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高考数学(理科)二轮配套课件:专题8(第3讲)分类讨论思想


专题八 数学思想方法 第3讲 分类讨论思想 思想方法概述 热点分类突破 真题与押题 思想方法概述 1. 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法 .其基本思 路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基 础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问 题的思想策略.对问题实行分类与整合,分类标准等于 增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综 合性问题

) 分解为小问题 ( 或基础性问题 ) ,优化解题思 路,降低问题难度. 2.分类讨论的常见类型 (1) 由数学概念引起的分类讨论 . 有的概念本身是分类 的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2) 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论 . 有的 数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件 下结论不一致,如等比数列的前 n 项和公式、函数的 单调性等. (3) 由数学运算要求引起的分类讨论 .如除法运算中 除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的 要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以 一个正数、负数,三角函数的定义域等. (4) 由图形的不确定性引起的分类讨论 . 有的图形类 型、位置需要分类:如角的终边所在的象限;点、 线、面的位置关系等. (5) 由参数的变化引起的分类讨论 . 某些含有参数的 问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值 不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要 运用不同的求解或证明方法. (6) 由实际意义引起的讨论 .此类问题在应用题中, 特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用. 3.分类讨论的原则 (1)不重不漏. (2)标准要统一,层次要分明. (3) 能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原 则地讨论. 4.解分类问题的步骤 (1) 确定分类讨论的对象,即对哪个变量或参数进 行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论,即对各类问题详细讨论,逐步解决. (4)归纳总结,将各类情况总结归纳. 热点分类突破 ? 热点一 ? 热点二 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论 由图形位置或形状引起的讨论 ? 热点三 由参数引起的分类讨论 热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论 例 1 2 ? x ? +x,x<0, (1)(2014· 浙江)设函数 f(x)=? 2 ? ?-x ,x≥0, 若 f(f(a))≤2,则实数 a 的取值范围是________. 解析 f(x )的图象如图,由图象知,满足 f(f(a))≤2 时,得 f(a)≥-2,而满足 f(a)≥-2 时,得 a≤ 2. 答案 a≤ 2 3 9 (2)在等比数列{an}中,已知 a3= ,S3= ,则 a1= 2 2 ________. 3 解析 当 q=1 时,a1=a2=a3= , 2 9 S3=3a1= ,显然成立; 2 ? ?a1q2=a3=3, 2 ? 当 q≠1 时,由题意,得? 3 9 ?a1?1-q ? =S3= . ? 2 ? 1- q ? ?a q2=3, ? 1 2 所以? 9 ? 2 a1?1+q+q ?= , ? ? 2 ① ② 1+q+q2 由①②,得 =3,即 2q2-q-1=0, 2 q 1 所以 q=- 或 q=1(舍去). 2 1 a3 3 当 q=- 时,a1= 2=6.综上可知,a1= 或 a1=6. 2 2 q 3 答案 或6 2 (1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵 与外延,合理进行

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