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不等式问题的应用


安徽理工大学毕业论文

本科毕业论文
不等式问题的应用 THE APPLICATION OF INEQUALITY PROBLEM

学院(部) : 专业班级: 学生姓名: 指导教师:

理学院 应数 11-2 李 兵

张丽丽

2015

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5



24



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不等式问题的应用 摘要

不等式在数学的所有领域里都有着极其重要的影响, 而且一部分常用的不等式在我 们解决生活和学习中遇到的数学问题时发挥着积极的作用。不等式这块的知识点,与数 学的其他知识点都有着密切的联系,在我们的生活和学习里都有着十分普遍的应用。 本文归纳总结了多种处理不等式问题的典型方法, 如数学中重要的证明方法数学归 纳法和反证法,在解题中经常用到的换元和三角代换,解决不等式问题的基本方法(分 析法、综合法、放缩法等) 。 文章概述总结了基本不等式、柯西不等式、算术-几何平均值不等式、伯努利不等 式和排序不等式这几种常见的不等式,并通过一些例子体现他们在数学中的应用。

关键词:不等式解决方法,柯西不等式,算术-几何平均值不等式,伯努利 不等式,排序不等式

I

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THE APPLICATION OF INEQUALITY PROBLEM

ABSTRACT

As we all know, inequality plays a key role in various areas of mathematics many years ago. Some common inequalities give many better ways in solving the problems which we faced in our study and life. The theory of inequalities has a very wide range of applications penetrating in various branches of mathematics. This paper summarized several typical method of dealing with inequality, such as important mathematics proof method of mathematical induction and reduction to absurdity, often used in solving the problems in the change of variable and trigonometric substitution, the basic method to solve the problem of inequality (analysis, synthesis, zooming, etc.). The article summarizes several common inequalities ﹣ fundamental inequality,Cauchyine uality,Geometric mean and Arithmetic mean inequality,Bernoulli inequality,permutation inequality,and reflects their application through some examples.

KEYWORDS:the solution to inequality,fundamental inequality, Cauchy
inequality,Geometric mean and Arithmetic mean inequality, Bernoulli inequality ,permutation inequality,

II

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目录
摘要(中文) ................................................................ I 摘要(英文) ............................................................... II 1 绪论 .................................................................... 1 1.1 引言 ................................................................ 1 1.2 不等式问题的背景和历史 .............................................. 1 1.3 不等式问题的意义 .................................................... 2 2 不等式问题的一些典型方法 ................................................ 2 2.1 分析法 .............................................................. 2 2.2 综合法 .............................................................. 2 2.3 反证法 .............................................................. 2 2.4 迭合法 .............................................................. 3 2.5 放缩法 .............................................................. 3 2.6 数学归纳法 .......................................................... 4 2.7 换元法 .............................................................. 4 2.8 三角代换法 .......................................................... 4 2.9 判别式法 ............................................................ 5 2.10 等式法 ............................................................. 5 2.11 分解法 ............................................................. 5 2.12 构造法 ............................................................. 6 2.13 排序法 ............................................................. 6 2.14 借助几何法 ......................................................... 6 3 不等式问题的应用 ........................................................ 7 3.1 基本不等式的应用 .................................................... 7 3. 2 柯西不等式的应用 ................................................... 8 3. 3 算术-几何平均值不等式 ............................................. 11 3. 4 伯努利不等式 ...................................................... 12 3. 5 排序不等式 ........................................................ 13 结论 ..................................................................... 16 参考文献 ................................................................. 17 致谢 ..................................................................... 19

III

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1 绪论
1.1 引言 不等式问题一出现就得到了学者的密切关注,关于不等式问题的探索也是持续不 断。在数学发展的历史上就有很多数学家就不等式问题及其相关方面做出了卓越贡献, 比 如 李 岳 生 先 生 在 1960 年 最 早 给 出 了 Bihar 积 分 不 等 式 的 推 广 ; 柯 西 提 出的 Cauchy-Schwarz 不等式; 丹尼尔﹒伯努利等学者也对不等式问题理论的发展和推广做出 了重要的贡献。 大家都知道不等式在数学的所有领域里都有着极其重要的影响, 而且一部分常用的 不等式在我们解决生活和学习中遇到的数学问题时发挥着积极的作用。 所以不等式问题 的应用具有一定的综合性、多变性、多样性,在数学各个部分知识点相辅相成中发挥着 重大的作用。在我们解决问题的过程中,要学会跟据命题与结果的结构特点、潜在联系 来挑选恰合适的处理方法,最终把其归结为不等式问题的求解与求证。不等式问题的应 用普遍分布,自始至终穿插在在整个数学之中。 1.2 不等式问题的背景和历史 欧洲国家最开始探索数学不等式,特别是原南斯拉夫国家有一个较大规模的团体。 现在,全世界都有学者在研究不等式。 在数学不等式发展历史上有两个重要意义转折点,他们是:切比雪夫在 1882 年发 表的论文和哈代在 1928 年做的演讲;Hardy,Littlewood 和 Plya 的著作 Inequalities 的前言中对不等式的哲学 (philosophy) 给出了有见地的见解 : 通常来说初等的不等 式理应有初等的证明,并且还要给出等号成立的条件。A.M.Fink 觉得,大家应该尽可能 地去概述和求证不能推广的不等式。Hardy 认为, 基本的不等式是初等的。自从著名数 学家 G.H.Hardy , J.E. Littlewood 和 G.Plya 的著作 Inequalities 由 Cambridge University Press 于 1934 年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为数学领域里的新星, 自此不等式不再是人们印象中零零散散的、单独的公式组合, 它俨然已经演变成为一门系统的数学学科。 从 20 世纪 70 年代开始,每过四年在德国都会召开一次国际性的学术会议,专门 讨论一般不等式,并且随后还会发行专门的会议论文专题。2000 年在意大利召开的第 三届世界非线性分析学家大会 (“The Third World Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )把不等式理论作为大会的主要论题之一。不等式理论也是 2000 年和 2001 年 在 韩 国 召 开 的 第 六 届 和 第 七 届 非 线 性 泛 函 分 析 和 应 用 国 际 会 议 ( International Conference on Nonlinear Functional Analysis and Applications)
1

安徽理工大学毕业论文 与 2000 年在我国大连理工大学召开的 ISAAC 的重要会议话题。 数学发展史里,华人数学家对不等式的发展有着很大的推进作用 ,有华罗庚、林东 坡、徐利治。近些年我国有很多数学家坚持不懈地研究国际数学不等式理论及其应用, 他们在一些领域有独到的见解,受到了国内、国外同行的关注以及深思。 1.3 不等式问题的意义 不等式是一种反映实际生活中的不等关系的模型,渗透在其他知识点中,在关于量 的范围和最值的内容中出现地很频繁。 部分常用的不等式在我们解决生活和学习中遇到 的数学问题时发挥着积极的作用,因此,掌握不等式具有非常重要的意义。

2 不等式问题的一些典型方法
2.1 分析法 以需证的结论为起点逐步地推演, 得出已经知道的条件,其中的每一个步骤都必须 是可逆的。 例 2.1 求证: 5 ? 7 ? 1 ? 15 .

证明 想证 5 ? 7 ? 1 ? 15 ,只要证 12 ? 2 35 ? 16 ? 2 15 ,需证 35 ? 2 ? 15 , 35 ? 19 ? 4 15 , 4 15 ? 16 , 15 ? 4 , 15 ? 16 . 所以 2.2 综合法 从知道的出发,慢慢地逻辑推演,运用已学知识,最后得证。 a b 例 2.2 已知: a , b 同号,求证: ? ? 2 . b a 证明 所以 则 即 2.3 反证法 首先设要证命题是错误的,再通过正确的逻辑推演出与假设矛盾,因而否定假设, 得出结论是对的。 因为 a , b 同号,
a b ?0, ?0, b a

5 ? 7 ? 1 ? 15 .

a b a b ? ? 2 ? ? 2, b a b a
a b ? ? 2. b a

2

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例 2.3 证明 则 即 故

已知 a ? b ? 0 , n 是大于 1 的整数,求证: n a ? n b . 假设
n

a ?n b,
n

b ?1, a
b ? 1, a
b ? a,

这与已知矛盾,所以 n a ? n b . 2.4 迭合法 将想证命题分为几个简单部分,然后依次证每个部分都成立,最后用同向不等式相 加或相乘的性质,得原命题成立。 例 2.4 已知: a1 ? a2 ? ? ? an ? 1, b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ,求证:
2 2 2 2 2 2

a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ? 1 .
证明 所以 由柯西不等式
2 2 2 2 a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn ? a12 ? a 2 ? ? ? an ? b12 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? 1 ? 1,

因为 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1, b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ,
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 , b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 .
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

所以原不等式获证. 2.5 放缩法 在求证中,根据不等式的传递性,常舍去一些项使不等式的各项之变化,或在分式 中改变分子或分母,从而得证。注意“放”、“缩”要恰当。常用手段有:变化分子或 分母、拆补、编组、寻找中间量。 1 3 5 9999 ? 0.01 。 例 2.5 求证: ? ? ? ? ? 2 4 6 10000 1 3 5 9999 ,则 证明 令 p ? ? ? ? ? ? 2 4 6 10000
p2 ? 1 32 5 2 99992 1 32 99992 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 10000 2 ? 1 4 ? 1 10000 ? 1 10001 10000

3

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所以 2.6 数学归纳法

p ? 0.01.

对于那些含有 n(n ? N ) 的不等式, 当 n 取第一个值时成立, 若不等式在 n ? k (n ? N ) 时成立,且不等式在 n ? k ? 1 时也成立,则不等式成立。 例 2.6 已知: a, b ? R ? , n ? N , n ? 1 ,求证: a n ? b n ? a n?1b ? abn?1 .

证明 (1)当 n ? 2 时, a 2 ? b 2 ? ab ? ab ? 2ab ,不等式成立; (2)若 n ? k 时, a k ? b k ? a k ?1b ? abk ?1 成立,则

a k ?1 ? b k ?1 ? a(a k ? b k ) ? abk ? b k ?1 ? a(a k ?1b ? abk ?1 ) ? abk ? b k ?1
= a k b ? abk ? (a 2b k ?1 ? 2abk ? b k ?1 ) ? a k b ? abk ? b k ?1 (a ? b) 2 ? a k b ? abk , 即 a k ?1 ? b k ?1 ? a k b ? abk 成立. 根据(1) 、 (2) , a n ? b n ? a n?1b ? abn?1 对于大于 1 的自然数 n 都成立。 2.7 换元法 通过变量代换,选择合适的辅助参量,从而证题。 1 例 2.7 已知: a ? b ? c ? 1 ,求证: ab ? bc ? ca ? . 3 1 1 1 证明 设 a ? ? t , b ? ? at (t ? R) ,则 c ? ? (1 ? a)t , 3 3 3
? 1 ?? 1 ? ?1 ?? 1 ? ? 1 ?? 1 ? ab ? bc ? ca ? ? ? t ?? ? at ? ? ? ? at ?? ? (1 ? a)t ? ? ? ? t ?? ? (1 ? a)t ? ? 3 ?? 3 ? ?3 ?? 3 ? ? 3 ?? 3 ?
? 1 1 ? (1 ? a ? a 2 )t 2 ? , 3 3 ab ? bc ? ca ? 1 . 3

所以 2.8 三角代换法

通过三角变换解决问题。 2 2 2 2 例 2.8 已知: a ? b ? 1 , x ? y ? 1 ,求证: ax ? by ? 1 。 证明 所以 设 a ? sin ? ,则 b ? cos ? ;设 x ? sin ? ,则 y ? cos ?
ax ? by ? sin ? sin ? ? cos? cos? ? cos(? ? ? ) ? 1。

4

安徽理工大学毕业论文 2.9 判别式法 构造一元二次方程,根据某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值,来证题。 例 2.9 证明 设 x, y ? R ,且 x 2 ? y 2 ? 1 ,求证: y ? ax ? 1 ? a 2 . 设 m ? y ? ax ,则 y ? ax ? m

代入 x 2 ? y 2 ? 1 中得 即

x 2 ? (ax ? m) 2 ? 1 , (1 ? a 2 ) x 2 ? 2amx? (m2 ? 1) ? 0

因为 x, y ? R , 1 ? a 2 ? 0 ,所以 ? ? 0 , 即 解得 2.10 等式法 利用一些等式结论来证得不等式。 例 2.10 a, b, c 为 ?ABC 的三个边长,试证:
2a 2 b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2 c 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4 .

(2am) 2 ? 4(1 ? a 2 )(m2 ? 1) ? 0 ,
m ? 1 ? a 2 ,故 y ? ax ? 1 ? a 2 .

证明 由海伦公式 S ?ABC ? 两边平方,移项整理得

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,其中 p ?

1 (a ? b ? c) . 2

16(S ?ABC ) 2 ? 2a 2b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2 c 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4
而 S ?ABC ? 0 , 所以 2.11 分解法 根据某些规则,将数或式分解,使问题简单化。 1 1 1 例 2.11 n ? 2 ,且 n ? N ,求证: 1 ? ? ? ? ? ? n( n n ? 1 ? 1) . 2 3 n 证明 因为 1 ?
2a 2 b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2 c 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4 .

1 1 1 ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? n ? (1 ? 1) ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1? 2 3 n ?2 ? ?3 ? ?n ?

? 2?

3 4 n ?1 3 4 n ?1 ? ??? ? n ? n 2 ? ? ? ?? ? n ? n n ?1. 2 3 n 2 3 n
5

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1 1 1 ? ? ? ? ? n( n n ? 1 ? 1) . 2 3 n

所以 2.12 构造法

1?

在求证时,构造模型、函数、恒等式、复数等。 例 2.12 证明 所以 已知: x 2 ? y 2 ? 1 , a 2 ? b 2 ? 2 ,求证: b( x 2 ? y 2 ) ? 2axy ? 2 .

造复数 z1 ? x ? yi , z 2 ? a ? bi ,有 z1 ? 1, z 2 ? 2

z1 ? z 2 ? ( x ? yi) 2 (a ? bi) ? [a( x 2 ? y 2 ) ? 2bxy] ? [b( x 2 ? y 2 ) ? 2axy]i
b( x 2 ? y 2 ) ? 2axy ? Im( z12 ? z 2 ) ? z1 ? z 2 ? 2
2

2

故 2.13 排序法

b( x 2 ? y 2 ) ? 2axy ? 2 .

利用排序不等式来证明某些不等式. 排序不等式:设 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn ,则有

a1bn ? a2bn?1 ? ? ? an b1 ? a1bt1 ? a2bt2 ? ? ? an btn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ,
其中 t1 , t 2 ,?, t n 是 1,2,?, n 的一个排列.当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时取 等号. 简记作:逆序和 ? 乱序和 ? 同序和. 例 2.13 证明 即 2.14 借助几何法 借助几何图形,简单问题。 例 2.14 证明 所以 又 CE ? CF ,即 n ? m ,
6

求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da .

a, b, c, d ? R 有序,同序和最大,
a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da .

已知: a, b, m ? R ? ,且 a ? b ,求证:

a?m a ? 。 b?m b

如下图,以 b 为斜边, a 为直角边作 Rt?ABC 。
a AB a ? m ? ? b AC b ? n

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a?m a?m a ? ? 。 b?m b?n b
E n F C b

所以

D

m

B

a

A

图 2-1

3 不等式问题的应用
不等式在数学的各个领域里发挥着极其重要的作用, 而且一些常用的不等式更是给 在生活和学习中碰到的数学问题提供了很好的解决办法。 下面是一些不等式在数学和生 活中的应用。 3.1 基本不等式的应用 基本不等式的定义:
a 2 ? b2 ? 2ab ,其中 a , b 为任意实数,若且唯若 a ? b 等号成立。
a?b ? ab 2 ,其中 a , b 为任意正实数,若且唯若 a ? b 等号成立。

证 明 : 因 为 a ? 0,b ? 0 , 想 证
2

a?b 2 ? ab , 也 就 是 去 证 a ? b ? 2 ab , 需 证
2

a?b a ? 2 ab ? b ? 0 , ( a ? b ) ? 0 。又 ( a ? b ) ? 0 显然成立,故 2 ? ab (若且唯

若 a ? b 等号成立) 。 例 3.1 解 矩形面积不变,什么情况下周长最小?
?

设矩形的长、宽分别为 a 、 b ( a 、 b ? R )且 ab ? m ,m 为定值
a?b ? ab 2 a ? b ? 4 ab C ? 2 ? a ? b? ? 矩形周长 ,由 2 知 ? ,即 C ? C ? 。

所以 C ? 4 m ,若且唯若 a ? b ,也就是矩形是正方形时,矩形周长最小。

7

安徽理工大学毕业论文 3. 2 柯西不等式的应用
n n ? n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? ai bi ? ? ? ai2 ? bi2 ?i ? 1,2 ? n ? bn 时, i ?1 i ?1 ? i ?1 ? , 当且仅当 bi b 2 等号成立。 2

证明:构造二次函数
2 2 ? ? a12 ? a2 ? ? ? an ? x2 ? 2 ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ? x ? ?b12 ? b22 ? ? ? bn2 ?

f ? x ? ? ? a1 x ? b1 ? ? ? a2 x ? b2 ? ? ? ? ? an x ? bn ?
2 2

2

2 2 2 f x ?0 因 a1 ? a2 ??? an ? 0 ,所以 ? ? 恒成立,又
2 2 ? ? 4 ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? ? 4 ? a12 ? a2 ? ? ? an ??b12 ? b22 ? ? ? bn2 ? ? 0 2

所以

? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ?

2

2 2 ? ? a12 ? a2 ? ? ? an ??b12 ? b22 ? ? ? bn2 ?

ai a ?? ? n a x ? bi x ? 0 ?i ? 1, 2,?, n? bn 时等号成立。 当且仅当 i 时, 即 bi
柯西不等式的推广:
n n ? n ? 2 a b ? a bi2 ? ? a b ? ? ? i i i ? ? i ?1 i ?1 ? 命题1 若级数 i ?1 与 i ?1 收敛,则有不等式 ? i ?1 。
n 2 i n 2 i

2

证明



? ai2
i ?1

n



?b
i ?1

n

2 i

收敛,可得

? n ? ? n 2 ?? n ? 0 ? ? ? ai bi ? ? ? ? ai ?? ? bi2 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?? i ?1 ?

2

因 为

?a
i ?1

n

2 i

n n n ? ? 2 2 m ai bi ? ? l i ? m ai l i ? m bi ?l i ? n ?? n ?? i ?1 i ?1 ? n?? i ?1 收 敛 , 且 ? , 从 而 有 不 等 式

2

n n ? n ? 2 ? ? ai bi ? ? ? ai ? bi2 i ?1 i ?1 ? i ?1 ? 成立。

2

n n ? n ? 2 2 a b ? a a b ? ? ? ? i i ? ? i ? bi i ?1 i ?1 ? 命题2 如果级数 i ?1 与 i ?1 都收敛,且 ?n ? N ? i ?1 成立,则对
n 2 i n 2 i

2

b b b 2 2 ? ? ?a f ?x ?g ?x ?dx ? ? ? ?a f ?x ?dx?a g ?x ?dx a, b ? f ? x? , g ? x? ? ? ? 定义在 上的所有连续函数 都有 。

2

证明

函数

f ? x? , g ? x?

在区间

? a, b? 上连续,所以函数 f ? x ? 与 g ? x ? 、 f 2 ? x ? , g 2 ? x ? 在
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? a, b ?

上可积,把 ?

a, b ?
b

区间等分,取 n 每个小区间的左端点为
n b n

? i ,根据积分定义有

? ?


a b

f ? x ?dx ? lim ? f ??i ?? x, ? g ? x ?dx ? lim ? g ??i ?? x
x ?? i ?1 a x ?? i ?1

a

f 2 ? x ? dx ? lim ? f 2 ??i ?? x, ? g 2 ? x ?dx ? lim ? g 2 ??i ?? x
b x ?? i ?1 a x ?? i ?1

n

n

a ?f
2 1

2

??1 ? , b

2 1

?g

2

a ??i ? 则 ?
i ?1

n

2 i


2

?b
i ?1

n

2 i

收敛,由柯西不等式得

? n ? ? n 2 ?? n 2 ? f ? g ? ? x ? f ? ? x ? ? ? ? ? ? i i i ?? ? ?? ?? ? g ??i ?? x ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?? i ?1 ?
n n n ? ? ? ?? ? 2 2 lim f ? g ? ? x ? lim f ? ? x lim ? ? ? ? ? ? i i i ? x?? ? ? ? x?? ? ?? x?? ? g ??i ?? x ? i ?1 i ?1 i ?1 ? ? ? ?? ? 2

从而有不等式

??
命题3

b

a

f ? x ? g ? x ? dx

? ??
2

b

a

f 2 ? x ? dx ? g 2 ? x ? dx
a

b

赫尔德不等式
1 1 n

? n p ? p ? n q ?q 1 1 a b ? ? ?1 ? i i ? ? ai ? ? ? bi ? a1?o, b1?0, ?i ? 1, 2,?, n? , p?0, q?0, p q i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 设 满足 ,则
p p 等号成立的充分必要条件是 ai ? ?bi ?i ? 1,2,?, n; ? ? 0? 。

1 1 1 P 1 q ? ?1 A ? A ? AB q 证明 求证 p q 时,对于任意正数 A 和 B, p 成立。对于凸函数

f ? x ? ? In ? x ?



?1 1 ? 1 1 1 1 In ? AP ? Bq ? ? InAP ? InBq ? InAB ? AP ? B p ? AB q ? p q p q ?p
A? ak ? n p? ? ? ai ? ? i ?1 ?
1 p

,B ?

bk ? n q ?q ? ? bi ? ? i ?1 ? 代入上式且当 k=1,2, ? ,n 时将这 n 个不等式相加得
n
1


n

? ? p q ? ak bk 1 ak 1 bk ? 1 1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 1 1 n n p q p q p q ? i ?1 k ? 1 n n p q bi ? ? p? ? q? ? ? ? ai ? a b ?? i ? ?? i ? i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? 即
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1 1

? n p ? p ? n q ?q a b ? ? i i ? ? ai ? ? ? bi ? i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ?
n

成立。等号成立的充分必要条件是 例 3. 2
a1 ?
证明 正整数

aip ? ?biq ?i ? 1, 2,?, n ?



a1 , a2 ,?, an 互不等,试证:对于任意正整数 n,有不等式

a a2 1 1 ?? ? n ? 1? ?? ? 2 2 2 n 2 n。

由柯西不等式可得
2

? a1 1 a a a ?? 1 1 1 1 ? ? a1 a2 1? ? + 2? +? + n ? ? ??? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ??? n ? ? 2 ? 1 2 n n ? ? a1 a2 an ? a1 a2 an ? ? ? ?1 2
由正整数 a1 , a2 ,?, an 互不等得其中最小的数≥1,第二小的数≥2,最大的≥1,即
1 1 1? ?? ? 2 n ?1 1 1 1 ? ?? ? a a a 1 2 n 有 ,故

1 1 1? ??? 1? ? 1 2 n ? 1? 1 ??? 1 ?1 ? ? ? ? ? 1 1 n ? ? ??? 1 2 n ? 2 a1 a2 an
a1 ? a a2 1 1 ?? ? n ? 1? ?? ? 2 2 2 n 2 n。



2 2 2 2 例3. 3 实数 a, b, c, d 使 a ? b ? c ? d ? 3 , a ? 2b ? 3c ? 6d ? 5 成立,求 a 的最值。

解 由柯西不等式得

? 2b


2

2 ?1 1 1? ? 3c 2 ? 6d 2 ? ? ? ? ? ? ? b ? c ? d ? ?2 3 6?
2

2b 2 ? 3c 2 ? 6d 2 ? ? b ? c ? d ?

,由条件可得:

5 ? a2 ? ? 3 ? a ?

2

2b 3c 6d ? ? 1 1 1 3 6 等号成立。代入(3)式得 解得 1 ? a ? 2 ,若且唯若 2

1 1 2 1 b ? 1, c ? , d ? b ? 1, c ? , d ? a ? 2 3 6 时, max 3 3 时, amax ? 1 。 ;

10

安徽理工大学毕业论文 3. 3 算术-几何平均值不等式 对任意
n

n ? n ? 2?

个正实数 x1 , x2 , x3 ,?, xn ,有

x1 x2 x3 ? xn ?

x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn n (等号当且仅当 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn 时成立)。

证明:假设 n ? k 时成立,现在证 n ? k ? 1 时成立,考虑 x1 , x2 , x3 ,?, xk , xk ?1 非负,可 设 xk ?1 为 k ? 1 个 数 中 最 大 ( 不 是 的 话 , 把 x1 , x2 , x3 ,?, xk , xk ?1 按 递 增 排 列 ) 。记
A? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xk k ,则有

x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xk ? kA ,
Ak ? x1 x2 x3 ? xk , xk ?1 ? A ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xk k ? x1 x2 x3 ? xk k

利用二项式展开公式,可得
xk ?1 ? A ? ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xk ? xk ?1 ? ? kA ? xk ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ? A? ? k ?1 k ?1 ? ? ? ? k ?1 ? ? ? x ? A? k ?1 k ? Ak ?1 ? ? k ? 1? Ak ? k ?1 ? ? A ? A ? xk ?1 ? A ? k ? 1 ? ? ? Ak xk ?1 ? x1 x2 x3 ? xk xk ?1
1 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xk ? xk ?1 ? ? x1 x2 x3 ? xk xk ?1 ? k ?1 k ?1 即得 ,故当 n ? k ? 1 时不等式成立。

k ?1

k ?1

k ?1

例3. 4

1? ? 1? ? 1 ?? 设 xn ? ?1 ? ??1 ? 2 ???1 ? n ? ,求证: lim xn 存在。 n ?? ? 2 ?? 2 ? ? 2 ? xn ?1 1 ? 1 ? n ?1 ? 1 , xn?1 ? xn ,所以 ?xn ? 单调递增。下证 ?xn ? 有界。利用 xn 2

证明 依题有

几何—算术平均不等式
1? ? 1? ? 1 ?? xn ? ?1 ? ??1 ? 2 ???1 ? n ? ? 2 ?? 2 ? ? 2 ?

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n

? ? 1 ?? 1? ? 1 ?? ? ?1 ? 2 ??1 ? 22 ???1 ? 2n ? ? ?? ? ? ?? ??? n ? ? ? ? ? ?

? n ?1 ? ? 1 ? ?? ? ? ?1 ? ? ? 3 ? n ? ? n?
即得 ?xn ? 是单调增加且是有界的,故 lim xn 存在。
n ??

n

n

3. 4 伯努利不等式 对实数 x>-1, 在 在 时,有 时,有 成立; 成立。

可以看到等号成立当且仅当 n = 0,1,或 x = 0 时。 其一般式是 ,若且唯若 n=1时等 号成立(对于任意 等于-1) 。 都有 和 ,即所有 同号且大于

1 ? x1 ??1 ? x2 ? ? 1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? 1 ? x1 ? x2 证明: n ? 2 ,有 ? ,所以 n ? 2 时,命
题正确;

1? x1 ?? 1? x 2??? 1? xk ? ? 1 ? x 1? x 2? ?? xk 假 设 n ? k , 命 题 成立 , 即 ? ,当
n ? k ? 1 时,可得:

?1? x1 ??1? x2 ???1? xk ??1? xk ?1 ? ? 1? x1 ? x2 ??? xk ? xk ?1 ? 1? ? x1 ? x2 ??? xk ? ? xk ?1
即 n ? k ? 1 时,结论正确。故?
n ? 2 ,命题成立。
n

例3. 5
证明

? k? k lim ?1 ? ? ? e ? n?? ? n? 任给定 k ? N ,证明 成立。

当 k ? 1 时,显然成立;下设 k ? 2 ,可用
k

?1 ? x ?

? 1 ? kx

( x ? ?1, x ? 0 )
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k k

1 ? k k ? ? 1? 1 1 x? x?? ?1 ? ? ? 1? ?1 ? ? ? 1 ? n ? k ,从而 n ; 取 n ,有 ? n ? n ? k ,有 ? n ? k ? 取
1 1? k n?k ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? n?k ?
k

所以

1?

k n?k ? ? n n

1 1 1 ? ? k n k 1 ? ? 1? 1 ? ? n?k n?k ? ? n?k ?
nk n

1 ? 1? ? k? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? k ? n? ? n? ? 1 ? ?1 ? ? ? n?k ? 综上,有 lim nk nk n ?? 1 ? ? 1? ? k lim ?1 ? ? ? e ?1 ? ? n?? ? n? ? n?k ? , 1

,又
nk

1 ? ? k ? lim ?1 ? ? ?e n ?? n ? k ? 1 ? ?


? k? lim ?1 ? ? ? ek n?? ? n? 即 。
3. 5 排序不等式 排序原理:设 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn ,再设 i1 , i2 ,?, in 是 1, 2,?, n 的一个排 列,则有

n

a1bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1 ? a1bi1 ? a2bi2 ? ?? anbin ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn
也就是逆序和 ? 乱序和 ? 同序和, 若且唯若 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时等号 成立。 证明: (逐步调整法)当 n ? 2 时,不妨设 a1 ? a2 , b1 ? b2 ,那么

a1b1 ? a2b2 ? a2b1 ? a1b2 ? ? a1 ? a2 ??b1 ? b2 ? ? 0
当 n ? 2 ,只需证明两个不等式即可。 不妨设 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn 。 ⑴ 乱序和 ? 同序和
13

,因此 n ? 2 时成立。

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考察

a1bi1 ? a2bi2 ??? anbin

,如果 i1 ? 1 ,那么考察 i2 ? 2 ;如果 ik ? k ,k ? 1, 2,? 那么考察

ik ?1 ,
设最早使 ik ? k 成立的项脚标为 m ,也就是

a1b1 ? a2b2 ??? ambim ??? anbin

, ik ? k

b ? bil 并且找到含有 bm 的项,设其为 al bml ? m 。由于 am ? al , im ,所以
ambm ? al bim ? ambim ? al bm
因此,这两项排成同序和后变大。 调整后的式子变为:

a1b1 ? a2b2 ??? ambim ??? anbin
? a1b1 ? a2b2 ? ?? ambm ? ?? anbn
又这种项不是无限的,故通过调理有同序和,得证。 ⑵ 逆序和 ? 乱序和 同(1),缩小得证 等号取到的充要条件是: a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 。
a2 b2 c2 1 ? ? ? ?a ? b ? c? 设 a, b, c 均为正数,求证: b ? c a ? c a ? b 2 。
2 2 2

例 3. 6

1 1 1 ? ? 证 明 不妨设 a ? b ? c ,则 a ? b ? c , c ? b a ? c a ? b ,有排序不等式得:

a2 b2 c2 b2 c2 a2 ? ? ? ? ? c?b a?c a?b c?b a ?c a ?b , a2 b2 c2 c2 a2 b2 ? ? ? ? ? c?b a?c a?b c?b a ?c a ?b

两式相加可得

? a2 b2 c 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 b2 ? a 2 2? ? ? ? ? ?? a?c a ?b ? b?c a ?c a ?b ? c?b

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c 2 ? b2 1 ? ?b ? c ? 2 ?c ? b ? ? ?b ? c ? 2 又 ,所以 c ? b 。
2 2 2

a2 ? c2 1 b2 ? a 2 1 ? ?a ? c? ? ? a ? b? 2 2 同理可得 a ? c , a?b

所以

? a2 b2 c2 ? 1 1 1 2? ? ? ? ? ? a ? b? ? ?b ? c ? ? ? a ? c ? ? a ? b ? c 2 2 ?b?c a?c a ?b ? 2
a2 b2 c2 1 ? ? ? ?a ? b ? c? 即 b?c a ?c a ?b 2 。

以上就是一些常用不等式的应用,不难看出不等式发挥着重要的作用,给我们处理 问题带来了很大的方便,使问题变得更加简单。

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结论
不等式问题一出现就得到了人们的广泛关注,关于不等式问题的探索也是持续不 断。不等式不管在数学的哪个领域,还是在现实生活中都有着极其重要的作用。解决不 等式问题有很多方法,比如综合法,排序法,换元,三角代换,分析法等等。 不等关系是数学中的一种最基本关系, 不等式问题对于数学的应用和研究有着及其 重要的作用,不等式在数学学科中是一个较为独立的部分,而且部分不等式在数学分析 的过程中发挥着极其重要的影响,在求证和求解数学问题中都有着不可动摇的地位。基 本不等式、算术-几何平均值不等式、柯西不等式、伯努利不等式、排序不等式在数学 的分析和证明中都有着很重大的作用。 不等式是一种反映实际生活中的不等关系的模型,渗透在其他知识点中,在关于量 的范围和最值的内容中出现地很频繁。 部分常用的不等式在我们解决生活和学习中遇到 的数学问题时发挥着积极的作用,因此,掌握不等式具有非常重要的意义。 由于时间的不足和自身水平的影响,本论文在很多方面还有待改善。

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参考文献
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致谢
在这次毕业设计的过程中,本人得到了张老师的精心指导和热情帮助,正是因为张 老师不断地给我了提供大量的资料, 不仅为我设计写出不等式问题的应用提供了大量的 知识贮备,而且使我学会了怎样从大量的资料中筛选出自己所需要的资源。在此我非常 感激各个老师和同学们的帮助,感激栽培了我四年的学校。

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