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2014届高考数学理科试题大冲关:9.3圆的方程


2014 届高考数学理科试题大冲关:圆的方程
一、选择题 1.若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为( A.-1 C .3 B.1 D.-3 ( ) )

2.若点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 A.x-y-3=0 C.x+y-1=0 B.2x+y-

3=0 D.2x-y-5=0

3.(已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则 圆 C 的方程为 A.x2+y2-2x-3=0 C.x2+y2+2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 D.x2+y2-4x=0 ( )

4.若曲线 C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值范 围为 A.(-∞,-2) C.(1,+∞) B.(-∞,-1) D.(2,+∞) ( )

5.已知圆心(a,b)(a<0,b<0)在直线 y=2x+1 上的圆,其圆心到 x 轴的距离恰好等于圆 的半径,在 y 轴上截得的弦长为 2 5,则圆的方程为 A.(x+2)2+ (y+3)2=9 B.(x+3)2+(y+5)2=25 7 49 C.(x+6)2+(y+ )2= 3 9 2 7 49 D.(x+ )2+(y+ )2= 3 3 9 3 6 .圆心在曲线 y = (x>0) 上,且与直线 3x + 4y + 3 = 0 相切的面积最小的圆的方程为 x ( ) 18 A.(x-1)2+(y-3)2=( )2 5 16 B.(x-3)2+(y-1)2=( )2 5 3 C.(x-2)2+(y- )2=9 2 D.(x- 3)2+(y- 3)2=9 二、填空题 ( )

7. 若圆 x2+y2-2x-4y=0 的圆心到直线 x-y+a=0 的距离为

2 , 则 a 的值为________. 2

8.若不同两点 P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜 率为________;圆(x-2)2+(y-3)2=1 关于直线 l 对称的圆的方程为________. 9.设圆 C 位于抛物线 y2=2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆 C 的半 径能取到的最大值为________. 三、解答题 10.已知直线 l1:4x+y=0,直线 l2:x+y-1=0 以及 l2 上一点 P(3,-2).求圆心 C 在 l1 上且与直线 l2 相切于点 P 的圆的方程.

11.已知 A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),问这四点能否在同一个圆上?若能在同一圆 上,求出圆的方程,若不能在同一圆上,说明理由。

12.已知点 P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1 上任意一点. (1)求 x-2y 的最大值和最小值; (2)求 y-2 的最大值和最小值. x-1

详解答案

一、选择题 1.解析:圆的方程可变为(x+1)2+(y-2)2=5,因为直线经过圆的圆心, 所以 3×(-1)+2+a=0,即 a=1. 答案:B 2.解析:设圆心为 C,则 kPC= 即 x-y-3=0. 答案:A 3.解析: 由圆心在 x 轴的正半轴上排除 B, C, A 中方程可化为(x-1)2+y2=4,半径为 2, |3+4| 7 圆心(1,0)到 3x+4y+4=0 的距离 d= = ≠2,排除 A. 5 5 答案:D 4.解析:曲线 C 的方程可化为:(x+a)2+(y-2a)2=4,其圆心为(-a,2a),要使圆 C 的 所有的点均在第二象限内,则圆心(-a,2a)必须在第二象限,从而有 a>0,并且圆心到两坐标 轴的最短距离应该大于圆 C 的半径,易知圆心到纵坐标轴的最短距离为|-a|,则有|-a|>2, 故 a>2. 答案:D 5.解析:由圆心到 x 轴的距离恰好等于圆的半径知,所求圆与 x 轴相切,由题意得圆的 半径为|b|, 则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2.由于圆心在直线 y=2x+1 上, 得 b=2a+1 ①, 令 x=0, 得(y-b)2=b2-a2, 此时在 y 轴上截得的弦长为|y1-y2|=2 b2-a2, 由已知得, 2 b2-a2
?a=-2 ? ②,由①②得? 或 ? ?b=-3

0-?-1? =-1,则 AB 的方程为 y+1=x-2, 1- 2

=2 5,即 b2-a2=5

?a=3 ? 7 ?b=3

2 (舍去).所以,所求圆的方程为(x

+2)2+(y+3)2=9. 答案:A 3 6.解析:设圆心(a, )(a>0),则圆心到直线的距离 d= a 1 而 d≥ (2 5 12 3a· +3)=3, a |3a+ 12 +3| a , 5

12 当且仅当 3a= , a 3 3 即 a=2 时,取“=”,此时圆心为(2, ),半径为 3,圆的方程为(x-2)2+(y- )2=9. 2 2 答案:C

二、填空题 7.解析:将圆的方程化为标准方程:(x-1)2+(y-2)2=5. |1-2+a| 2 故圆心 C(1,2)到直线的距离 d= = , 2 2 ∴a=0 或 a=2. 答案:0 或 2 8.解析:由题可知 kPQ= 3-a-b =1,又 klkPQ=-1?kl=-1;圆关于直线 l 对称,找到 3-b-a

圆心(2,3)的对称点(0,1),又圆的半径不变,易得 x2+(y-1)2=1. 答案:-1 x2+(y-1)2=1 9.解析:依题意,结合图形的对称性可知,要使满足题目约束条件的圆的半径最大,圆 心位于 x 轴上时才有可能,可设圆心坐标是(a,0)(0<a<3),则由条件知圆的方程是(x-a)2+y2
??x-a?2+y2=?3-a?2 ? =(3-a)2.由? 2 消去 y 得 x2+2(1-a)x+6a-9=0,结合图形分析可知,当 ? y = 2 x ?

Δ=[2(1-a)]2-4(6a-9)=0 且 0<a<3,即 a=4- 6时,相应的圆满足题目约束条件,因此 所求圆的最大半径是 3-a= 6-1. 答案: 6-1 三、解答题 10.解:设圆心为 C(a,b),半径为 r,依题意,得 b=-4a. 又 PC⊥l2,直线 l2 的斜率 k2=-1,∴过 P,C 两点的直线的斜率 kPC= 解得 a=1,b=-4,r=|PC|=2 2. 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. a +?1-b? =r , ? ? 2 2 2 11. 解: 设经过 A, B, C 三点的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.则??2-a? +?1-b? =r , ? ??3-a?2+?4-b?2=r2, a=1, ? ? 解此方程组,得?b=3, ? ?r2=5. 所以,经过 A、B、C 三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5. 把点 D 的坐标(-1,2)代入上面方程的左边,得(-1-1)2+(2-3)2=5. 所以,点 D 在经过 A,B,C 三点的圆上,所以 A,B,C,D 四点在同一个圆上,圆的方 程为(x-1)2+(y-3)2=5. 12.解:(1)设 t=x-2y, 则直线 x-2y-t=0 与圆(x+2)2+y2=1 有公共点.
2 2 2

-2-?-4a? =1, 3-a



|-2-t|

≤1.∴- 5-2≤t≤ 5-2, 12+22

∴tmax= 5-2,tmin=-2- 5. y-2 (2)设 k= , x-1 则直线 kx-y-k+2=0 与圆(x+2)2+y2=1 有公共点, ∴ |-3k+2| 3- 3 3+ 3 ≤1.∴ ≤k≤ , 2 4 4 k +1 3+ 3 3- 3 ,kmin= . 4 4

∴kmax=


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