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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2第二章 空间两点的距离公式


2.4.2
一、基础过关

空间两点的距离公式

1. 若 A(1,3,-2)、B(-2,3,2),则 A、B 两点间的距离为 A. 61 B.25 C.5 D. 57

(

)

2. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 D(0,0,0)、A(4,0,0)、

B(4,2,0)、A1(4,0,3),则对角线 AC1 的长为 A.9 B. 29 C.5 D.2 6 ) ( )

3. 已知点 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到点 C 的距离|CM|等于 ( A. 53 4 B. 53 2 53 C. 2 D. 13 2 (

4. 到点 A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点 C(x,y,z)的坐标满足 A.x+y+z=-1 C.x+y+z=1 B.x+y+z=0 D.x+y+z=4

)

5. 若点 P(x, z)到平面 xOz 与到 y 轴距离相等, P 点坐标满足的关系式为____________. y, 则 3 5 6.已知 P?2,2,z?到直线 AB 中点的距离为 3, 其中 A(3,5, -7), B(-2,4,3), z=________. 则 ? ? 7. 在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M,使它到点 N(6,5,1)的距离最小. 8. 如图所示,BC=4,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标为( 3 1 , , 2 2

0),点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC=90° ,∠DCB=30° ,求 AD 的 长度. 二、能力提升 9. 已知 A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则下列说法中正确的是 A.A、B、C 三点可以构成直角三角形 B.A、B、C 三点可以构成锐角三角形 C.A、B、C 三点可以构成钝角三角形 D.A、B、C 三点不能构成任何三角形 10.已知 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x 的值为 A.19 8 C. 7 8 B.- 7 19 D. 14 ( ) ( )

11.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是________.

12.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点 M 在 A1C1 上,|MC1|=2|A1M|,N 在 D1C 上且为 D1C 的中点,求 M、N 两点间的 距离. 三、探究与拓展 13.已知正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,且平面 ABCD⊥平面 ABEF,点 M 在 AC 上移 动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< (1)求 MN 的长; (2)当 a 为何值时,MN 的长最小. 2).

答案
1.C 2.B 3.B 4.B 5.x2+z2-y2=0 6.0 或-4 7.解 ∵点 M 在直线 x+y=1(xOy 平面内)上, ∴可设 M(x,1-x,0). ∴|MN|= ?x-6?2+?1-x-5?2+?0-1?2 = 2?x-1?2+51≥ 51,当且仅当 x=1 时取等号, ∴当点 M 的坐标为(1,0,0)时,|MN|min= 51. 8.解 由题意得 B(0,-2,0),C(0,2,0), 设 D(0,y,z),则在 Rt△BDC 中,∠DCB=30° , ∴BD=2,CD=2 3,z= 3,y=-1. ∴D(0,-1, 3).又∵A( ∴|AD|= 9.A 10.C ? 3 1 , ,0), 2 2

32 1 ? +? +1?2+?- 3?2 = 6. 2 2

11.(0,-1,0) 12.解 如图分别以 AB、AD、AA1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知 C(3,3,0), D(0,3,0),∵|DD1|=|CC1|=2, ∴C1(3,3,2),D1(0,3,2), ∵N 为 CD1 的中点, 3 ∴N?2,3,1?. ? ? M 是 A1C1 的三等分点且靠近 A1 点, ∴M(1,1,2). 由两点间距离公式,得 |MN|=

?3-1?2+?3-1?2+?1-2?2= 21. ?2 ? 2

13.解 ∵平面 ABCD⊥平面 ABEF, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,AB⊥BE, ∴BE⊥平面 ABCD, ∴AB、BC、BE 两两垂直. 过点 M 作 MG⊥AB,MH⊥BC,

垂足分别为 G、H,连接 NG,易证 NG⊥AB. ∵CM=BN=a, ∴CH=MH=BG=GN= 2 a, 2

∴以 B 为原点,以 BA、BE、BC 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz,则 M? N? 2 2 ? , ? 2 a,0,1- 2 a?

2 2 ?. ? 2 a, 2 a,0?

(1)|MN|=

? 2a- 2a?2+?0- 2a?2+?1- 2a-0?2 2 ? ? 2 ? ? 2 ?2 ? ?a- 2?2+1, 2? 2 ?
2 时,|MN|最短, 2

= a2- 2a+1= (2)由(1)得,当 a= 最短为

2 ,这时 M、N 恰好为 AC、BF 的中点. 2


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