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【领先课程】第二讲 正弦定理和余弦定理(文)


第二讲正弦定理和余弦定理
适用学科 高中数学 适用区域 全国通用 知识点 教学目标
正弦定理和余弦定理 通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一 些简单的三角形度量问题. 1.正、余弦定理的推导过程. 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状. 利用正、余弦定理解任意三角形的方法.

适用年级 课时时长(分 钟)



高中二年级 120 分钟

教学重点 教学难点

教学过程
一、课堂导入
我们已经知道如何解一个直角三角形,那么如何解一个斜三角形呢?

二、复习预习
复习解三角形的基本理论及三角函数的常见结论

三、知识讲解
考点/易错点 1
正弦定理: = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为: sin A sin B sin C

a

b

c

(1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; (3)sin A= ,sin B= ,sin C= 等形式,以解决不同的三角形问题 2R 2R 2R

a

b

c

考点/易错点 2
余弦定理:a =b +c -2bccos_A,b =a +c -2accos_B,c =a +b -2abcos_C.余弦定理可以变形为: cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2

b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 A= ,cos B= ,cos C= . 2bc 2ac 2ab

考点/易错点 3
1 1 1 abc 1 S△ABC= absinC= bcsinA= acsinB= = (a+b+c)·r(R 是三角形外接圆半径,r 是三角形内切圆的半 2 2 2 4R 2 径),并可由此计算 R,r.

四、例题精析
【例题 1】利用正弦定理解三角形 【题干】在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A,C 和边 c. 【答案】A=60° ,C=75°, c= 6+ 2 6- 2 或 A=120° , C= 15° , c= . 2 2

【解析】已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断. a b 3 2 由正弦定理得 = , = , sin A sin B sin A sin 45° ∴sin A= 3 . 2

∵a>b,∴A=60° 或 A=120° . 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° , 6+ 2 bsin C c= = ; sin B 2 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° , 6- 2 bsin C c= = . sin B 2 【例题 2】利用余弦定理解三角形 cos B b 【题干】在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- . cos C 2a+c (1)求角 B 的大小;

(2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 2 3 3 【答案】(1)B= π.(2) 3 4 cos B b 【解析】由 =- ,利用余弦定理转化为边的关系求解. cos C 2a+c 解 (1)由余弦定理知:cos B=

a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ,cos C= . 2ac 2ab
2 2 2 2 2 2

a ?c ?b a ?b ?c cos B b b 将上式代入 =- 得:· / =- , cos C 2a+c 2a+c 2ac 2ab
整理得:a2+c2-b2=-ac.∴cos B= 2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3 2 (2)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入 b2=a2+c2-2accos B, 3 1 1 3 3 1- ?,∴ac=3.∴S△ABC= acsin B= 得 b2=(a+c)2-2ac-2accos B,∴13=16-2ac? . 2 ? ? 2 4 【例题 3】利用正、余弦定理判断三角形形状 【题干】在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,试判断△ABC 的形状. 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】首先边化角或角化边,再整理化简即可判断 解 由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,

a 2 ? c 2 ? b 2 -ac 1 = =- . 2ac 2 2ac

得 b2[sin(A-B)+sin C]=a2[sin C-sin(A-B)], 即 b2sin AcosB=a2cos AsinB, 即 sin2Bsin AcosB=sin2Acos BsinB,所以 sin 2B=sin 2A, 由于 A,B 是三角形的内角. 故 0<2A<2π,0<2B<2π. 故只可能 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B= . 2 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 【例题 4】正、余弦定理的综合应用

π 【题干】在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积.
?a=2, ? 2 3 【答案】(1)? (2) . 3 ?b=2. ?

【解析】第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于 a,b 的方程,通过方程组求解;第(2)问根据 sin C+sin(B-A)=2sin 2A 进行三角恒等变换,将角的关系转换为边的关系,求出边 a,b 的值即可解决问 题. 解 (1)由余弦定理及已知条件,得 a2+b2-ab=4.

1 又因为△ABC 的面积等于 3,所以 absin C= 3,得 ab=4,联立方程组 2

?b {a ab ?4

2

2

? ab ?4

? ?a=2, 解得? ?b=2. ?

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A, 即 sin Bcos A=2sin Acos A. π π 当 cos A=0,即 A= 时,B= , 2 6 4 3 2 3 a= ,b= ; 3 3 当 cos A≠0 时,得 sin B=2sin A, 由正弦定理,得 b=2a.
a 2 ?b 2 ? ab ? 4 联立方程组 b ?2 a

{

?a=2 3 3, 解得? 4 3 ?b= 3 .
1 2 3 所以△ABC 的面积 S= a bsin C= . 2 3

五、课堂运用
【基础】 1. 在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,a=10,则 c 等于( A.5 2 10 6 C. 3 【答案】 C 【解析】 由 A+B+C=180° ,知 C=45° , a c = , sin A sin C B.10 2 D.5 6 ).

由正弦定理得:



10 c 10 6 = .∴c= . 3 3 2 2 2 ).

a b c 2.在△ABC 中,若 = = ;则△ABC 是( cos A cos B cos C A.直角三角形 C.钝角三角形 【答案】 B B.等边三角形 D.等腰直角三角形

【解析】由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆半径). sin A sin B sin C = = . cos A cos B cos C



即 tan A=tan B=tan C,∴A=B=C. 3.在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于( A.30° 【答案】 C b2+c2-a2 1+4-3 1 【解析】 由余弦定理得:cos A= = = , 2bc 2× 1× 2 2 B.45° C.60° D.75° ).

∵0<A<π,∴A=60° .

1 4.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为( 3 A.3 3 【答案】 C 1 【解析】 ∵cos C= ,0<C<π, 3 2 2 ∴sin C= , 3 1 ∴S△ABC= absin C 2 1 2 2 = × 3 2× 2 3× =4 3. 2 3 B.2 3 C.4 3 D. 3

).

已知△ABC 三边满足 a2+b2=c2- 3ab,则此三角形的最大内角为________. 【答案】 150° 【解析】 ∵a2+b2-c2=- 3ab,

∴cos C=

a2 ? b2 ? c2 3 =- , 2 2ab

故 C=150° 为三角形的最大内角. 【巩固】 1.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 b ? c ? 2a,3sin A ? 5sin B ,则角 C = A.

?

3 3? C. 4
【答案】B

B.

2? 3 5? D. 6

【解析】? 3 sin A ? 5 sin B 由正弦定理,所以 3a ? 5b, 即a ? 因为 b ? c ? 2a ,所以 c ?

5 b; 3

7 a, 3

cos C ?

a2 ? b2 ? c2 1 2? ,答案选择 B. ? ? ,所以 C ? 2ab 2 3

2.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c, 证明: 【答案】证明:由余弦定理知 .所以

.

,两式相减得 ,所以

.由正弦定理,

,所以

= 【解析】同答案.

.故等式成立.

3 .(2013 徐州二模)在 ΔABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c,且 cos A ? (Ⅰ)求 sin
2

1 . 3

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(Ⅱ)若 a ? 【答案】解: (Ⅰ) sin

3 ,求 bc 的最大值.
2

B?C ? cos 2 A 2

2 = [1 ? cos( B ? C )] ? (2 cos A ? 1)

1 2

=

1 (1 ? cos A) ? (2 cos 2 A ? 1) 2
1 1 2 (1 ? ) ? ( ? 1) 2 3 9

=

= ?

1 9

(Ⅱ) ∵

b2 ? c2 ? a2 1 ? cos A ? 2bc 3



2 bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 , 3

又∵ a ? ∴ bc ?

3

9 . 4

当且仅当 b=c= 【解析】同答案. 【拔高】

3 9 9 时,bc= ,故 bc 的最大值是 . 2 4 4

π 1.在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,tan A=2,则 sin A=________;a=________. 4 【答案】 2 5 5 2 10

【解析】 因为△ABC 中,tan A=2,所以 A 是锐角, 且 sin A =2,sin2A+cos2A=1, cos A

2 5 联立解得 sin A= , 5 再由正弦定理得 a b = , sin A sin B

代入数据解得 a=2 10.

A 2.已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a,b,c,且 2cos2 +cos A=0. 2 (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.

A 【答案】解: (1)由 2cos2 +cos A=0, 2 得 1+cos A+cos A=0, 1 即 cos A=- , 2 2π ∵0<A<π,∴A= . 3 (2)由余弦定理得, 2π a2=b2+c2-2bccos A,A= , 3 则 a2=(b+c)2-bc, 又 a=2 3,b+c=4, 有 12=42-bc,则 bc=4, 1 故 S△ABC= bcsin A= 3. 2 【解析】同答案. 4 3.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 cos B= ,b=2. 5 (1)当 A=30° 时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 4 3 【答案】解 (1)因为 cos B= ,所以 sin B= . 5 5 由正弦定理 5 所以 a= . 3 1 3 (2)因为△ABC 的面积 S= ac· sin B,sin B= , 2 5 3 所以 ac=3,ac=10. 10 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 8 得 4=a2+c2- ac=a2+c2-16,即 a2+c2=20. 5 所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40. 所以 a+c=2 10. 【解析】同答案. a b a 10 = ,可得 = , sin A sin B sin 30° 3

4.(2013.福建卷)如图,在等腰直角三角形 ?OPQ 中, ?OPQ ? 90 , OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上.
?

(1)若 OM ?

3 ,求 PM 的长;

(2)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30? ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面积最小?并求出 面积的最小 值.

【答案】解: (Ⅰ)在 ?OMP 中, ?OPM ? 45? , OM ?

5 , OP ? 2 2 ,

由余弦定理得, OM 2 ? OP 2 ? MP 2 ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? , 得 MP 2 ? 4 MP ? 3 ? 0 , 解得 MP ? 1 或 MP ? 3 . (Ⅱ)设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? , 在 ?OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM ?

OM OP , ? sin ?OPM sin ?OMP

OP sin 45? , sin ? 45? ? ? ? OP sin 45? sin ? 75? ? ? ?
1 ? OM ? ON ? sin ?MON 2

同理 ON ? 故 S ?OMN ?

1 OP 2 sin 2 45? ? ? 4 sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?

?

1 sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?
1 ? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? ? 2 ? 2 ?

?

?

1 3 2 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? 2 2 1 3 1 1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? sin ? 90? ? 2? ? ? ? ? 4 4 1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4 1 3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2

?

?

?

因为 0? ? ? ? 60? , 30? ? 2? ? 30? ? 150? ,所以当 ? ? 30? 时, sin ? 2? ? 30? ? 的最大值为 1 , 此时 ?OMN 的面积取到最小值.即 2 ?POM ? 30? 时, ?OMN 的面积的最小值为 8 ? 4 3 . 【解析】同答案.

课程小结
1.在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的 对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.余弦定理可解决两类问题: (1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;(2)已知三边,求各角. 2.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换


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