东 文 , 3 )函 数 f(x)= + 4-x2 的 ln?x+1?

A.[-2 0 ,) ∪( 0 2 ,] C.[-2 2 ,]

B.(-1 0 ,) ∪( 0 2 ,] D.(-1 2 ,]

[答案] B

第二章

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[解 析]

本 题 考 查 函 数 定 义 域 求 法 . > 0 , ?x+1 ? ?x+1≠1, ?4-x2≥0. ?

要 使 f(x)有 意 义 , 须

?x>-1, ? 即?x≠0, ?-2≤x≤2. ? ∴-1<x<0或0<x≤2.

第二章

第一节

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[方 法 规 律 总 结

]

函 数 的 定 义 域 是 使 函 数 有 意 义 的 自 变

量x的 取 值 范 围 , 给 出 解 析 式 , 求 定 义 域 时 , 一 般 应 从 基 本 初 等 函 数 对 自 变 量 的 限 制 条 件 入 手 解 决 . ( 1 ) 已 知 函 数 的 解 析 式 , 则 构 造 使 解 析 式 有 意 义 的 不 等 式 (组)求 解 . ( 2 ) 对 实 际 问 题 : 由 实 际 意 义 及 使 解 析 式 有 意 义 构 成 的 不 等 式 (组)求 解 .

第二章

第一节

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( 3 ) 对 抽 象 函 数 : ①若 已 知 函 数 的 定 义 域 由 不 等 式 ②若 已 知 函 数 f(x)的 定 义 域 为 [a,b], 则 复 合 函 数 f(g(x))

a≤g(x)≤b求 出 . f(g(x))的 定 义 域 为 [a,b], 则 f(x)的 定 义 域

为g(x)在x∈[a,b]时 的 值 域 .

第二章

第一节

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1 (文)若f(x)= , 则 f(x)的 定 义 域 为 o lg 1 2x+1
2

(

)

1 A.(-2,0 ) 1 C.(- , + ∞) 2

1 B.(-2,0] D.(0, + ∞)

[答案] A

第二章

第一节

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[解 析]

要 使 函 数 f(x)有 意 义 , 应 有 , 1 解 得 - <x<0, 2

o lg

1 2

(2x+1 ) > 0 ,

? > 0 ?2x+1 ∴? ? < 1 . ?2x+1

故 函 数 的 定 义 域 为

1 (-2,0), 故 选 A.

第二章

第一节

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(理) ( 2 0 1 3 · ( ) A.{x|x> 0 }

南 昌 模 拟 )函数y=

1 x?x-1? -lg 的 定 义 域 为 x

B.{x|x≥0} D.{x0 |< x≤1}

C.{x|x≥1, 或 x< 0 }

[答案] B

第二章

第一节

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[解 析]

要 使 函 数 有 意 义 , 应 满 足

x?x-1?≥0, ? ? ? ?x≤0或x≥1, ?1 ∴? ? >0, ?x>0, ? ?x ∴x≥1, 故 选 B.

第二章

第一节

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函数值与函数值域

(文) ( 2 0 1 3 · [a,b]上 的 值 域 为

1 温 州 模 拟 )若 函 数 f(x)= 在 区 间 x-1

1 [ ,1 ], 则 a+b=_ _ _ _ _ _ _ _ . 3

[答案] 6

第二章

第一节

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[解析]

由 条 件 知 ,

a>1或b<1,

当a>1时,f(x)在[a,b]上单调递减, ? ? 1 =1, ?a-1 ∴? ? 1 =1, ? ?b-1 3
? ?a=2, ∴? ? ?b=4,

当b<1时,f(x)在[a,b]上单调递减,
? ?a=2, 同样可得? ? ?b=4,

与b<1矛盾.

综上知,a+b=6 .
第二章 第一节

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(理) ( 2 0 12· 北 京 西 城 阶 段 测 试 b为 常 数 , 且

)已 知 函 数 f(x)=ax2+bx(a、

a≠0)满 足 条 件 f(1-x)=f(1+x), 且 函 数 g(x)=f(x)

-x只 有 一 个 零 点 . ( 1 ) 求 函 数 f(x)的 解 析 式 ; ( 2 ) 求 实 数 m、n(m<n), 使 得 f(x)的 定 义 域 为 的 取 值 范 围 是 [3m,3n]. [m,n]时 , f(x)

第二章

第一节

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[解 析] f(1+x),

( 1 ) 因 为 二 次 函 数

f(x)=ax2+bx满 足 条 件 f(1-x)=

所 以 函 数 f(x)的 图 象 的 对 称 轴 是 直 线 b 所 以 -2a=1,即b= - 2a. 因 为 函 数 g(x)=f(x)-x只 有 一 个 零 点 . 即ax2-(2a+1)x=0有 两 个 相 等 的 实 根 ,

x=1,

第二章

第一节

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所 以 Δ=(2a+1)2=0, 1 即a= - 2, 所 以 b=1, 1 2 所 以 f(x)= - 2x +x. ( 2 ) ①当m<n<1时 , f(x)在[m,n]上 单 调 递 增 , f(n)=3n, 所 以 m、n是 方 程 - =0. 1 2 两 根 , 解 得 2 x +x=3x的 m= - 4,n f(m)=3m,

第二章

第一节

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1 1 ②当m≤1≤n时 , 3n= , 解 得 n= , 不 符 合 题 意 . 2 6 ③当1<m<n时 , f(x)在[m,n]上单 调 递 减 , 所 以 3n,f(n)=3m. 1 2 1 2 即 - 2m +m=3n, - 2n +n=3m. 两 式 相 减 得 - 1 2 (m -n2)+(m-n)=3(n-m). 2 f(m)=

第二章

第一节

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1 因 为 m≠n, 所 以 - (m+n)+1= - 3, 所 以 m+n=8. 2 1 2 将n=8-m代 入 - 2m +m=3n, 1 2 得 - 2m +m=3 ( 8 -m). 但 此 方 程 无 解 . 所 以 m= - 4,n=0时 , f(x)的 定 义 域 和 值 域 分 别 是 和[3m,3n]. [m,n]

第二章

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[方法规律总结]

求 函 数 值 域 的 常 用 方 法

求函数的值域是高中数学的难点,它没有固定的方法和 模式.常用的方法有: ①直接法——从自变量x的范围出发,通过观察和代数 运算推出y=f(x)的 取 值 范 围 . ②配方法——配方法是求“二次型函数”值域的基本方 法,形如F(x)=a f 用配方法.
2

(x)+b f (x)+c的 函 数 的 值 域 问 题 , 均 可 使

第二章

第一节

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③判 别 式 法 — —把 函 数 转 化 成 关 于 =0, 通 过 方 程 有 实 根 , 判 别 式

x的 二 次 方 程

F(x,y)

Δ≥0, 从 而 求 得 原 函 数 的 值 )的 函 数 的 值 域 常

a1x2+b1x+c1 域 . 形 如 y= 2 (a ,a2不 同 时 为 零 a2x +b2x+c2 1 用 此 法 求 解 . 前 提 条 件 : 函 数 的 定 义 域 应 为 式 .

R; 分 子 、 分 母 没 有 公 因

第二章

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④换 元 法 — —运 用 代 数 或 三 角 代 换 , 将 所 给 函 数 化 成 值 域 容 易 确 定 的 另 一 函 数 , 从 而 求 得 原 函 数 的 值 域 . 例 如 : 形 如y=ax+b± cx+d (a、b、c、d均 为 常 数 , 且 常 用 此 法 求 解 . ⑤不 等 式 法 — —利 用 基 本 不 等 式 :


ac≠0)的 函 数

a+b≥2 ab (a、b∈R

)求 函 数 的 值 域 . 用 不 等 式 法 求 值 域 时 , 要 注 意 均 值 不 等 式 “一 正 、 二 定 、 三 相 等 ”.

的 使 用 条 件

第二章

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⑥单 调 性 法 — —根 据 函 数 在 定 义 域 上 的 单 调 性 求 出 函 数 的 值 域 .

(或 定 义 域 的 某 个 子

集)

⑦求 导 法 — —当 一 个 函 数 在 定 义 域 上 可 导 时 , 可 根 据 其 导 数 求 最 值 确 定 值 域 . ⑧数 形 结 合 法 — —当 一 个 函 数 图 象 可 作 时 , 通 过 图 象 可

求 其 值 域 和 最 值 ; 或 利 用 函 数 所 表 示 的 几 何 意 义 , 借 助 于 几 何 方 法 求 出 函 数 的 值 域 .

第二章

第一节

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⑨反 函 数 法 — —利 用 函 数 和 它 的 反 函 数 的 定 义 域 与 值 域 的 关 系 , 通 过 求 反 函 数 的 定 义 域 , 得 到 原 函 数 的 值 域 . 形 如 cx+d y= (a≠0)的 函 数 的 值 域 , 均 可 使 用 反 函 数 法 . 此 外 , ax+b 这 种 类 型 的 函 数 值 域 也 可 使 用 “分 离 常 数 法 ”求 解 .

第二章

第一节

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(文) ( 2 0 1 3 ·

天 津 一 模 )函数f(x)=o lg 2(3x+1)的 值 域 为 ( B.[0, + ∞) D.[1, + ∞)

)

A.(0, + ∞) C.(1, + ∞)

[答案] A

第二章

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[解 析]

3x>0?3x+1 > 1 ?o lg 2(3x+1 ) > o lg

选 21=0,

A.

第二章

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(理) ( 2 0 1 3 ·

厦 门 模 拟 )定 义 新 运 算

“⊕”: 当 a≥b时 , a⊕

b=a; 当 a<b时 , a⊕b=b2.设 函 数 f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈ [-2,2], 则 函 数 (x)的 值 域 为 ________.
[答案] [-4 6 ,]

第二章

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[解 析] 2, 当 x∈( 1 2 ,]

由 题 意 知 , 当

x∈[-2, - 1]时 , 1⊕x=1,2⊕x=

时 , 1⊕x=x2,2⊕x=2, x∈[-2,1], x∈?1,2 ] . 时 , f(x)∈

? ?x-2, ∴f(x)=? 3 ? ?x -2,

当x∈[-2,1]时 , f(x)∈[-4, - 1]; 当 x∈( 1 2 ,] (-1,6], 故 当 x∈[-2 2 ,] 时 , f(x)∈[-4 6 ,] .

第二章

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函数的图象

某 学 生 从 家 里 去 学 校 上 学 , 骑 自 行 车 一 段 时 间 , 因 自 行 车 爆 胎 , 后 来 推 车 步 行 , 下 图 中 横 轴 表 示 出 发 后 的 时 间 , 纵 轴 表 示 该 生 离 学 校 的 距 离 , 则 较 符 合 该 学 生 走 法 的 是( )

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[答案] D

第二章

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[解 析]

学 生 从 家 里 去 学 校 , 肯 定 是 离 学 校 越 来 越 近 ,

所 以 排 除 A、C, 先 骑 车 , 后 因 车 爆 胎 推 车 步 行 , 故 速 度 先 快 后 慢 , 则 图 象 先 要 陡 一 些 , 后 平 缓 一 些 , 故 选 D.

第二章

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[方 法 规 律 总 结

]

1.识 读 函 数 的 图 象 可 从 以 下 几 方 面 着 交 点 , 最 高 (低)

手 : 单 调 性 , 图 象 的 对 称 特 征 , 与 坐 标 轴 的 点 , 增 大 (减 小 )的 快 慢 等 . 2. 画 函 数 图 象 的 方 法 : 用 基 本 函 数 的 图 象 作 平 移 、 对 换 等 变 换

(一)描 点 法 . (二)图 象 变 换 法 ).

(利

第二章

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(文)函 数 f(x)=1-|x-x2|的 图 象 大 致 是 下 图 中 的

(

)

[答案] C

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[解 析]

将 函 数 写 成 分 段 函 数 可 得

f(x)=1-|x-x2|= 所 以 根 据 二 次 函 数 的 特 点 知

2 ? ?-x +x+1,?x<0或x>1?, ? 2 ? ?x -x+1,?0≤x≤1?,

道 , 当 x<0或x>1, 取 开 口 向 下 的 抛 物 线 的 部 分 , 为 实 线 ; 当 0≤x≤1时 , 取 开 口 向 上 的 抛 物 线 部 分 , 为 实 线 , 故 选 C.

第二章

第一节

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(理) ( 2 0 1 2 ·

湖 北 文 , 6)已 知 定 义 在 区 间

[ 0 2 ,]

上 的 函 数 y= )

f(x)的 图 象 如 图 所 示 , 则

y= - f(2-x)的 图 象 为 (

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[答案] B

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[解 析]

利 用 特 殊 点 可 确 定 其 图 象 ,

∵f( 1 ) =1,f( 2 ) =

1,∴x=0时 , y= - f(2-0)= - f( 2 ) = - 1, 即 y= - f(2-x)的 图 象 过 点 (0, - 1), 排 除 A,D; 又 当 x=1时,y= - f(2-1) = - f( 1 ) = - 1,∴y=-f(2-x)的 图 象 过 点 C; 故 选 B. (1, - 1), 排 除

第二章

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破 解 难 点 分段函数
? ?f?x+3??x<6?, ? ? lg 2x ?x≥6?. ?o

(文)若f(x)= ( ) A.1 B.2

则f(-1 )的 值 为

C .3

D.4

[答案] C

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[分 析]

依 据 分 段 函 数 的 定 义 , 当

x<6时 , f(x)=f(x+ f(-1).

3), 当 x≥6时 , f(x)=o lg 2x, 依 次 递 推 可 求 出

[解析]

f(-1)=f( 2 ) =f( 5 ) =f( 8 ) =o lg 28=3,选C.

第二章

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(理) ( 2 0 1 3 ·
? ?x-1,x>0, ? ? 0 . ?2-x,x<

上 海 徐 汇 一 模

)已 知 f(x)=x2-1,g(x)=

( 1 ) 求f(g( 2 ) 与g(f( 2 ) 的 值 ; ( 2 ) 求f(g(x))与g(f(x))的 表 达 式 .

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[解 析]

( 1 ) g( 2 ) =1,f(g( 2 ) =f( 1 ) =0;

f( 2 ) =3,g(f( 2 ) =g( 3 ) =2. ( 2 ) 当x>0时 , f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x; 当x<0时 , f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3. 所 以
2 ? ?x -2x,x>0, f(g(x))=? 2 ? 0 . ?x -4x+3,x< 2 ? ?x -2,x<-1或x>1, g(f(x))=? 2 ? - 1<x< 1 . ?3-x ,

同 理 可 得

第二章

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[方法规律总结]

1 .分 段 函 数 求 值 时 , 应 先 判 断 自 变 量 在

哪一段内,然后代入相应的解析式求解.若给定函数值求自 变量,应根据函数每一段的解析式分别求解,并注意检验该 自变量的值是否在允许值范围内,有时也可以先由函数值判 断自变量的可能取值范围,再列方程或不等式求解. 2.分段函数是一个函数,值域是各段函数取值范围的 并集. 3.分段函数解不等式应分段求解.

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(文)已 知 函 数 A.3 2 1 C.2

x ? ?2 f(x)=? ? ?f?x-3?

x≤0, 则f( 5 ) =( x> 0 .

)

B.16 1 D.32

[答案] C

第二章

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[解 析]

1 由 已 知 得 f( 5 ) =f ( 2 ) =f(-1)=2 = , 故 应 选 C. 2
-1

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?2x,x<2, ? (理)设 函 数 f(x)= ? 2x ,x≥2, ? x + 3 ? 范 围 是 ________.

若f(x0) > 1 , 则 x0的 取 值

[答案]

( 0 2 ,)

∪(3,+∞)
?x0≥2, ? 或? 2x0 >1. ? x + 3 ? 0

[解析]

? ?x0<2, 依题意得? ? ?2x0>1,

解得0<x0<2或x0>3.

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规范答题样板

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设 函 数 f(x)=

2 ? ?x +bx+c ? ? ?2 ?x>0?.

?x≤0?,

若f(-2)=

f( 0 ) ,f(-1)= - 3, 求 关 于 x的 方 程 f(x)=x的 解 . [审 题 要 点 ] 这 是 一 个 分 段 函 数 , 应 先 判 断 自 变 量 的 取 值 范 围 再 代 入 相 应 解 析 式 求 值 , 由 可 得 到 b,c的 方 程 组 , 求 解 x求 解 . f(-2)=f( 0 ) 及f(-1)= -3 b、c的 值 , 再 分 段 列 出 方 程 f(x)=

第二章

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[规 范 解 答 ] 第 一 步 , 由 条 件 求

b,c的 值 .

当x≤0时,f(x)=x2+bx+c, 因 为 f(-2)=f( 0 ) ,f(-1)= -3,
2 ? ? - 2 ? -2b+c=c ? ∴? 2 ? ? - 1 ? -b+c= -3 ? 2 ? ?x +2x-2 ∴f(x)=? ? ?2 ?x>0?,

, 解 得

? ?b=2, ? ? - 2, ?c=

?x≤0?,

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第 二 步 , 由

f(x)=x分 段 列 方 程 , 解 方 程 .

当x≤0时 , 由 f(x)=x得,x2+2x-2=x, 得x= - 2或x=1.由x=1 > 0 , 所 以 舍 去 . 当x>0时 , 由 f(x)=x得x=2, 所 以 方 程 f(x)=x的 解 为 - 2、2.

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[失 误 与 防 范

] 准 确 理 解 分 段 函 数 的 意 义 : f(x)=x应 先 根 据 x的 取 值 范 围 进 行 转

关 于 分 段 函 数 的 方 程 化 . 本 题 中 将

f(x)=x直 接 化 为 x2+bx+c=x是 常 见 错 误 .

第二章

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